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Exemplo resolvido: reconhecimento de função a partir da série de Taylor

Exemplo de questão de cálculo avançado que solicita o reconhecimento de uma função a partir de sua série de Taylor.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Esta expressão é uma série de Taylor em torno de zero para qual das seguintes funções? Então, eles nos dão aqui cinco escolhas. Então, vamos pensar um pouco sobre esta série que eles nos deram. Então, se tivéssemos de expandir esta expressão, vamos ver quando "n" é igual a zero, seria -1 elevado a zero, que é 1 vezes "x" elevado a zero, que é 1 ao log de zero fatorial. E vai ser 1 mais, em seguida, quando o símbolo "n" representar 1, então isso aqui vai ser menos. Em seguida, x¹ / 1!, que é a mesma coisa que "x". Então, em seguida, quando o "n = 2", nós temos aqui -1², que é igual a 1, vezes x² / 2!. Quando "n = 3", nós vamos ter -x³ / 3!. Em seguida, eu posso continuar. Quando "n = 4", nós vamos ter mais x⁴ / 4!. Como você já viu em outros vídeos. E isso vai continuar e continuar, sempre alternando menos e mais. Agora, nossa fórmula geral para uma série de Taylor em torno de zero, que também poderíamos chamar de uma série Maclaurin, seria f(0) + f'(0)x + f''(0) x²/2 + f'''(0) x³ / 6 + f''''(0) x⁴ / 4! E nós iríamos continuar, continuar e continuar. Agora, para descobrir qual a função, eu escrevi em azul o que vai ser de Maclaurin e o que vai ser de Taylor, em torno de zero, em vermelho. Isso significa que f(0) precisa ser igual a 1. Isso significa que é f'(0), na verdade, deixe-me escrever isso. f(0) precisa ser igual a 1. f'(0) precisa ser igual a -1. Isso aqui vai ser, neste caso, o coeficiente ao quadrado. Então, vai ser 1. E terceiro derivado de zero, vai ser igual a -1. E apenas usando essas informações, nós podemos descobrir qual dessas funções é a resposta. Então, você poderia fazer um pouco de raciocínio dedutivo aqui. Vamos avaliar todas essas funções em zero e ver qual delas dá um resultado igual a 1. Então, o seno de zero, bem, isso é zero. Basta olhar para essa primeira função, seno de zero, então é zero. Podemos descartar esta alternativa aqui. Cosseno de zero é 1. "e" elevado a zero é 1, "e" elevado a menos zero é 1. Então, o logaritmo natural de 1 mais zero, o logaritmo natural de 1 vai ser zero, então, este está fora também. Bom, nós sabemos que f(0) = 1 para estas três possibilidades. Somos capazes de descartar duas das escolhas. Em seguida, sabendo que a primeiro derivada avaliada em zero vai ser -1. Mas o que é a primeira derivada do cosseno de "x"? É o seno negativo de "x". Se resolvermos isso, nós não obteremos -1. Então, podemos descartar mais esta opção. Agora, a primeira derivada de "e" elevado a "x", se avaliarmos, é zero. Nós vamos ter 1, mas não negativo. Então, não é esta opção. Bom, então a nossa resposta é a "D". Mas nós podemos verificar isso. A primeira derivada aqui, f'(x), vai ser igual a "e" negativo elevado a -x. Então, f'(0) vai ser igual a "e" negativo para zero ou negativo. Então, f'(0) vai ser igual a -1. Se você estiver curioso, você pode continuar e ver que ele atende a todas as outras restrições. Mas a escolha "D" é a única que atende até às primeiras duas restrições para a função em zero e a primeira derivada em zero.