Séries harmônicas e séries 𝑝

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos começar a falar a respeito de séries harmônicas e séries "p". Durante muito tempo, os matemáticos ficaram fascinados pela soma infinita que chamamos de série: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 e assim por diante. Esta soma é muito interessante Se você perceber, você está somando 1 com outros números, que estão ficando cada vez menores, ficando mais próximos do zero. Mas, quando você soma todos eles, ou você tem um número finito ou diverge. E claro, provavelmente, a música levou ao estudo dessa série. Porque, se você tiver aqui, digamos, uma nota fundamental, ou seja, uma frequência fundamental na música, algo mais ou menos assim (lembrando que o objetivo desta aula não é ensinar música, mas sim matemática, ou seja, eu estou mostrando apenas o comprimento de uma onda, que continua indo para lá), os harmônicos são as frequências. E o interessante desses harmônicos é que eles sempre são 1/2 do comprimento de onda de "a". Ou seja, algo mais ou menos assim seria o harmônico de "a". Ou seja, a metade do comprimento da primeira onda que desenhamos. Este outro harmônico seria 1/3 do comprimento da onda original, este, 1/4 do comprimento da onda original, e assim por diante. Se você perceber os instrumentos que nós gostamos, eles não estão tocando somente o tom fundamental, mas estão tocando muitos harmônicos. Enfim, eu só mostrei isso para justificar o porquê do nome ser "série harmônica" Nos próximos vídeos, eu vou provar que isto diverge. Claro, eu vou mostrar séries que divergem ou convergem. Mas esta série harmônica, em particular, diverge. Eu posso até reescrevê-la aqui como o somatório de n = 1 até o infinito de 1/n. E uma outra coisa bastante interessante é: o que acontece se nós jogarmos alguns expoentes aqui? Como já sabemos, o somatório de n = 1 até o infinito de 1/n é igual a 1/1 + 1/2 + 1/3 e assim por diante. Mas o que acontece se pegarmos cada um destes denominadores e elevar ao quadrado? Você teria o somatório de n = 1 até o infinito de 1/n², que vai ser igual a 1/1², que vai dar 1, mais 1/2², que vai dar 1/4, mais 1/3², que vai dar 1/9 e eu posso continuar ainda, somando com 1/4², que vai dar 1/16, mais 1/5², que vai dar 1/25, e assim por diante. E que você pode generalizar escrevendo como: o somatório de n = 1 até o infinito de 1/n elevado a "p", onde "p" pode ser qualquer expoente, e que é igual a 1 + 1/2 elevado a "p", mais 1/3 elevado a "p", mais 1/4 elevado a "p" e assim por diante. Esse "p" nem precisa ser inteiro. Pode ser, por exemplo, 1/2. E aí você teria: 1, mais 1 sobre a raiz quadrada de 2, mais 1 sobre a raiz quadrada de 3 e assim por diante. E claro, todas estas aqui são o que chamamos de séries "p". A série harmônica é um caso particular de série "p", quando p = 1. E é "p" porque estamos elevando o denominador a um expoente "p". E claro, eu falei que algumas séries convergem enquanto outros divergem. E vou provar isso nos próximos vídeos, mais o básico é: se "p" é maior que 1, então, a série converge. E isso faz muito sentido, porque, se "p" é maior que 1, os termos vão ficando cada vez menores no denominador, o que significa que a fração vai ficar cada vez menor, convergindo para o zero. Se o "p" for menor ou igual a 1, a série diverge, que é o que acontece com a série harmônica. Mas claro, eu vou provar isso nos próximos vídeos. Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!