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Conversão de termos de série explícita para notação de somatório

Algumas somas são realmente longas, mas podemos usar a notação sigma para escrevê-las de uma maneira abreviada. Veja esse exemplo. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Então tem uma série aqui, -5/3 + 25/6 - 125/9, e isso vai continuar infinitamente, então, vai ser uma série infinita. O que eu quero que você faça agora é pausar este vídeo e tentar expressar esta série infinita usando uma notação sigma. Bom, estou assumindo que você tenha tentado, então, agora, vamos dar uma olhada nos termos da série e ver se podemos expressá-los com o índice sempre crescente. Então, a primeira coisa que me vem em mente aqui são estes sinais aqui, menos, mais, menos. Note que eles estão oscilando. Então, estamos vendo este sinal sempre oscilando. Isso aqui nos traz uma ideia de que isto aqui é (-1)¹, à primeira potência. Isso daqui seria (-1)², deve ir um sinal positivo, isso daqui seria (-1)³. Então, nós estamos vendo que isso daqui não passa de (-1)ⁿ, onde "n" é o nosso índice, então, parece que o sinal está sendo definido pelo termo -1 elevado ao índice. Agora vamos dar uma olhada nesta parte aqui de cima. Temos 5, 25, 125. Note, então, que isso aqui seria a mesma coisa que 5¹, isso daqui seria a mesma coisa que 5² e aqui a mesma coisa que 5³. Então, note que aqui, essa parte de cima pode ser representada por 5 elevado ao índice, elevado a "n". E aqui, na parte de baixo, note que temos 3, 6 e 9. Então, aqui temos 3 vezes 1, aqui seria 3 vezes 2 e aqui 3 vezes 3. Então, note que temos o número 3 sendo multiplicado por um índice crescente, então, seria 3 vezes "n". Tudo isso que a gente viu aqui estabelece bem uma forma de escrevermos a notação sigma. Então, vamos escrever aqui ao lado e comparar. Vamos começar aqui com o nosso Σ. Temos que "n = 1", vamos começar com isso, e vai até infinito. Então, agora é só a gente escrever aqui o que a gente percebeu. Então, por exemplo, isso daqui começaria com -1 elevado a um índice crescente. isso aqui era para ser um "n". Ok, aqui na parte de cima, temos que é 5 elevado a um índice crescente, a "n", e aqui, a parte debaixo nós vimos que é 3 vezes o índice crescente, então 3n. Note que quando quando o "n" é 1, isso aqui ficaria -1¹, que daria menos -(-1), vezes 5¹, dá 5, e 3 vezes 1 dá 3, o que daria nosso o primeiro termo. Se fosse "n = 2", ficaria -1², elevado a 2, daria +1. 5² daria 25, então daria +25, que nós temos aqui, e 3 vezes "n = 2", 3 vezes 2 daria 6. Então, temos aqui a fórmula para a nossa sequência. E terminamos.