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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 3: teste do n-ésimo termoTeste do n-ésimo termo para divergência
Se os termos de uma série infinita não tendem a zero, a série deve divergir. Saiba mais sobre esse teste neste vídeo.
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Transcrição de vídeo
[RKA20C] O que a gente vai fazer agora é começar a explorar
uma série de testes para determinar quando uma série
converge ou diverge. E o primeiro que eu vou
apresentar para vocês é, talvez, o mais básico e acho que o mais intuitivo, que é o teste de divergência. O teste de divergência não diz
se uma série vai convergir, mas ele é muito bom
para dizer se ela vai divergir. Primeiro, deixe-me escrevê-lo aqui
em uma notação matemática, aí a gente olha um exemplo mais concreto de
como ele funciona. O teste de divergência
nos diz que, se o limite, quando n
tende ao infinito de aₙ, não é igual a zero, então, a série infinita de n = 1 até o infinito de aₙ
vai divergir. A gente já estudou
o que significa "divergir", e essa soma vai
ilimitada até +ꚙ ou -ꚙ, ou vai só ficar oscilando
entre valores, nunca realmente se aproximando
de uma soma ou um valor exato. Bom, é isso que o teste de divergência
diz para a gente. Eu imagino que você
possa estar pensando: "Ok, entendi. Mas qual a utilidade disso? Onde eu vou usar?". Para vermos como
ele pode ser útil, vamos olhar um exemplo aqui
de uma série para descobrir
se ela vai divergir ou não. Então, vamos lá! Digamos que eu tenha esta série aqui,
somatória de n = 1 até ꚙ... Ah! Em geral, aqui aparece n = 1, mas poderia ser igual a 2, 3, 4... Poderia ser qualquer número. O que importa é que vai até ꚙ, ou seja, é de uma série infinita
que a gente está falando. Isso é o mais importante
quando a gente vai estudar o limite quando n
tende ao infinito. Bom, aqui é a somatória
de 4n² - n³ sobre 7 - 3n³. Dado que a gente já sabe
sobre o teste de divergência, será que esta série aqui
vai convergir ou divergir? Bom, vamos olhar para ela, para o que estamos somando aqui. Isto aqui é, essencialmente, o nosso aₙ se formos comparar, encaixar
na definição do teste de divergência. Então, vamos pensar aqui
em qual vai ser o limite quando n tende ao ꚙ
de 4n² - n³ sobre 7 - 3n³. Eu encorajo você
a pausar o vídeo e tentar fazer. Existem algumas maneiras
de resolver isso. Uma delas, talvez a mais intuitiva,
é a gente olhar aqui e ver que, quando n
tende ao ꚙ, tanto no numerador
quanto no denominador, o n que está elevado
ao maior grau é o que vai importar. Então, esta expressão aqui
se aproximaria de -1/-3, que daria ⅓ positivo. Mas, se quisermos fazer de uma forma
um pouco mais sistemática, para achar o limite quando n tende ao ꚙ, podemos dividir
tanto o numerador quanto o denominador por n³, que é o n de maior grau. Aí, a gente vai ter:
4∕n - 1 dividido por 7/n³ - 3. Aí, como n tende ao ꚙ, isto aqui vai tender a zero. Isto aqui também. Aí, a gente vai ficar com -1/-3,
que vai dar ⅓. Olha só, o teste de divergência diz para a gente que o limite de aₙ, quando n tende ao ꚙ,
não é igual a zero, que é o nosso caso aqui,
que deu ⅓. Então, esta soma,
esta série infinita, diverge. Agora, vamos parar um minutinho para entender por que isso
faz muito sentido. Vamos lembrar que isto aqui
é uma soma infinita. A gente está somando
termos infinitamente. Então, o único jeito de você
somar coisas infinitamente e chegar a um número finito, ou seja, convergir
para um número finito, é se os termos que você
está somando vão ficando menores, menores, menores e menores, tendendo a zero. Se, quando n tende a ꚙ,
você tem algo ilimitado, ou aproxima-se de ⅓ ou qualquer outro número, isso significa que,
para um n grande, você está adicionando coisas
que estão se aproximando e se aproximando
cada vez mais de ⅓, como foi o caso aqui
deste que a gente fez. Se você somar infinitos números ⅓, você tende ao ꚙ também. Você vai estar ilimitado,
você vai divergir. É isso que este teste
está dizendo para a gente. É só a gente pensar que,
para alguma coisa convergir quando você está somando
infinitos termos, em algum ponto,
essa soma tem que chegar muito próxima de zero. Se não chegar, não tem como
essa soma convergir. Ela, com certeza, vai divergir. Isso também dá para a gente
uma nova visão sobre o que o teste
de divergência não faz. O teste de divergência pode ser usado para mostrar que uma coisa diverge, mas, se uma expressão não passar
no teste de divergência, isso não significa, necessariamente,
que essa expressão vai convergir. Vamos ver um exemplo disso
para ficar mais claro. Então, vamos pegar aqui
a somatória de n = 1 até o ꚙ de 1/n, que é, na verdade,
a série harmônica. Então, se a gente for aplicar
o teste de divergência aqui, a gente vai colocar:
limite quando n tende ao ꚙ de 1/n... Bom, isso vai dar zero, né? Então, a gente pode dizer
que esta expressão aqui falhou no teste de divergência. Mas isso não significa, necessariamente, que isto aqui não diverge. Na verdade, como a gente
inclusive já viu em outros vídeos, esta sequência aqui diverge. Vou escrever aqui: "diverge". O que acontece aqui
é que o teste de divergência não é uma ferramenta
precisa o suficiente para provar para a gente
que isto aqui diverge. Mas aí, por exemplo,
o teste de comparação ou o teste integral
podem ser usados para provar que isto aqui converge. Então, isto aqui é importante! Falhar no teste de divergência não significa
que esta expressão vai convergir. Ela pode ainda divergir. Mas claro que há expressões
que falham nesse teste e, de fato, convergem. Vamos ver um exemplo aqui. Se eu pegar a somatória de n = 1
até ꚙ de 1/n² e for aplicar o teste de divergência, eu vou ter aqui:
o limite quando n tende ao ꚙ de 1/n²... Bom, isso também vai dar zero. Este n² vai ficar
muito grande, e esta expressão vai
se aproximar de zero. Aqui, de novo, a gente
tem uma expressão que falhou no teste de divergência. Só com isso não tem como
a gente afirmar com certeza que isto aqui converge, mas, se a gente aplicar testes
que vai ver em outros vídeos, a gente consegue provar
que isto aqui, de fato, converge. Mas não porque ela falhou
no teste de divergência. A gente viu aqui que, quando uma expressão falha
no teste divergência, pode ser que ela
seja convergente, mas também pode ser
que ela seja divergente. Aí, você pode estar pensando: "Nossa, então, para quê serve
esse teste de divergência?". Ele é muito útil para as expressões
que passam no teste, como esta aqui que a gente fez. Quando o limite
é diferente de zero, a gente pode ter
certeza absoluta de que a expressão diverge.