Exemplo resolvido: intervalo de convergência

RKA14C Temos esta série infinita aqui. O objetivo deste vídeo será encontrar qual o intervalo de convergência para esta série. Ou seja, vamos encontrar qual é o intervalo dos valores de x para que esta série convirja. Assim como nos outros vídeos, sinta-se à vontade para parar quando quiser e tentar resolver sozinho. Bem, então vamos lá. Quando olhamos para esta série, não vemos de maneira limpa que ela se encaixa em uma série alternada ou uma série geométrica. Quando vejo algo assim, penso logo no teste da razão, pois o teste da razão tende a ser bem geral. Para resolvermos o teste da razão, podemos pensar em: lim n → ∞ |an + 1 / an|. Assim teremos que, quando a série for menor que 1, a série irá convergir. Quando a série for maior que 1, ela irá divergir. Quando a série for igual a 1, será inconclusiva. E teremos que usar outros testes para ver se esta série converge ou diverge. Bem, então vamos pensar nisso e em como podemos resolver. Podemos começar substituindo os valores. Então, teremos lim n → ∞ do valor absoluto desta primeira parte aqui, que ficará xⁿ⁺¹ dividido por (n + 1) vezes 5ⁿ⁺¹, dividido por esta segunda parte aqui, que ficará xⁿ dividido por n vezes 5ⁿ. Para simplificarmos esta coisa aqui, podemos escrevê-la como sendo o numerador vezes o inverso do denominador. Então, ficaremos com xⁿ⁺¹ / (n + 1) vezes 5ⁿ⁺¹, vezes o inverso, que será n vezes 5ⁿ dividido por xⁿ. Agora, podemos facilitar a simplificação. Podemos começar dividindo o numerador pelo denominador. Então teremos x aqui em cima e vamos dividir aqui por 5ⁿ. 5ⁿ fica 1, mais 1, igual a 5. Então, teremos agora xn dividido por 5n + 5, que seria esta parte, x vezes n dividido pela distribuição do 5 daqui. 5 vezes n = 5n. Mais 5 vezes 1, que é 5. Ok, então esta parte agora está bem simplificada. Apenas reescrevendo isso agora substituindo por isto, teremos que: lim n → ∞ | x / 5 + 5/n |. Reparem que aqui, para simplificar um pouco mais, apenas dividi o numerador e o denominador por n. Cortou aqui o n, ficou x. E aqui, os dois divididos por n, 5 + 5/n. Agora podemos ver, de forma clara, o que irá acontecer quando n tende ao infinito. Vemos que, quando n →∞, o valor de x não irá mudar, 5 não irá mudar, mas 5/n tenderá a zero. Assim, podemos escrever que o limite é igual ao valor absoluto de x/5. Agora ficou fácil pensar em condições em que o valor absoluto de x/5 será menor que 1 e irá convergir, quando será maior que 1 e irá divergir, e em condições em que será igual a 1 e será inconclusivo. Bom, então vamos começar pensando em condições em que este valor irá convergir. Ou seja, | x/5 | < 1. Vamos lá! Então, o valor absoluto de x/5 tem que ser menor que 1. Isso é a mesma coisa que se reescrevermos como sendo -1 < x/5 < 1. Para simplificar ainda mais, podemos multiplicar todos os lados por 5. Teremos: -5 < x < 5. Portanto, agora sabemos que esse intervalo é verdadeiro e fará parte do nosso intervalo de convergência. Ou seja, se x pertencer a este intervalo, a nossa série irá convergir. Mas nós ainda não acabamos. Vamos pensar agora no caso inconclusivo. Temos neste cenário que o valor absoluto de x/5 é igual a 1. Podemos escrever isso de duas maneiras, como sendo então x/5 = 1, ou x/5 = -1. Simplificando ainda mais, apenas multiplicando os lados por 5, podemos escrever como x = 5 ou x = -5. Estes serão os dois casos nos quais iremos utilizar o teste da razão. Para isso, iremos substituir os dois termos, um de cada vez, na nossa série original. No primeiro cenário, em que temos x = 5, substituindo na série original, ficaremos com: Σ n = 1 →∞ de, x substituído por 5, então, 5ⁿ / n vezes 5ⁿ. Simplificando isto, teremos: Σ n = 1 →∞ de 1/n. Esta é uma série harmônica de p em que p = 1. Nós sabemos, de vídeos anteriores, que séries harmônicas em que p = 1 irão divergir. Agora vamos pensar no segundo caso, em que x = -5. Então, substituindo na série original, ficaremos com: Σ n = 1 →∞ de -5ⁿ / n vezes 5ⁿ, que podemos escrever dessa outra forma para simplificar as coisas. Assim podemos anular este numerador com este denominador, que são iguais. Teremos uma forma mais simples, que será: Σ n = 1 →∞ de -1ⁿ vezes 1/n. Analisando isso, sabemos que é uma série harmônica alternada. Sabemos também que essa série harmônica alternada converge. Porém, você pode usar também o teste da série alternada. Observando isso, sabemos que, quando n →∞, o limite será igual a zero. Logo, definitivamente, esta série harmônica aqui converge. Então, isto aqui também converge. Sabendo então que o -5 converge, podemos adicioná-lo ao nosso intervalo de convergência. Logo, podemos apenas mudar esse sinal para que x ≥ -5. Assim, chegaremos à conclusão que este é o nosso verdadeiro intervalo de convergência.