Exemplo resolvido: função cosseno a partir da série de potências

RKA1JV - Aqui eu tenho uma série infinita, a soma de "n" igual a zero até o infinito de -1ⁿ vezes x⁶ⁿ sobre 2n. Sendo que todo esse "2n" é fatorial. Meu objetivo, neste vídeo, é calcular essa série de potências quando "x" é igual à raiz cúbica de π dividido por 2. Sugiro, então, que você pause o vídeo e tente resolver por você mesmo. Eu vou te dar uma dica, a chave para isso é entender para que função essa série de potências serve. Então, usar tal função para resolver isso. A outra dica, olhe, isso é meio que um número misterioso ou suspeito, π/2. Isso é algo que, para resolver, eu usaria uma função trigonométrica, é uma forma um pouco mais direta. Vou deixar você tentar. Supondo que você tenha tentado, então, agora vamos resolver juntos. Em qualquer problema desse tipo, eu gosto de pelo menos expandir a série de potências para entender melhor do que se trata. Expandida sequência, isso resultará, quando o "n" for igual a zero, isso é 1. Na verdade, todos esses são 1. Será simplesmente 1. Quando "n" for 1, isso será igual a -1, x⁶ sobre 2 fatorial, quando "n" igual 2 será positivo. -1² é 1 positivo vezes x¹² sobre 4 fatorial. Vamos fazer só mais um caso. Quando "x" é igual a 3 será igual a -x¹⁸ sobre 6 fatorial. E assim sucessivamente. Agora por outro lado, eu não sei dizer uma função, sobretudo uma trigonométrica. Pois era nossa pista aqui. π/2 parece indicar que isso deve ser uma função trigonométrica bem aqui. Instantaneamente nada vem à minha cabeça, mas é certo que isso é estranhamente familiar. Isso parece muito com a série de potências ou serie de MacLaurin para o cosseno de "x", a qual já vimos várias vezes. Façamos uma pequena revisão dela, se isso não for familiar, no vídeo anterior, eu explico a série de Maclaurin para o cosseno de "x" em detalhe como chegar nisso. A série de Maclaurin para cosseno de "x" é igual a, só alguns termos, usarei aproximadamente igual a 1 menos x² sobre 2 fatorial, mais x⁴ sobre 4 fatorial, menos x⁶ sobre 6 fatorial. Assim, você deve estar começando a ver as semelhanças. O primeiro termo é o mesmo, o sinal negativo e positivo, negativo e positivo, negativo e positivo, 2 fatorial, 4 fatorial, 6 fatorial. A diferença está nos expoentes, nos expoentes de "x". Esse "x" está ao quadrado, esse outro está elevado à sexta, esse "x" está elevado a quarta e o outro elevado à décima segunda, esse "x" está à sexta e o outro elevado à décima oitava. Eu quero que você pense: nós podemos substituir "x" por alguma outra coisa? Porque mudando qualquer coisa, por exemplo, se mudar "x" por talvez a + b, sempre que virmos "x", substitua por a + b. Nós podemos colocar uma potência aqui para que essas coisas fiquem assim. Esse x⁶ é a mesma coisa que (x³)² e outro aqui x¹² é a mesma coisa que (x³)⁴. E o próximo é a mesma coisa que (x³)⁶. Se pudermos substituir cada um desses "x" com x³, chegamos a essa série de potências aqui. Como fazemos isso? Podemos dizer que o cosseno de x³ vai ser igual, vou mudar a cor aqui. Lembre-se que ao ver um "x" é só substituir por x³. Isso aqui vai ser igual, aproximadamente igual a 1 menos algo entre parênteses, ao quadrado sobre 2 fatorial. Mais algo entre parênteses elevado à quarta sobre 4 fatorial, menos algo entre parênteses elevado à sexta sobre 6 fatorial. Agora é só completar parênteses, já que estou elevando o cosseno de "x" ao cubo, aqui será (x³)². O próximo (x³)⁴ e o outro (x³)⁶ que é exatamente o que eu tenho aqui. O que temos aqui é uma sequência de potências para cosseno de x³. Calculando isso quando "x" for a raiz cúbica de π/2, é o mesmo que calcular aquilo quando "x" é a raiz cúbica de π/2. Vamos escrever isso porque isso é bem interessante. Vou escrever aqui: de "n" igual a zero até o infinito de -1 até "n" de "x" elevado a 6n sobre 2 fatorial. Isso é igual a essa representação das sete potências, cosseno de x³. Para calcular isso quando "x" for raiz cúbica de π/2, basta resolver isso para "x" é igual a raiz cúbica de π/2. Isso, embora de forma suspeita, funciona bem, pois ao tirar o cubo da raiz cúbica, coisas boas acontecerão. O cosseno da raiz cúbica de π/2 ao cubo é a mesma coisa aqui cosseno de π/2, que, é claro, é a mesma coisa que zero. Então, nós terminamos.