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Série de Maclaurin de cos(x)

Aproximação do valor do cos(x) com uma série de Maclaurin (que é como um polinômio de Taylor centrado em x=0 com infinitos termos). Resulta que esta série é exatamente igual à própria função! Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA10MP – No vídeo passado, vimos que a série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, quando ela é centrada no zero. Neste vídeo, vamos ver qual é a série de Maclaurin para a função cosseno de “x”. Então temos f(x) igual a cos “x”, f '(x) vai ser -sen “x”, f ''(x) vai ser -cos “x”, f '''(x) vai ser +sen “x”, e f ''''(x) vai ser cos “x”, e voltamos a ter cos “x” de novo, e se formos derivando, vamos ter de novo esta sequência. Então como é que fica o polinômio da série de Maclaurin para cos “x”? Vai ficar f(0) x⁰ sobre zero fatorial e zero fatorial é igual a 1, então f(0) cosseno de zero é 1, portanto, aqui temos 1. Depois temos f '(0) vezes “x”. f '(0) é igual a -sen de zero, que vai dar zero, então não vai ter este termo. f ''(0) vezes x² sobre 2 fatorial. Então você tem f ''(0) vai ficar -cos de zero, vai ficar -1… -1 sobre 2 fatorial, mais f '''(0)… f'''(0) é seno, portanto, este termo não vai existir. Já estamos vendo um padrão, que os termos ímpares não existem. E agora f ''''(0) vai ser o próprio cos de zero, ou seja, vai ser +x⁴ sobre 4 fatorial. Notamos o padrão e vemos que o primeiro é positivo, depois é negativo, depois é positivo, pulando de dois em dois, podemos agora verificar que o próximo termo vai ser negativo, vai ser -x⁶ sobre 6 fatorial. O próximo termo vai ser +x⁸ sobre 8 fatorial. O próximo termo vai ser -x¹⁰ sobre 10 fatorial, ou seja, é muito interessante como representamos a função cos “x” na forma polinomial da série Maclaurin.