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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 15: Séries de Maclaurin para eˣ, sen(x) e cos(x)- Série de Maclaurin de cos(x)
- Série de Maclaurin de sen(x)
- Série de Maclaurin de eˣ
- Exemplo resolvido: série de potências a partir do cos(x)
- Exemplo resolvido: função cosseno a partir da série de potências
- Exemplo resolvido: reconhecimento de função a partir da série de Taylor
- Série de Maclaurin de sen(x), cos(x), e eˣ
- Visualização de aproximações da série de Taylor
- Fórmula e identidade de Euler
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Série de Maclaurin de eˣ
Aproximação do valor de eˣ com uma série de Maclaurin (que é como um polinômio de Taylor centrado em x=0 com infinitos termos). Resulta que esta série é exatamente igual à própria função! Versão original criada por Sal Khan.
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- Quais são os três primeiros termos diferentes de zero do polinômio de Maclaurin para a função f(x)={{e}^{2x}}f(x)=e
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Agora vamos fazer algo bem interessante. Esta será uma das funções mais fáceis de se
encontrar a representação da série de Maclaurin. Vamos tentar aproximar "e" elevado a "x". f(x) = "e" elevado a "x". O que torna isto simples é que,
quando você deriva, e isto é uma das coisas incríveis
sobre o número "e", quando você deriva "e" elevado a "x",
você obtém "e" elevado a "x". Isto é igual à derivada à segunda de f(x), isto é igual à derivada à terceira de f(x), isto é igual à derivada à enésima de f(x). É sempre igual a "e" elevado a "x". Esta é a primeira coisa impressionante
sobre "e". Você pode continuar pegando sua derivada. A inclinação em qualquer ponto da curva
é o mesmo valor do ponto naquela curva. Isto é incrível. Dito isto, vamos dar sua
representação Maclaurin. Teremos que encontrar f(0), f'(0)
e derivada à segunda de zero, quando tomamos "e" elevado a zero, e "e" elevado a zero é apenas igual a 1. Isto vai ser igual a f'(0). E isto será igual a qualquer outra derivada
à enésima variada em zero. Isso que torna o uso da série Maclaurin
bastante direto. Se eu quiser aproximar "e" elevado a "x"
usando a série Maclaurin, então: "e" elevado a "x", colocarei
um sinal de aproximadamente e nos aproximaremos do valor de "e"
elevado a "x", pois estamos adicionando mais e mais termos. Especialmente, se adicionamos um número
infinito de termos, se pareceria com isto: f(0). Quais cores eu uso para cosseno e seno? Já usei rosa e verde.
Usarei uma cor diferente. Usarei amarelo aqui. Então, f(0) é 1, mais f'(0) vezes "x". f'(0) também é 1. Então, mais "x", mais... Este também é 1. Será x² sobre 2 fatorial. Mais x² sobre 2 fatorial. Todos estes termos serão 1. Isto é 1, isto é 1, quando falamos
de "e" elevado a "x". Vamos para o terceiro termo.
Isto é 1. Você tem x³ sobre 3 fatorial, mais x³ sobre 3 fatorial. Você vê um padrão aqui? Estamos apenas adicionando termos. "x" elevado a 4 sobre 4 fatorial, mais "x" elevado a 5 sobre 5 fatorial e algo muito simples está começando
a emergir. Isto é interessante. "e" elevado a "x" pode ser aproximado
por 1 + x elevado a "x", elevado a 2 sobre 2 fatorial, mais "x" elevado a 3 sobre 3 fatorial. Mais uma vez, "e" elevado "x"
está parecendo bem interessante. Isto nos leva a resultados interessantes. Se quiser aproximar "e", você avalia
isso como x = 1. Se quiser aproximar "e", "e" será aproximadamente igual
a este polinômio avaliado em 1. Se "x" é 1 aqui, fazemos x = 1 nesta região. Então, será 1 + 1 + 1 sobre 2 fatorial, mais 1 sobre 3 fatorial, mais 1 sobre 4 fatorial e assim por diante até o infinito. Você também pode representar isso
como 1 sobre 1 fatorial. O que é realmente legal é que esta é
uma maneira simples de representar "e". Isto mostra que "e", mais uma vez,
mostra-se como uma coisa simples, tipo 2 + 1/2 + 1/6, mais... Se você continuar fazendo isso,
chegará perto do número "e". Mas isto, por si só, não é
a única coisa fascinante. Se olharmos a representação Maclaurin
destas outras funções, cosseno de "x"... Deixe-me copiar e colar. Cosseno de "x", até aqui... Farei o melhor para copiar e colar tudo. Este é cosseno de "x". Faremos o mesmo que fizemos com
o seno de "x" no vídeo passado. Seno de "x", deixe-me copiar e colar isso. Nós vemos alguma relação entre
estas aproximações? Antes, você provavelmente teria adivinhado
alguma relação entre cosseno e seno. Mas o que quer dizer "e" elevado a "x"? O que você vê aqui é o cosseno de "x". Se parece muito com este termo mais este, embora precisaríamos colocar
um sinal negativo aqui na frente. Temos uma versão negativa deste termo,
mais este termo, mais a versão negativa deste termo bem aqui. E seno de "x" se parece com este termo, mais a versão negativa deste termo,
mais este termo, mais a versão negativa do próximo termo. Se pudéssemos conciliar os termos
negativos de alguma forma interessante, "e" elevado a "x" estaria... Ou, pelo menos, a representação
polinomial de "e" elevado a "x", estaria, de alguma forma,
relacionada à combinação das representações polinomiais
de cosseno de "x" e "e" seno de "x". Isto está começando a ficar
realmente muito legal. Estamos começando a ver
uma conexão entre algo, ou alguma função cuja derivada
é sempre igual à função. E o que sai do círculo unitário
em movimentos oscilatórios e outros tipos de coisas começam a apresentar uma espécie
de pura conectividade. Mas vou deixá-lo por aqui neste vídeo e, no próximo, mostrarei como conciliar
estas três funções fascinantes.