Teste da razão

RKA8JV - Nós já temos bastante experiência com as séries geométricas. Vamos tomar por exemplo aqui, a série geométrica infinita dada pelo somatório para "n = K" até infinito de qⁿ. Então isso aqui vai ficar, vamos expandir isso aqui, vai ficar qᴷ + qᴷ⁺¹ + qᴷ⁺², e assim sucessivamente. Bom, a gente sabe bastante coisa sobre esta série geométrica. Uma delas a gente consegue, por exemplo, calcular a razão aqui desta nossa série geométrica. A razão vai ser, a gente pega dois termos consecutivos aqui, pega o da frente e divide pelo de trás, então vai ficar qⁿ⁺¹/qⁿ. Se a gente pegar dois termos consecutivos, dividir o da frente pelo de trás, isso vai nos dar razão, então, neste caso, você vai ver que a razão é "q". Bom, isso faz sentido né, então, a gente percebe que daqui para cá a gente está multiplicando, por "q", daqui para cá a gente está multiplicando por "q". Bom, mas isto tudo aqui é só uma revisão. Se não é uma revisão para você, eu sugiro que você reveja os vídeos de série geométricas que a gente já fez. Um resultado muito interessante que a gente vai usar aqui é o seguinte: se a gente tem que o módulo da nossa razão aí da série geométrica, o módulo da nossa razão desta série geométrica é menor que 1, então, a gente pode concluir que a série que a gente está trabalhando, que esta série converge. Então, a gente pode concluir que a série converge. E já se o módulo for ≥ 1, aí ela vai divergir. O que faz bastante sentido. Se gente olhar aqui, se a gente tem o módulo da razão < 1, então, quando a gente vai multiplicando aqui, os valores vão ficando cada vez menores, isto aqui vai diminuir. Mesmo ela sendo uma série geométrica infinita, esta série aqui vai acabar convergindo para um valor finito. Agora, deixando de lado um pouco a nossa revisão aqui, vamos focar em algo um pouco mais interessante. Então, digamos que a gente tenha a série seguinte aqui. O somatório para "n = 5" até infinito de n¹⁰, vamos pegar uma função que cresce rapidamente, sobre n!, que é uma função que cresce mais rapidamente ainda né. E aí, a gente olha para uma coisa deste tipo aqui e fala: "bom, e aí, como é que a gente faz para provar que isto aqui converge?" Bom, se a gente pudesse pensar um pouco aqui, vamos tentar fazer algo parecido com o que a gente fez aqui em cima. Vamos comparar dois termos consecutivos para a gente ver se a gente encontra algum tipo de razão aqui. Vamos fazer o seguinte, vamos escrever o termo de posição "n + 1", então vai ficar (n + 1)¹⁰/(n + 1)!. Isto tudo, a gente vai dividir pelo termo que está na posição "n", são temos consecutivos, então, vai ficar n¹⁰/n!. Bom, mas aqui, já que a gente vai dividir aqui por esse cara, a gente pode multiplicar pelo inverso dele para ficar mais fácil a conta. Então vamos multiplicar aqui por n! /n¹⁰, Então, lembre-se, o que a gente está tentando fazer é ver se a gente consegue achar um padrão, uma razão, gente achou aqui em cima. Vamos ver se a gente encontra algum tipo de razão neste tipo de série que a gente pegou. Então aqui, para a gente sair disso, vamos escrever aqui, (n+1)!, eu posso escrever aqui (n + 1)n!, certo? E aí a gente vai ter que n! com n! vai sumir, e isso aqui, vai sobrar (n +1)¹⁰ sobre (n+1) vezes, a gente vai ter aqui agora um n¹⁰. Eu já sei você deve estar pensando: "bom, isso aqui não é uma razão como neste caso, isto aqui não é constante". Isto aqui, na verdade, depende de "n", isto aqui tem uma função de "n". Então isto aqui provavelmente não é algo muito útil. Bom, mas se eu te disser o seguinte: quando a gente está tendo séries deste tipo aqui, o que interessa para a gente são valores de "n" bem grandes, então o que a gente está interessado aqui é calcular o limite de quando "n" vai para o infinito. E se a gente observasse o comportamento disto aqui e caso isso aqui, sei lá, se aproxime de um