Exemplo resolvido: estimar sen(0,4) usando o resto de Lagrange

RKA3JV - Estimando seno de 0,4 utilizando um polinômio de Maclaurin, qual será o menor grau do polinômio que assegura um erro menor que 0,001? Bom, mas do que estamos falando aqui? Bem, nós poderíamos ter uma função e nós podemos estimá-la com o enésimo grau do polinômio de Maclaurin. Na verdade, poderíamos falar de modo mais geral acerca do polinômio de Taylor. Mas, vamos apenas dizer que esta é a enésima potência do polinômio de Maclaurin, mas isto não será uma aproximação perfeita, isso terá algum erro ou algum resto. E, assim, poderíamos chamar este restante da enésima potência do polinômio de Maclaurin, que será dependente para qualquer valor de "x". E, agora, se nós queremos utilizar as especificidades deste problema exato, podemos refraseá-lo desta forma. Então, podemos dizer que sen(0,4) será igual ao nosso polinômio de Maclaurin à enésima, mais o restante que será para a enésima potência do polinômio de Maclaurin avaliado em 0,4. E, aqui, o que realmente queremos descobrir é qual será o menor grau de "n" para que este polinômio seja menor que 0,001? Então, nós queremos descobrir qual será o menor "n" para que o restante do nosso polinômio de Maclaurin, à enésima, avaliado em 0,4, seja menor que 0,001. Portanto, esta é apenas uma outra maneira de reformular este problema. E a maneira com que podemos resolver isto pode ser chamado de resto de Lagrange. Temos outros vídeos que provam isto e esta maneira é muitas vezes chamada, também, de teorema do restante de Taylor. Este teorema nos diz que, para o valor absoluto da nossa função, elevado a "n + 1" de "x", for menor ou igual a algum "m", para o intervalo aberto contendo zero e "x", que neste caso específico deste vídeo é igual a 0,4, mas aqui eu vou utilizar como no geral. Então, zero e "x". Então, se isso for verdade, se "n + 1" desta função, deixar menor ou igual a "M", logo, aqui é que entra a parte útil de Lagrange. Então, podemos dizer que o restante é limitado. Logo, o valor absoluto do polinômio a enésima parte de "x", terá que ser menor ou igual ao valor absoluto de "M" vezes "x" elevado a "n + 1", dividido por "n + 1!". Bem, mas então como podemos aplicar isto a este problema em particular? Vamos pensar sobre os intervalos de seno. Sabemos que o valor absoluto de seno é menor ou igual a 1 e seu derivado é de cosseno de "x", e seu valor absoluto também será limitado, que será menor ou igual a 1. Portanto, não importa quantas vezes tomamos o derivado de sen(x). O absoluto deste valor sempre será menor ou igual a 1. Então, de maneira geral, nós podemos escrever que para o valor absoluto deste f(x), em particular, elevado a "n + 1", derivado de qualquer valor de "x", será menor ou igual a 1. E este é o caso para onde "f = sen", onde "f" é sen(x). E este será verdade para qualquer intervalo. E ele nem sequer tem que ter algum tipo de intervalo restrito onde podemos fazer isto. Então, nós sabemos que este é nosso "M" que seno e seus derivados são todos delimitados, ou seus valores absolutos são delimitados por 1. E, assim, temos o nosso "M" e podemos aplicar o erro de Lagrange. Então, podemos dizer que o restante do nosso enésimo termo, no polinômio de Maclaurin, terá uma aproximação de 0,4. E isto apenas para o nosso "x" em particular, que é 0,4. Então, podemos dizer que isso será menor ou igual ao valor absoluto. Vamos pegar aqui, então, "M" será igual a 1. Então, eu nem vou escrevê-lo aqui. O nosso "x", então, é 0,4 elevado a "n + 1", dividido por "n + 1!" E este, então, é o erro de Lagrange que queremos descobrir. Uma situação que será menor que 0,001. E se este for menor que 0,001, então, com certeza, este também será menor, pois é menor ou igual a este. Mas, então como vamos descobrir isto? Como é que vamos fazer? Bem, para isso, nós podemos apenas experimentar alguns "n" e continuar aumentando o valor deles, até que esta coisa aqui, realmente, se torne menor do que esta coisa aqui. Então, vamos fazer isto! Eu vou montar o esquema aqui. Então, eu vou colocar aqui o nosso "n". E, para isso, teremos 0,4 elevado a "n + 1" dividido por "n + 1!". Bem, então vamos tentar! Vamos começar, então, como "n = 1". Então, teremos que 0,4 elevado a "n" que é 1, mais 1, então elevado a 2, dividido por 2!. 2! = 2. Então, teremos 0,16 / 2 e isto é igual a 0,08. Definitivamente, isto não é menor que 0,001. Bem, vamos tentar agora com "n = 2". Então, se "n = 2", teremos 0,4 elevado a 3 / 3! 0,064 / 6 que também não será menor que 0,001. Bem, vamos tentar, então, com 3. Então, com 3 teremos 0,4 elevado a 4, dividido por 4!. Então, teremos 0,0256 / 24, e isso será apenas um pouco maior que 0,001. E não podemos cair nessa, é apenas um pouco maior que 0,001. E para a gente, não serve. Então, agora vamos tentar para "n = 4". Provavelmente, teremos um valor menor que 0,001. Mas vamos checar, vamos fazer até o final. Então, aqui para a "n = 4" teremos 0,4 elevado a 5 dividido por 5!. E isso será igual a 0,01024 / 5! 5! = 120. E, bem, isso definitivamente é menor que 0,001. Com certeza é menor! Então, encontramos o nosso "n". Assim, então, podemos dizer que para o restante do polinômio de Maclaurin no quarto grau para "x = 0,4", isto será, definitivamente, menor que 0,001. Então, este é o menor grau do polinômio que garante um erro menor que 0,001.