Conversão de termos de série explícita para notação de somatório (n ≥ 2)

RKA2G - Vamos dizer que falaram para fazer esta soma, onde o índice começa em 2 e nós vamos até o infinito. E que esta série infinita é: -8/5 + 16/7 - 32/9 +... E nós continuaremos indo para sempre. O que eu quero fazer é definir explicitamente o que é aₙ aqui. Então, vamos dizer que, se você pegar a soma de aₙ de "n" igual a 2 até o infinito, verifica-se que esta soma começa bem aqui. Mas vamos pensar como podemos definir isto em termos de "n". Eu encorajo você a pausar este vídeo agora e tentar resolver do seu jeito. A primeira coisa que você pode perceber é: este é o número que vamos conseguir. Vamos escrever assim. a₂ = -8/5, a₃ = 16/7, a₄ = -32/9. Eu estou colocando o sinal negativo apenas no numerador. -8/5 é a mesma coisa que 8 negativo sobre 5. Deixe-me fazer um pouco mais claro. Vou fazer isto um pouco mais claro. Este é -8/5. Este é positivo, então, eu não tenho que me preocupar com isso. Depois, aqui, estou falando de -32/9, que é o mesmo que 32 negativo sobre 9. Vamos ver se conseguimos encontrar um padrão no numerador. Quando vamos do 8 negativo para o 16, o que está acontecendo? Nós estamos fazendo uma multiplicação por -2. Para ir de 16 para -32, nós estamos multiplicando por -2 novamente. Podemos falar que, qualquer que seja o numerador, ele deverá ser uma potência de -2. E se você falar: "Bem, talvez isto seja -2²"? Mas você sabe que -8 não é -2². -2² é igual a 4 positivo. O 8 negativo, este 8 negativo bem aqui, é igual a -2 elevado à terceira potência. 16 é igual a -2 elevado à quarta potência. 32 é igual a -2 elevado à quinta potência. Então, note que o expoente, no -2, sempre será um a mais que o índice. O índice é 2, o expoente é 3. O índice é 3, o expoente é 4. O índice é 4, o expoente é 5. Já temos uma ideia de como o numerador é formado. Qualquer que seja o índice, este será... Vou escrever aqui. aₙ é igual a... Este será igual a -2, elevado à potência do índice mais 1. Esta é uma maneira razoável de pensar sobre o numerador. Agora, vamos pensar sobre os denominadores. Vamos a partir de 5. Quando "n" é 2, estamos em 5. Quando "n" é 3, temos um 7. Quando "n" é 4, temos um 9. Perceba que 5 é 2 vezes 2, mais 1. Este bem aqui é 2 vezes 3, mais 1. Este outro é 2 vezes 4, mais 1. Você pode tentar experimentar outros tipos de padrões que vierem na sua cabeça, até você ver que está aumentando em 2 toda vez. Veja: aumenta em 2 toda vez. Mas estes não são múltiplos de 2. Eles parecem estar um a mais que os múltiplos de 2, que é um bom sinal para que este será duas vezes o índice, mais 1. Podemos escrever isto como 2 vezes o índice, mais 1. E nós terminamos! Isto é aₙ. E, se quisermos escrever esta série em notação sigma, escreveremos como a soma de "n" igual a 2 ao infinito, de -2 elevado à potência de (n + 1), sobre 2n + 1. Isto será igual a esta série bem aqui.