Teste do n-ésimo termo para divergência

[RKA20C] O que a gente vai fazer agora é começar a explorar uma série de testes para determinar quando uma série converge ou diverge. E o primeiro que eu vou apresentar para vocês é, talvez, o mais básico e acho que o mais intuitivo, que é o teste de divergência. O teste de divergência não diz se uma série vai convergir, mas ele é muito bom para dizer se ela vai divergir. Primeiro, deixe-me escrevê-lo aqui em uma notação matemática, aí a gente olha um exemplo mais concreto de como ele funciona. O teste de divergência nos diz que, se o limite, quando n tende ao infinito de aₙ, não é igual a zero, então, a série infinita de n = 1 até o infinito de aₙ vai divergir. A gente já estudou o que significa "divergir", e essa soma vai ilimitada até +ꚙ ou -ꚙ, ou vai só ficar oscilando entre valores, nunca realmente se aproximando de uma soma ou um valor exato. Bom, é isso que o teste de divergência diz para a gente. Eu imagino que você possa estar pensando: "Ok, entendi. Mas qual a utilidade disso? Onde eu vou usar?". Para vermos como ele pode ser útil, vamos olhar um exemplo aqui de uma série para descobrir se ela vai divergir ou não. Então, vamos lá! Digamos que eu tenha esta série aqui, somatória de n = 1 até ꚙ... Ah! Em geral, aqui aparece n = 1, mas poderia ser igual a 2, 3, 4... Poderia ser qualquer número. O que importa é que vai até ꚙ, ou seja, é de uma série infinita que a gente está falando. Isso é o mais importante quando a gente vai estudar o limite quando n tende ao infinito. Bom, aqui é a somatória de 4n² - n³ sobre 7 - 3n³. Dado que a gente já sabe sobre o teste de divergência, será que esta série aqui vai convergir ou divergir? Bom, vamos olhar para ela, para o que estamos somando aqui. Isto aqui é, essencialmente, o nosso aₙ se formos comparar, encaixar na definição do teste de divergência. Então, vamos pensar aqui em qual vai ser o limite quando n tende ao ꚙ de 4n² - n³ sobre 7 - 3n³. Eu encorajo você a pausar o vídeo e tentar fazer. Existem algumas maneiras de resolver isso. Uma delas, talvez a mais intuitiva, é a gente olhar aqui e ver que, quando n tende ao ꚙ, tanto no numerador quanto no denominador, o n que está elevado ao maior grau é o que vai importar. Então, esta expressão aqui se aproximaria de -1/-3, que daria ⅓ positivo. Mas, se quisermos fazer de uma forma um pouco mais sistemática, para achar o limite quando n tende ao ꚙ, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por n³, que é o n de maior grau. Aí, a gente vai ter: 4∕n - 1 dividido por 7/n³ - 3. Aí, como n tende ao ꚙ, isto aqui vai tender a zero. Isto aqui também. Aí, a gente vai ficar com -1/-3, que vai dar ⅓. Olha só, o teste de divergência diz para a gente que o limite de aₙ, quando n tende ao ꚙ, não é igual a zero, que é o nosso caso aqui, que deu ⅓. Então, esta soma, esta série infinita, diverge. Agora, vamos parar um minutinho para entender por que isso faz muito sentido. Vamos lembrar que isto aqui é uma soma infinita. A gente está somando termos infinitamente. Então, o único jeito de você somar coisas infinitamente e chegar a um número finito, ou seja, convergir para um número finito, é se os termos que você está somando vão ficando menores, menores, menores e menores, tendendo a zero. Se, quando n tende a ꚙ, você tem algo ilimitado, ou aproxima-se de ⅓ ou qualquer outro número, isso significa que, para um n grande, você está adicionando coisas que estão se aproximando e se aproximando cada vez mais de ⅓, como foi o caso aqui deste que a gente fez. Se você somar infinitos números ⅓, você tende ao ꚙ também. Você vai estar ilimitado, você vai divergir. É isso que este teste está dizendo para a gente. É só a gente pensar que, para alguma coisa convergir quando você está somando infinitos termos, em algum ponto, essa soma tem que chegar muito próxima de zero. Se não chegar, não tem como essa soma convergir. Ela, com certeza, vai divergir. Isso também dá para a gente uma nova visão sobre o que o teste de divergência não faz. O teste de divergência pode ser usado para mostrar que uma coisa diverge, mas, se uma expressão não passar no teste de divergência, isso não significa, necessariamente, que essa expressão vai convergir. Vamos ver um exemplo disso para ficar mais claro. Então, vamos pegar aqui a somatória de n = 1 até o ꚙ de 1/n, que é, na verdade, a série harmônica. Então, se a gente for aplicar o teste de divergência aqui, a gente vai colocar: limite quando n tende ao ꚙ de 1/n... Bom, isso vai dar zero, né? Então, a gente pode dizer que esta expressão aqui falhou no teste de divergência. Mas isso não significa, necessariamente, que isto aqui não diverge. Na verdade, como a gente inclusive já viu em outros vídeos, esta sequência aqui diverge. Vou escrever aqui: "diverge". O que acontece aqui é que o teste de divergência não é uma ferramenta precisa o suficiente para provar para a gente que isto aqui diverge. Mas aí, por exemplo, o teste de comparação ou o teste integral podem ser usados para provar que isto aqui converge. Então, isto aqui é importante! Falhar no teste de divergência não significa que esta expressão vai convergir. Ela pode ainda divergir. Mas claro que há expressões que falham nesse teste e, de fato, convergem. Vamos ver um exemplo aqui. Se eu pegar a somatória de n = 1 até ꚙ de 1/n² e for aplicar o teste de divergência, eu vou ter aqui: o limite quando n tende ao ꚙ de 1/n²... Bom, isso também vai dar zero. Este n² vai ficar muito grande, e esta expressão vai se aproximar de zero. Aqui, de novo, a gente tem uma expressão que falhou no teste de divergência. Só com isso não tem como a gente afirmar com certeza que isto aqui converge, mas, se a gente aplicar testes que vai ver em outros vídeos, a gente consegue provar que isto aqui, de fato, converge. Mas não porque ela falhou no teste de divergência. A gente viu aqui que, quando uma expressão falha no teste divergência, pode ser que ela seja convergente, mas também pode ser que ela seja divergente. Aí, você pode estar pensando: "Nossa, então, para quê serve esse teste de divergência?". Ele é muito útil para as expressões que passam no teste, como esta aqui que a gente fez. Quando o limite é diferente de zero, a gente pode ter certeza absoluta de que a expressão diverge.