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Intervalo de convergência para derivada e integral

Integrar ou derivar uma série de potências termo a termo só vai funcionar dentro do intervalo de convergência. O intervalo de convergência da integral/derivada será o mesmo, exceto talvez para os pontos de extremidade. Veja um exemplo aqui.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Quando a gente lida com série de potência, podemos querer tirar a derivada dela ou tirar a integral. Em geral a gente pode fazer isso termo por termo. O que eu quero dizer com isso? Quero dizer que a derivada de f(x), f'(x), vai ser a derivada de cada um desses termos. Então isso aqui vai ser igual à somatória de n igual a 1 até o infinito e vamos ver como vai ser sua derivada. xⁿ vai ficar (n vezes xⁿ⁻¹) sobre n. Esses dois n vão cancelar e a gente vai ficar, na verdade, com xⁿ⁻¹. Então essa foi a derivada em relação a x. De forma similar a gente pode integrar essa função. Então a gente pode avaliar a integral de f(x) dx e isso vai ser igual a uma constante (C) mais... e a gente integra isso aqui, termo por termo, então mais a somatória de n igual a 1 até o infinito, e como é que fica isso? A gente aumenta um valor aqui, que vai ficar xⁿ⁺¹, a gente divide por isso mesmo, por n mais 1, vezes esse n aqui. Essa é uma técnica muito comum ao se lidar com séries de potência e a gente vai falar um pouco mais detalhadamente disso porque você só pode fazer isso para valores de x que estejam dentro do intervalo de convergência das séries de potência. Como a gente vai ver, o intervalo de convergência para essas diferentes séries vai ser um pouco diferente. Os intervalos são até bem parecidos, mas a gente vai ver que terá uma diferença em suas extremidades. Então, agora, eu encorajo você a pausar este vídeo e ver se você consegue descobrir qual é o intervalo de convergência para cada uma dessas séries. Então vamos começar pela nossa série original e tentar descobrir o intervalo de convergência dela. Para isso a gente vai usar o Teste de Razão. Então o limite, quando n tende ao infinito, do valor absoluto de xⁿ⁺¹ sobre (n mais 1) e isso sobre xⁿ sobre n. Isso vai ser igual ao limite, quando ele tende ao infinito... A gente pode, agora, simplificar esse n mais 1 com esse xⁿ. A gente vai ficar com um valor absoluto de x vezes n sobre (n mais 1). e isso vai ser igual ao limite quando n tende ao infinito. Agora a gente pode dividir o numerador e o denominador por n, então aqui em cima vai ficar x, aqui embaixo vai ficar 1 mais 1/n. Quanto dará isso, então? Como n está tendendo ao infinito, isso aqui vai se aproximar de zero. Então nosso limite no final das contas vai ser o valor absoluto de x. Então o Teste de Razão diz para a gente que essa série vai ser convergente se esse valor for menor do que 1, ela vai ser divergente se esse valor for maior do que 1 e inconclusiva se esse valor for igual a 1. Vamos escrever isso que a gente acabou de ver. Essa série aqui, então, vai ser convergente quando x, o valor absoluto de x, for menor do que 1. Ela vai ser divergente para valores de x que são maiores do que 1. Mas e quando x é igual a 1? O Teste de Razão não diz isso para a gente, então temos que testar isso separadamente. Vamos ver o que acontece para x igual a 1. Nossa série vai ser o somatório de n igual 1 até o infinito de 1 elevado a (n/n), basicamente, então, 1 sobre n. Essa aqui nada mais é do que a série harmônica, ou a série P para um P igual a 1. A gente já viu em outros vídeos que isso diverge. Então, divergente. Agora a gente vai ver para x igual a -1. Para x igual a -1, a série vai ser o somatório de n igual a 1 até o infinito de -1 elevado a n/n. Isso aqui nada mais é do que a série harmônica alternada e pelo teste de série alternada, como a gente já viu em outros vídeos, sabemos que isso converge. Então isso aqui é convergente. Vamos escrever aqui qual vai ser o intervalo de convergência da nossa série. Então o intervalo de convergência. A gente viu aqui, então, que x estará entre -1 e 1 e pelos testes a gente viu que para x igual a 1 ela é divergente, então aqui é só menor que 1 mesmo, não pode ser menor ou igual a 1, mas para -1 ela converge. Então aqui menor ou igual a x. Esse é nosso intervalo de convergência para a série original. Agora vamos pensar para essa série derivada da original qual é seu intervalo de convergência. Vamos destrinchar essa série e ver o que a gente acha. Então para n igual a 1, x¹⁻¹, x⁰ mais para n igual a 2, x¹ mais x², e assim por diante. Assim você pode perceber que isso nada mais é do que uma série geométrica, uma série geométrica cuja razão é x. Então R é igual a x. A gente sabe que as séries geométricas, elas são convergentes quando o valor absoluto da razão é menor que 1. Então essa série aqui é convergente para um valor absoluto de x menor do que 1. Isso é muito parecido com o que a gente tinha visto para série original. Então o intervalo de convergência para essa série vai ser de menos 1 até 1. Então é basicamente a mesma coisa para nossa série original. O que muda é o comportamento nas extremidades porque, nesse caso, o x não poderá ser -1. Para continuar, agora eu encorajo você a tentar achar o intervalo de convergência para a antiderivada que a gente fez da série original, para a integral, usando basicamente o Teste de Razão da mesma forma que a gente fez aqui para a série original. Então você vai ver que o intervalo de convergência para essa série também vai de menos 1 até 1, só que nesse caso ela vai ser convergente para x igual a -1 e também para x igual a 1. Então -1 menor ou igual a x menor ou igual a 1. Como eu disse, você pode testar isso utilizando, basicamente, a mesma técnica que a gente fez para a série original e você chegará em uma conclusão igual a essa, só que fazendo o teste para x igual a 1, você vai ver que nos dois casos, para x igual a 1 e x igual a -1, ela vai ser convergente.