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Introdução à série de potências

Série de potências é uma soma de termos da forma geral aₙ(x-a)ⁿ. A convergência ou a divergência da série, e o valor para o qual ela converge, dependem do valor de x escolhido, o que torna a série de potências uma função. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Nós já vimos várias séries infinitas E o que eu quero fazer de interessante neste vídeo é usar as séries infinitas para definir uma função. Com certeza o mais comum com que você vai se deparar é conhecido como a série de potências. Série de potências. Vamos escrever uma série de potências em um caso geral de uma série de potências. Eu posso imaginar, então, uma função f(x) como sendo uma soma infinita, digamos, um somatório para n igual a zero até infinito de aₙ, que vão ser os nossos coeficientes, vezes (x menos C) elevado a n. Vamos expandir isso aqui para a gente ver como ficaria a cara dessa nossa série de potências. Isso vai ficar a₀ vezes (x menos C)⁰ mais a₁ vezes (x menos C)¹. É claro que isso aqui pode simplificar e ficar zero vezes x menos e⁰, então ficar zero vezes 1, que dá o próprio zero, e isso aqui vai ficar a₁ vezes (x menos C) mais a₂ vezes (x menos C)² e eu posso continuar isso aqui, assim por diante. Mas então você pode olhar e dizer: "Isso parece muito com uma série geométrica". Se eu pensasse que em vez de ter a nossa razão que a gente usava como "q", se eu pensasse nesta nossa razão como x, se eu pensasse que a nossa razão é uma variável, isso aqui se pareceria com uma série geométrica. E você está absolutamente certo se disser isso. Então nós vamos escrever aqui, agora, uma série geométrica para a gente comparar. Série geométrica. Vamos escrever aqui uma série geométrica. Eu tenho aqui, digamos, g(x)... Esse x é mais como uma convenção, é o que mais comumente aparece na variável independente, mas se você quiser escrever g(q) aqui não tem problema nenhum também. g(x) vai ser igual ao somatório para n igual a zero até infinito de "a" vezes xⁿ. Então vamos ver o que tem de diferente aqui. Este é um caso particular dessa de cima, a gente já reparou isso. Mas o que tem de diferente aqui é que o nosso coeficiente vai ser "a", vai ser um coeficiente fixo. Todos os termos vão ser multiplicados pelo mesmo valor "a". Aqui a gente aₙ, então nossos coeficientes iam mudando. Você tinha a₀, a₁, a₂, então eles iam variando. Aqui você tem xⁿ e aqui você tem (x menos C)ⁿ. Aqui é como se fosse um caso particular em que a gente está usando C igual a zero. Então ficou x menos zero, que deu só x. Então vamos expandir isso aqui também, o que vai ficar a vezes x⁰, poderia já colocar apenas "a", porque isto vai dar 1, então o próximo vai ser a vezes x¹ mais a vezes x² e assim sucessivamente. O que é bem interessante na série geométrica é que em alguns casos isso aqui vai dar um valor finito, então a gente sabe que em algumas condições, com algumas restrições que a gente observar, isso aqui vai convergir para um valor finito. Vamos escrever isso. Quando é que uma série geométrica converge? Então uma série geométrica converge se... Para convergir essa série geométrica, como aqui é uma soma infinita de termos, a gente vai estar sempre acrescentando alguma coisa aqui, estes termos têm que ir ficando cada vez menores. Para isso acontecer, a gente vai ter que ter o módulo de x aqui, que seria como se fosse a nossa razão, menor que 1. Então se o módulo de x for menor que 1, cada termo aqui vai ficando cada vez menor, cada vez menor, então isso aqui vai convergir para um valor finito. Eu posso escrever módulo de x menor que 1 de uma outra forma. Se o módulo de x tem de ser menor que 1, isso quer dizer que x tem de estar entre -1 e 1. Então isso que eu escrevi aqui, vamos colocar aqui também. Isso é conhecido como intervalo de convergência. Então o intervalo de convergência. Se a gente pegar valores de x para x preso nesse intervalo de convergência entre -1 e 1, a gente sabe que isso vai convergir para algo finito. Como é que fica isso aqui? O que a gente sabe? A gente sabe que se estivermos trabalhando aqui dentro do intervalo de convergência, isso vai convergir para um valor finito. E qual vai ser esse valor finito? Isso vai ficar igual ao primeiro termo que a gente tem aqui, que seria "a", "a" seria nosso primeiro termo, sobre 1 menos a razão. Nossa razão aqui é x, já que a gente está multiplicando. Quando a gente passa de um termo para o outro, aqui está multiplicando por x. Aqui é como se fosse x a nossa razão. Então esse resultado é bem interessante porque a gente vai conseguir pegar funções, digamos mais tradicionais, e tentar escrever aqui nessa forma, e com isso fazer a expansão usando uma série geométrica. A ideia de usar a série de potências, e nesse caso específico série geométrica para representar funções, ela tem muitas aplicações nas áreas de engenharia, de finanças, em que a gente vai usar uma quantidade finita de termos dessa expansão para fazer a aproximação para nossa função de uma maneira que fique mais simples para você trabalhar, de uma maneira mais conveniente de acordo com a sua necessidade. Não só isso, a gente não vai conseguir só sair dessa expansão aqui para chegar a uma fórmula que dê um valor finito, um termo de valor finito. A gente vai conseguir fazer o contrário, vai conseguir sair de expressões desse tipo e fazer a sua expansão, achar uma série que represente esse valor. Entretanto, tem que tomar muito cuidado porque a gente só pode fazer isso, isso só vai ser verdade, isso aqui só vai dar certo, se a gente estiver trabalhando dentro do nosso intervalo de convergência. Um outro termo que pode aparecer para você que é comum é o raio de convergência. Então o raio de convergência ele está, de certa forma, ligado com esse intervalo de convergência. Então a partir deste ponto C o raio de convergência vai me dizer o quanto eu posso andar para frente ou para trás desse C, o quanto posso me distanciar desse C em qualquer uma das duas direções. Então fixado a esse C a gente pode ir quanto, se afastar quanto desse C de modo que a gente ainda fique dentro do intervalo de convergência? Isso vai ser dado pelo raio de convergência. Então neste caso em que C é igual a zero, em que a gente tem C igual a zero, podemos nos afastar quanto do zero sem que a gente saia do intervalo de convergência? Então quanto eu posso ir para a direita ou para a esquerda de zero? Você pode ver que, desde que não se afaste de zero, 1 ou mais, tanto para frente quanto para trás, desde que você se afaste de zero mas não ultrapasse 1, fique menor que 1 e não ultrapasse aqui, fique maior que -1, então você pode garantir que está dentro do intervalo de convergência. Então esse raio de convergência nesse caso aqui a gente vê que é igual a 1. Outra maneira de você observar isso é que a distância entre os limites de -1 até 1, a distância é 2. Como eu posso fazer isso aqui em relação a zero, que seria o nosso centro? Em relação a zero posso fazer tanto na frente quanto para trás. Essa distância máxima sendo 2, o raio de convergência vai ser exatamente a metade desta distância. Então o raio de convergência vai garantir que a gente está aqui dentro do intervalo de convergência da nossa série.