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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 15: Séries de Maclaurin para eˣ, sen(x) e cos(x)- Série de Maclaurin de cos(x)
- Série de Maclaurin de sen(x)
- Série de Maclaurin de eˣ
- Exemplo resolvido: série de potências a partir do cos(x)
- Exemplo resolvido: função cosseno a partir da série de potências
- Exemplo resolvido: reconhecimento de função a partir da série de Taylor
- Série de Maclaurin de sen(x), cos(x), e eˣ
- Visualização de aproximações da série de Taylor
- Fórmula e identidade de Euler
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Fórmula e identidade de Euler
A fórmula de Euler é eⁱˣ=cos(x)+i⋅sen(x), e a identidade de Euler é e^(iπ)+1=0. Veja como elas são obtidas a partir da série de Maclaurin de cos(x), sen(x) e eˣ. Essa é uma das coisas mais fantásticas de toda a matemática! Versão original criada por Sal Khan.
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- quem foi o matemático Euler?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - No vídeo passado,
nós usamos a expansão de MacLaurin para aproximar a função "eˣ". Inicialmente, tivemos a sensação
de que essa expansão aqui se tratava de uma combinação dos polinômios de aproximação
de cosseno e de seno. Entretanto, não é bem isso que acontece. Quando a gente olha mais atentamente, se a gente fizer uma combinação
destes dois polinômios, vão ter vários termos aqui
com coeficientes negativos que vão aparecer aqui nestes polinômios, mas que não aparecem na expansão de eˣ Entretanto, nosso objetivo neste vídeo é, de alguma forma, conseguir
relacionar este "eˣ" com as funções seno e cosseno. Então, eu vou usar um certo truque. Não sei se posso dizer truque,
mas vamos usar um artifício aqui para a gente tentar
chegar neste resultado. Se a gente admitir que "eˣ"
é praticamente dado por essa expressão. Vamos dizer que quanto mais
termos a gente coloca aqui melhor fica a nossa aproximação e mais
próximo de uma igualdade isso fica. Se a gente admitir que a gente vai usar
infinitos termos aqui nesta expansão, a gente vai ter que a "eˣ"
é igualzinho a essa expansão aqui. Bom, e aí eu pergunto para vocês. O que seria, o que a gente teria
se a gente fizesse "eᶦˣ"? Bom, inicialmente você vai falar: elevar alguma coisa a "ix" não é
uma coisa muito simples, não é? Parece algo meio complicado. Mas se a gente sabe que "eˣ" é igual a essa expansão. Se a gente trocar aqui o "x" por "ix", a gente consegue colocando "ix"
no lugar do "x", calcular essa aproximação
para essa função aqui. E como a gente conhece também
as potências de "i", i² eu sei que é -1,
i³ eu sei que é -i, i⁴ eu sei que é 1. E assim isso vai se repetindo para sempre.
É um ciclo. A gente pode ter sucesso na hora de tentar calcular essa expansão aqui. Vamos fazer isso, então. Vamos então trocar aqui este "x" por "ix". E aí, a gente vai ter "e" elevado a "ix"
vai ser, aproximadamente, e aí, a nossa expansão aqui, quanto mais termos a gente
colocar nessa expansão, melhor vai ficar essa aproximação. Na verdade, isso aqui não é uma demonstração formal deste resultado. A gente está apenas fazendo
um processo intuitivo para tentar chegar ao resultado. Então, aqui onde tiver "x"
aqui na expansão, a gente vai trocar por "ix". Então, vamos lá! Isso vai ficar 1 mais,
aí, tem "x", então, vai ficar "ix" mais, aí, tem x²/ 2! vai ficar ix²/2!. Mais, depois, nós temos x³/3!, e aí, vai ficar ix³/3!, mais x⁴/4!. E aí, a gente vai ter ix⁴/ 4! mais x⁵, vai ficar ix⁵/ 5! E aí, a gente pode continuar. Quanto mais termos a gente
colocar aqui, melhor. Mas já deu para a gente ter
mais ou menos uma ideia. Vamos avaliar o que dá
essas potencias de "ix". Nós temos ix², ix³. Vamos abrir isso aqui
para a gente ver melhor como é que fica essa expansão
