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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 13: Introdução à série de potênciasExemplo resolvido: intervalo de convergência
O intervalo de convergência de uma série de potências é o intervalo de valores de entrada para os quais a série converge. Para encontrá-lo, utilizamos várias técnicas. Veja como isso é feito neste vídeo.
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Transcrição de vídeo
RKA14C Temos esta série infinita aqui. O objetivo deste vídeo será encontrar qual o intervalo de convergência
para esta série. Ou seja, vamos encontrar
qual é o intervalo dos valores de x para que esta série convirja. Assim como nos outros vídeos, sinta-se à vontade para
parar quando quiser e tentar resolver sozinho. Bem, então vamos lá. Quando olhamos para esta série,
não vemos de maneira limpa que ela se encaixa em uma série
alternada ou uma série geométrica. Quando vejo algo assim,
penso logo no teste da razão, pois o teste da razão
tende a ser bem geral. Para resolvermos o teste da razão,
podemos pensar em: lim n → ∞ |an + 1 / an|. Assim teremos que,
quando a série for menor que 1, a série irá convergir. Quando a série for maior que 1,
ela irá divergir. Quando a série for igual a 1,
será inconclusiva. E teremos que usar
outros testes para ver se esta série converge ou diverge. Bem, então vamos pensar nisso
e em como podemos resolver. Podemos começar
substituindo os valores. Então, teremos
lim n → ∞ do valor absoluto
desta primeira parte aqui, que ficará xⁿ⁺¹ dividido
por (n + 1) vezes 5ⁿ⁺¹, dividido por esta
segunda parte aqui, que ficará xⁿ dividido
por n vezes 5ⁿ. Para simplificarmos esta coisa aqui, podemos escrevê-la como sendo o numerador vezes
o inverso do denominador. Então, ficaremos com xⁿ⁺¹ / (n + 1) vezes 5ⁿ⁺¹, vezes o inverso,
que será n vezes 5ⁿ dividido por xⁿ. Agora, podemos facilitar a simplificação. Podemos começar dividindo
o numerador pelo denominador. Então teremos x aqui em cima e vamos dividir aqui por 5ⁿ. 5ⁿ fica 1, mais 1,
igual a 5. Então, teremos agora xn dividido por 5n + 5, que seria esta parte, x vezes n dividido pela
distribuição do 5 daqui. 5 vezes n = 5n. Mais 5 vezes 1,
que é 5. Ok, então esta parte agora
está bem simplificada. Apenas reescrevendo isso
agora substituindo por isto, teremos que: lim n → ∞ | x / 5 + 5/n |. Reparem que aqui,
para simplificar um pouco mais, apenas dividi o numerador
e o denominador por n. Cortou aqui o n,
ficou x. E aqui, os dois
divididos por n, 5 + 5/n. Agora podemos ver,
de forma clara, o que irá acontecer
quando n tende ao infinito. Vemos que, quando n →∞, o valor de x não irá mudar, 5 não irá mudar, mas 5/n tenderá a zero. Assim, podemos escrever
que o limite é igual ao valor absoluto
de x/5. Agora ficou fácil
pensar em condições em que o valor absoluto de x/5 será menor que 1
e irá convergir, quando será maior que 1
e irá divergir, e em condições em que será igual a 1
e será inconclusivo. Bom, então vamos começar
pensando em condições em que este valor irá convergir. Ou seja, | x/5 | < 1. Vamos lá! Então, o valor absoluto de x/5
tem que ser menor que 1. Isso é a mesma coisa que
se reescrevermos como sendo -1 < x/5 < 1. Para simplificar ainda mais, podemos multiplicar
todos os lados por 5. Teremos: -5 < x < 5. Portanto, agora sabemos
que esse intervalo é verdadeiro e fará parte do nosso
intervalo de convergência. Ou seja, se x pertencer a este intervalo,
a nossa série irá convergir. Mas nós ainda não acabamos. Vamos pensar agora
no caso inconclusivo. Temos neste cenário que o valor absoluto de x/5
é igual a 1. Podemos escrever isso
de duas maneiras, como sendo então x/5 = 1, ou x/5 = -1. Simplificando ainda mais,
apenas multiplicando os lados por 5, podemos escrever como x = 5 ou x = -5. Estes serão os dois casos nos quais
iremos utilizar o teste da razão. Para isso, iremos substituir
os dois termos, um de cada vez,
na nossa série original. No primeiro cenário,
em que temos x = 5, substituindo na série original,
ficaremos com: Σ n = 1 →∞ de, x substituído por 5, então, 5ⁿ / n vezes 5ⁿ. Simplificando isto, teremos: Σ n = 1 →∞ de 1/n. Esta é uma série harmônica de p em que p = 1. Nós sabemos, de vídeos anteriores, que séries harmônicas em que p = 1
irão divergir. Agora vamos pensar
no segundo caso, em que x = -5. Então, substituindo na série original,
ficaremos com: Σ n = 1 →∞ de -5ⁿ / n vezes 5ⁿ, que podemos escrever
dessa outra forma para simplificar as coisas. Assim podemos anular este numerador
com este denominador, que são iguais. Teremos uma forma
mais simples, que será: Σ n = 1 →∞ de -1ⁿ vezes 1/n. Analisando isso, sabemos que é
uma série harmônica alternada. Sabemos também que essa
série harmônica alternada converge. Porém, você pode usar também
o teste da série alternada. Observando isso,
sabemos que, quando n →∞,
o limite será igual a zero. Logo, definitivamente, esta
série harmônica aqui converge. Então, isto aqui também converge. Sabendo então que o -5 converge, podemos adicioná-lo ao
nosso intervalo de convergência. Logo, podemos apenas
mudar esse sinal para que x ≥ -5. Assim, chegaremos à conclusão que este é o nosso verdadeiro
intervalo de convergência.