Série de Maclaurin de eˣ

RKA2G - Agora vamos fazer algo bem interessante. Esta será uma das funções mais fáceis de se encontrar a representação da série de Maclaurin. Vamos tentar aproximar "e" elevado a "x". f(x) = "e" elevado a "x". O que torna isto simples é que, quando você deriva, e isto é uma das coisas incríveis sobre o número "e", quando você deriva "e" elevado a "x", você obtém "e" elevado a "x". Isto é igual à derivada à segunda de f(x), isto é igual à derivada à terceira de f(x), isto é igual à derivada à enésima de f(x). É sempre igual a "e" elevado a "x". Esta é a primeira coisa impressionante sobre "e". Você pode continuar pegando sua derivada. A inclinação em qualquer ponto da curva é o mesmo valor do ponto naquela curva. Isto é incrível. Dito isto, vamos dar sua representação Maclaurin. Teremos que encontrar f(0), f'(0) e derivada à segunda de zero, quando tomamos "e" elevado a zero, e "e" elevado a zero é apenas igual a 1. Isto vai ser igual a f'(0). E isto será igual a qualquer outra derivada à enésima variada em zero. Isso que torna o uso da série Maclaurin bastante direto. Se eu quiser aproximar "e" elevado a "x" usando a série Maclaurin, então: "e" elevado a "x", colocarei um sinal de aproximadamente e nos aproximaremos do valor de "e" elevado a "x", pois estamos adicionando mais e mais termos. Especialmente, se adicionamos um número infinito de termos, se pareceria com isto: f(0). Quais cores eu uso para cosseno e seno? Já usei rosa e verde. Usarei uma cor diferente. Usarei amarelo aqui. Então, f(0) é 1, mais f'(0) vezes "x". f'(0) também é 1. Então, mais "x", mais... Este também é 1. Será x² sobre 2 fatorial. Mais x² sobre 2 fatorial. Todos estes termos serão 1. Isto é 1, isto é 1, quando falamos de "e" elevado a "x". Vamos para o terceiro termo. Isto é 1. Você tem x³ sobre 3 fatorial, mais x³ sobre 3 fatorial. Você vê um padrão aqui? Estamos apenas adicionando termos. "x" elevado a 4 sobre 4 fatorial, mais "x" elevado a 5 sobre 5 fatorial e algo muito simples está começando a emergir. Isto é interessante. "e" elevado a "x" pode ser aproximado por 1 + x elevado a "x", elevado a 2 sobre 2 fatorial, mais "x" elevado a 3 sobre 3 fatorial. Mais uma vez, "e" elevado "x" está parecendo bem interessante. Isto nos leva a resultados interessantes. Se quiser aproximar "e", você avalia isso como x = 1. Se quiser aproximar "e", "e" será aproximadamente igual a este polinômio avaliado em 1. Se "x" é 1 aqui, fazemos x = 1 nesta região. Então, será 1 + 1 + 1 sobre 2 fatorial, mais 1 sobre 3 fatorial, mais 1 sobre 4 fatorial e assim por diante até o infinito. Você também pode representar isso como 1 sobre 1 fatorial. O que é realmente legal é que esta é uma maneira simples de representar "e". Isto mostra que "e", mais uma vez, mostra-se como uma coisa simples, tipo 2 + 1/2 + 1/6, mais... Se você continuar fazendo isso, chegará perto do número "e". Mas isto, por si só, não é a única coisa fascinante. Se olharmos a representação Maclaurin destas outras funções, cosseno de "x"... Deixe-me copiar e colar. Cosseno de "x", até aqui... Farei o melhor para copiar e colar tudo. Este é cosseno de "x". Faremos o mesmo que fizemos com o seno de "x" no vídeo passado. Seno de "x", deixe-me copiar e colar isso. Nós vemos alguma relação entre estas aproximações? Antes, você provavelmente teria adivinhado alguma relação entre cosseno e seno. Mas o que quer dizer "e" elevado a "x"? O que você vê aqui é o cosseno de "x". Se parece muito com este termo mais este, embora precisaríamos colocar um sinal negativo aqui na frente. Temos uma versão negativa deste termo, mais este termo, mais a versão negativa deste termo bem aqui. E seno de "x" se parece com este termo, mais a versão negativa deste termo, mais este termo, mais a versão negativa do próximo termo. Se pudéssemos conciliar os termos negativos de alguma forma interessante, "e" elevado a "x" estaria... Ou, pelo menos, a representação polinomial de "e" elevado a "x", estaria, de alguma forma, relacionada à combinação das representações polinomiais de cosseno de "x" e "e" seno de "x". Isto está começando a ficar realmente muito legal. Estamos começando a ver uma conexão entre algo, ou alguma função cuja derivada é sempre igual à função. E o que sai do círculo unitário em movimentos oscilatórios e outros tipos de coisas começam a apresentar uma espécie de pura conectividade. Mas vou deixá-lo por aqui neste vídeo e, no próximo, mostrarei como conciliar estas três funções fascinantes.