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Transcrição de vídeo

foi dado aqui pra gente uma função fdx que é igual essa série infinita aqui ó dada pelo somatório para igual a um de até infinito dn mais um sobre quatro levado ainda mais um vez x elevado a emi que a gente quer descobrir aquilo que a gente quer saber é quanto vale a integral de zero até uma integral definida de fdx bom como de costume de um pause no vídeo e veja se você consegue trabalhar sozinho e depois você volta aqui para acompanhar comigo bom muito bem a primeira coisa que vou fazer aqui é reescrever isso aqui então vamos colocar aqui é integral de zero até um ano ficou bacana isso aqui me colocar aqui é integral de zero até um e aqui nós vamos escrever fdx eu vou trocar por essa expressão que foi dada pela série que foi daqui que representa fdx estão aqui nós vamos colocar o somatório de para a eni igual a uma tem infinito dn mais um sobre quatro levado a ele mais um vez x elevado a eni isso aqui nós vamos fazer a integral dessas séries em aqui é bom mas isso aqui esse resultado que eu vou usar que agora pode ser até novo e para alguns de vocês mas é um resultado muito útil e vai ajudar bastante bom aqui que a gente tem na verdade é uma soma de vários termos um monte de termos estão aparecendo aqui nesse caso uma série infinita então tem infinitos termos o que a gente vai usar aqui é o seguinte é se eu tiver que por exemplo que calculará integral de zero até um na verdade isso aqui pode ser até com integral indefinida né mas se eu tiver calculasse integral aqui de um termo digamos gtx pode ser funções aqui para representar esses termos mais hdx mas então a gente está somando vários termos aqui a gente quer calcular integral da soma desses termos o que a gente sabe aqui é que na prática tanto faz fazer a integral da soma ou a soma das integrais então posso sair fazendo integral de cada termo desses cada termo aqui e depois o mar então isso aqui é a mesma coisa que eu fizer a integral de zero até um dgd xx mas a integral de zero até 11 de agadez xdx e mais a integral de cada termo e que tiverem essa soma então a integral da soma é igual à soma das integrais baseado nisso vou colocar aqui que isso aqui vai ser igual bom que nós vamos fazer nós vamos fazer a soma então vou colocar aqui o somatório para a eni igual a 1 até o infinito né das integrais aqui então vamos colocar integral aqui dentro da integral de zero até um do que sobrou lá né que vai ser o nosso tempo vai ser mais um sobre quatro elevado animais um vezes x elevado a n então é isso aqui que nós vamos ter que calcular bom isso aqui agora o que nós vamos ter que fazer aqui é nos deparar que com essa integral a gente vai ter que resolver isso aqui é integral definida então repara que antes de tudo para que isso aqui é uma constante em relação à x então aqui a gente está fazendo uma constante existe elevada ao expoente a gente já sabe como fazer a derivada né a gente sabe usar a regra do tombo que não ter levado a gente vai derrubar o expoente aqui diminuiu 1 agora a gente quer fazer a integral a integral é o inverso da derivada integral aqui é o processo reverso a gente vai voltar aqui então então ao invés de derrubar um expoente aqui nós vamos dividir pelos expoente e aqui nós vamos ter que em vez de tirar um nós vamos acrescentar um então isso aqui eu posso escrever assim posso escrever isso aqui como a soma tão somatória da adm para henik igual ontem infinito e aí vai ficar assim bom vai ficar esse carinho que tava aqui o nosso ter um e ne mais um sobre quatro levado a ele mas não é nossa constante não vai alterar agora que vamos fazer vamos aumentar um expoente então vai ficar vezes x elevado animais 1 e nós vamos dividir também por esse e mais um por expoentes em aí fizemos o inverso é derivado como isso aqui é uma integral definida né nós temos que aplicar esse resultado aqui agora o resultado disso aqui que a gente está fazendo a gente vai ter que aplicar aqui né 0 e 1 que são os extremos aí que foram dados aqui pra gente fazer a nossa integral e definida já