que a gente está construindo. Isso aqui vai ficar 1 + ix + aqui eu tenho ix², então vai ficar i² vezes x². i² a gente sabe que é -1. Então, na verdade, aqui a gente vai ter -1 vezes x², sobre 2!. Mais, aqui, vai ficar i³ vezes x³. i³ é i² vezes "i". E i² a gente viu que é -1. Então, vai ficar menos "i"
isso aqui, "-i". E aí, vai ficar x³/ 3! Aqui a gente vai ter i⁴ vezes x⁴, sobre 4!. i⁴ eu posso pensar que é i² vezes i². i² é -1. Então, vai ficar -1 vezes -1. Isso aqui então vai dar +1. Então, vai ficar +1x⁴ / 4!. E aí, continua no i⁵. Eu posso pensar que é i⁴ vezes "i". i⁴ a gente viu que é 1,
então isso aqui volta a ser "i". i⁵ é ix⁵/ 5! E aí, já dá para a gente perceber que tem um certo padrão aqui de repetição para os coeficientes. 1, "i", -1, "-i". 1, "i", -1,
x⁶ /6! e "-i" x⁷ /7! Quanto mais termos
a gente colocar aqui, melhor para a nossa aproximação. Agora, dá uma olhada que a gente tem aqui alguns coeficientes que são reais e alguns coeficientes
são imaginários puros. Então, vamos separar aqui. Por que a gente não separa
estes caras que são reais, destes caras que são imaginários puros? Então, vamos vir aqui e vamos pegar
primeiro os coeficientes reais. Então, esse cara que
é um coeficiente real aqui nós temos coeficiente real, aqui nós temos coeficiente real
e aqui também temos coeficiente real. Se eu escrever estes caras,
aqui vai ficar 1 - x²/ 2! Depois, mais x⁴/ 4!, menos x⁶/ 6!. E, aqui, a gente pode
continuar com essa ideia de ir pegando sempre estes carinhas com coeficientes reais, não é? Digamos que a gente pegou e selecionou os coeficientes reais e juntou estes termos aqui e colocou
todos eles juntos. Bom, e o que sobrou?
Sobrou agora os nossos coeficientes que tem números imaginários. Então, vamos pegar este aqui, este aqui, este aqui são todos os caras que têm coeficientes que aparecem "i",
por isso eles coeficientes que são números imaginários puros. Bom, como a gente vai
colocar todos eles têm "i", vamos colocar o "i" aqui do
lado de fora, uma vez só. Vamos fatorar todos eles por "i". Então, vai aparecer o "i" aqui vezes,
o "i" já saiu, vai ficar "x". Aqui, menos "i".
O "i" saiu, vai ficar -x³/ 3! Aqui, também já saiu o "i", vai ficar x⁵/ 5! E aqui, menos,
o "i" saiu, vai ficar x⁷/ 7!. E a gente pode continuar
isso aqui colocando estes termos que têm coeficientes
imaginários puros todos juntos aqui. Mas, o mais legal é que isso
que a gente está fazendo, a gente arrumou aqui uma aproximação
aqui pra "eˣ", não é? "eᶦˣ" Então, isso aqui que a gente está fazendo
aqui é a aproximação de "eᶦˣ". Nós podemos dizer que "eᶦˣ". Eu vou usar uma cor neutra aqui. A gente pode escrever que "eᶦˣ" é igual a tudo isso aqui. Mas se você se lembrar
dos vídeos anteriores, se a gente pegar este pedaço aqui, onde colocou os termos
com coeficientes reais, este pedaço aqui é exatamente este polinômio que a gente usou
para aproximar o cos(x). E este pedaço aqui onde a gente colocou os termos que
aparecem coeficiente imaginários. Este pedaço aqui é exatamente o polinômio
que a gente usou para aproximar sen(x). Então, de alguma forma, a gente já consegue relacionar cosseno e seno com algo parecido com "eˣ" Se isso aqui é o cos(x), principalmente quando a gente toma infinitos termos aqui para essa expansão, e este pedaço aqui é sen(x), Então, isso aqui é sen(x). A gente chega então
a um resultado fascinante. É uma fórmula muito famosa. Vou escrevê-la aqui. É "eᶦˣ" é é igual a cos(x), e aí, você já deve estar
se revirando na cadeira. Isso aqui é realmente fascinante, principalmente quando você
vê pela primeira vez. Mais "i" vezes sen(x). E este resultado aqui ficou famoso
e conhecido como a fórmula de Euler, devido ao grande matemático do século 18,
Leonard Euler. E quando digo que isso aqui
é realmente fascinante, pare para pensar um pouco no que