valor real finito, será que a gente não poderia olhar para isto aqui como o limite da nossa razão? Bom, vamos tentar fazer isso. Vamos então calcular aqui o limite de quando "n" vai para infinito, disto aqui. Então eu vou copiar isto aqui, para a gente não ter que escrever tudo de novo. Copiando. Nós queremos fazer o limite disto aqui, ou seja, a gente está querendo saber como é que fica a razão de dois termos consecutivos quando a gente o "n" muito grande, quando a gente está pegando o "n" aqui tendendo para infinito. Vamos calcular esse limite aqui então. Bom, isto aqui, esta parte de cima, se a gente abrir isto aqui, vai ficar n¹⁰ e vai ter mais vários termos aqui. Ou seja, a gente sabe que isto aqui vai ser um polinômio de grau 10. Aqui vai ficar "n" vezes n¹⁰, vai dar dar n¹¹, mais n¹⁰. Quando a gente fizer o limite de "n" tendendo ao infinito aqui, você vai ver que esta potência aqui que é elevado a 11 é maior que a de cima, e aí a gente pode ver que isto aqui vai crescer mais rápido. Quer dizer, uma outra maneira de você ver isso aqui mais fácil, é dividir todos os termos desta parte de cima por n¹¹, dividir todos os termos aqui desta parte de baixo também por n¹¹, para a gente não alterar o resultado. Aí, quando a gente fizer o limite de "n" tendendo ao infinito, aqui tudo vai para zero, e aqui só vai sobrar este cara aqui vai para 1. Então este limite aqui, a gente pode dizer que isto aqui vai para zero. Então este limite aqui vai dar zero. Bom, então olhe que legal, se a gente pudesse tentar olhar lá para o que a gente fez na série geométrica, embora isso aqui claramente não seja uma série geométrica, se a gente tentasse usar mais ou menos a mesma ideia, olha, e dissesse o seguinte: bom, a razão entre dois termos consecutivos está está se aproximando de zero quando a gente faz o "n" ir para infinito, então, isso aqui está ficando cada vez menor. Será que a gente não pode, então, concluir a partir disso, que a sua soma aqui, esta soma então, n¹⁰/n!, será que a gente não pode afirmar que esta soma converge? E a resposta é sim, nós podemos afirmar que esta soma converge. E o que nos garante que esta soma converge é o teste da razão. Vamos escrever aqui embaixo o teste da razão. Então aqui, "teste da razão". O que diz este teste da razão para a gente é o seguinte: se a gente tomar aqui então uma série, digamos, para o somatório de "n = K" até infinito de aₙ. Bom, se a gente observar que o limite de quando "n" vai para infinito do módulo de aₙ₊₁/aₙ, repare que aqui a gente não usou em módulo, mas se a gente tomasse um módulo aqui não iria alterar nada, aqui você só tem valores positivos, então daria o mesmo resultado. Mas se o limite de quando "n" vai para o infinito do módulo de aₙ₊₁/aₙ for igual a um valor "L", um valor real "L", o teste da razão vai dizer o seguinte para a gente: "se o 'L' for menor que 1, então a série que a gente está usando converge." Isso aqui foi o que aconteceu quando a gente fez no caso aqui, que deu o limite zero. Zero é menor que 1, por isso a gente pode afirmar que esta série aqui converge. Agora, se o "L" ali, se este limite for um resultado maior que 1, aí a gente pode afirmar que a série diverge. Então, neste caso, dá para dizer que a série diverge. E por fim, se o nosso "L" for igual a 1, aí o teste é inconclusivo, a gente não pode concluir nada né, vamos ter que procurar um outro teste para dizer se ela converge ou se ela diverge. Então essa é a essência do nosso teste da razão. A gente vai fazer a razão aqui entre dois termos consecutivos em módulo, vai calcular o limite do módulo disso aqui quando "n" vai para infinito. Se este limite aqui for para um valor real, e este valor real for menor que 1, então esta série converge. E isso é bem parecido, é praticamente a mesma ideia que a gente usou aqui para a razão em uma série geométrica.