agora a gente já pode vir aqui avaliar essa expressão aqui nos extremos do nosso intervalo então como esse aqui é o integral definido nós vamos avaliar essa expressão aqui trocando x por um - o avaliando essa expressão ac x igual a zero isso aqui vai ficar igual simplificar que antes só em mais um aqui e mais um agente pode simplificar pode reduzir então isso vai dar o que vai dar o somatório somatório para n igual a 1 até o infinito de vamos vir aqui olhar vamos trocar 1º x por um então isso aqui vai ficar um elevado a eni mais um sobre quatro elevado aí mais um agora tem que fazer - já avaliamos em um vamos avaliar 0 agora menos 10 elevado a eni mais um sobre ele mais um mas isso aqui a gente já sabe que vai dar zero não importa o valor do iene que se usar aqui isso aqui vai ser zero nossa parte que não tem mas só pra só isso aqui então se eu escrever isso aqui o que já pode perceber que a gente já conhece isso aqui ó escrever isso aqui vim fazer aqui ó então vou pegar aqui vai ser o somatório para n igual a um até infinito de vir aqui e vamos fazer o seguinte 1 sobre quatro em um quarto um quarto elevado a eni mais um isso aqui você conhece isso aqui é uma série geométrica né o legal é que uma série de comédia que ela pode convergir e já percebeu que a série mesmo ser infinita quando a série geométrica ela tem condições de convergir né se sabe se o módulo da razão da nossa série ele foi menor que 1 é essa série converge para o valor infinito como esse aqui é o caso então vamos lá vão procurar que seria que o nosso primeiro termo aqui dessa série geométrica então o primeiro termo vai ser quando a gente colocar o n igual a 1 vai ficar um quarto e levaram mais um que vai ser um quarto e levado ao quadrado então nosso primeiro termo é um dos 16 aos legal agora vamos procurar também a nossa razão é que seria a razão dessa série geométrica aqui razão então a razão é aquele tema aquela constante que a gente vai ficar sempre multiplicando para encontrar os termos da frente aqui a gente vai sempre multiplicar por um quarto então a razão aqui ela é um quarto ou seja a razão aqui o módulo dela é menor que 1 portanto essa série aqui que a gente está trabalhando essa série geométrica que ela converse sim pelo número um número finito aí né então vamos procurar aqui no brasil esse então eu posso vir aqui escrever isso aqui é o que a gente quer essa soma então vamos crer que o somatório pra n igual a 1 até o infinito de se ter mizinho aqui um quarto e levado a ele mais um essa série que a gente sabe que convergem e já viu que a razão dela o modo da razão menor que 1 portanto aqui vai convergir isso aqui vai convergir para a conta ficar o primeiro termo em cima um sobre 16 sobre um - a razão que é um quarto então se a gente fizer aqui um menos um quarto isso aqui vai dar três quartos portanto isso aqui vai ser 1 16 avos dividido por três quartos a mesma coisa que multiplicar pelo inverso a cnec quatro terços logo a gente simplificando a 4 16 aqui ficam aqui fica quatro isso aqui fica um sobre doze avos então um doze avos é que a nossa resposta é bom é para que no começo aqui até poderia parecer um pouco complicado mas nós usamos o fato de que bom se a gente tá fazendo a soma de integral de uma soma que inclusive uma soma infinita né a gente pode usar o fato de que a mesma coisa que fazer a soma dessas infinitas integrais então a gente saiu aqui calculou em as integrais aqui de sistemas né que foi simples porque a gente já conhece a regra de como de levar uma coisa desse tipo aqui a gente já sabe como fazer antes de elevada é integral e aí a gente percebeu que caiu aqui numa série geométrica e essa série de comédia que a gente sabe calcular soma dela tem um pedaço que não ficou certo quando a gente trocou que o x10 na verdade é que era pra ficar 4 elevado a eni mais um aqui em baixo não só ele mais um isto vai mudar muita coisa aqui porque essa parte continuo indo para zero então daqui pra frente continua sendo o mesmo resultado então a integral é que a gente queria calculasse integral definida ela é igual a um doze avos