nós estamos fazendo aqui. A gente está pegando aqui o número "e" que é um número irracional famoso. Provavelmente, você já viu
lá em matemática financeira quando a gente vai fazer
capitalização contínua. A gente está pegando também
cosseno e seno, que são razões que surgem
no triângulo retângulo. E, de alguma forma, se a gente também
considerar aqui um número imaginário, que seria vamos dizer a raiz quadrada
de um número negativo, isso tudo fica relacionado através dessa equação aqui, o que é fantástico! Mas vamos tentar fazer isso aqui
ficar mais impressionante ainda. E se a gente colocasse no lugar
do "x" um outro número também muito famoso, o número π. π que é a razão entre o comprimento
e o diâmetro de um círculo. O que será que acontece quando
a gente tenta usar a fórmula de Euler, colocando no lugar do "x" o π? Vamos pegar mais um número meio maluco, o número irracional π, e vamos
colocar aqui junto também. Então, aqui a gente vai ter o seguinte: "e" elevado a "iπ" isso vai ser igual, a gente está trocando,
então, "x" por "π". Vai ficar cos π + sen π. Vamos lembrar o que é cos π, sen π. Fazendo aqui o círculo
trigonométrico rapidinho, a gente vai ter aqui o seguinte: o zero está aqui e π é meia volta. Então, aqui a gente tem do lado de cá, π. O cosseno é a projeção horizontal aqui para quando a gente está em π. Projeção horizontal aqui seria
este segmento aqui. Como a gente está em um círculo
trigonométrico com raio 1, este valor aqui vale 1. A questão é que como
a gente foi para a esquerda, então o cos π vai ser -1. Já o sen(x), seria essa
projeção vertical. E, aqui, quando você está em π, você percebe que não vai
nem para cima, nem para baixo
aqui no eixo vertical. Então, quando você está em π,
a projeção vertical aqui é zero. Então, este pedaço aqui não tem. E aí, a gente tem o que
a gente conhece aqui como isso aqui ficou famoso também,
conhecido como a identidade de Euler. Então, quando a gente pega a fórmula Euler e aplica x = π, a gente cria a identidade de Euler. A gente pode escrever isso
aqui também de outra forma. Deixe-me conseguir um
pouco mais de espaço. E vamos usar cores diferentes para
enfatizar melhor o que eu quero mostrar. Bom, vamos reescrever essa identidade
acrescentando mais um aqui dos dois lados. Então, isso aqui vai ficar
"e" elevado a "i" vezes "π". Nisso, a gente vai acrescentar "+1". Isso vai ser igual,
eu vou usar uma cor neutra para o igual. Isso vai ser igual a, do lado de cá, vai ficar -1 + 1
e isso vai dar zero. E isso é algo para a gente
realmente parar para pensar. A gente tem aqui o "i",
que por simplicidade eu posso escrever como √-1. O "i" ajuda a gente a calcular
as raízes de qualquer polinômio. A gente tem também o π que seria a razão entre o comprimento
de um círculo e seu diâmetro, que é um número muito importante. Mas parece vir de um lugar
totalmente diferente de "i". A gente tem também o "e" que é outro número interessantíssimo, que aparece por exemplo
na capitalização contínua. Um resultado muito importante
da matemática financeira. Também temos que a função "eˣ" quando você deriva a função "eˣ", quantas vezes você derivá-la,
sempre vai dar "eˣ". Então, "e" é um número
muito impressionante mesmo. E, aparentemente, o "e" não tem
nada a ver de conexão aqui com o "i", nem nada a ver com o π. Aqui, a gente tem também o número 1 que seria a identidade da nossa multiplicação. E o número zero que seria identidade
aqui da nossa adição, que são dois números
que dispensam comentários. E o que esta equação mostra para a gente é que todos estes números
bacanas que a gente usou, todos estes números interessantes que
aparecem em situações do nosso universo estão conectados de alguma forma
meio que mística aqui. E se isto aqui realmente não chama sua atenção, não mexe com a sua cabeça, você provavelmente não tem emoção!