Sequências convergentes e divergentes

RKA3JV - Digamos que eu tenha uma sequência que começa em 1 e vai até -0,5. Depois, vai até +1/3, depois, vai até -1/4, depois, vai até + 1/5 e continua desta maneira. Poderíamos desenhar o gráfico. Deixe-me desenhar o eixo vertical. Este será o nosso eixo "y". E farei "y = an". Faremos deste o nosso eixo horizontal, onde eu vou plotar os nossos "n". Digamos que isto aqui é +1 e aqui é 1 negativo. Isso seria -0,5 e isso seria +0,5. Eu não estou desenhando o eixo vertical e o eixo horizontal da mesma escala, para podermos visualizar isto corretamente. Mas, digamos que isto é 1, 2, 3, 4, 5, e poderia continuar indefinidamente. Vemos que quando "n = 1", "an = 1". "y" é igual a "an" quando "n" é igual a 2. Temos que an = -0,5. Quando n = 3, an = 1/3, que está por aqui. Quando n = 4, an = -1/4, que está por aqui. E quando n = 5 an = 1/5, que talvez esteja por aqui. E continuamos assim. Você vê que os pontos pulam, mas também parece que se aproximam de zero. O que nos faz perguntar o que acontece com "an" à medida que "n" tende ao infinito? Outro jeito de dizer isso é, qual é o limite, deixe-me fazer isto em outra cor, qual é o limite de "an" à medida que "n" tende ao infinito? Veremos se conseguimos definir "an" explicitamente. Se conseguimos definir a sequência explicitamente. Podemos definir esta sequência como "an", onde "n" começa em 1 e vai para o infinito. Sendo "an" igual a quê? Se ignorarmos o sinal, momentaneamente, parece que é apenas 1/n. Mas também parece que o sinal oscila. Começamos com um positivo, depois um negativo, positivo, negativo. Se multiplicarmos tudo por 1 negativo elevado a "n", então, este seria negativo e este positivo. Mas não queremos isso, queremos que o primeiro termo seja positivo. Então, dizemos -1 elevado a "n + 1". Pode verificar que isto funciona. Quando n = 1, você tem 1 vezes -1², que é apenas 1. E funcionará para todo o resto. Podemos escrever isto como -1 elevado a "n + 1" sobre "n". Perguntar qual o limite de "an" quando "n" tende ao infinito, equivale a perguntar qual é o limite de -1 elevado a "n + 1" sobre "n", quando "n" tende ao infinito. Lembre-se que "an" é uma função de "n". É uma função na qual estamos limitados a um domínio de inteiros positivos, mas isso ainda é um limite de alguma coisa tendendo ao infinito. Eu ainda não defini isso rigorosamente, mas você pode conceitualizar o que está acontecendo. À medida que "n" tende ao infinito, o numerador irá oscilar entre positivo e negativo, mas o denominador apenas ficará cada vez maior. Então, obteremos números muito pequenos e isso aqui tenderá a zero. Eu não provei isso para você ainda, estou apenas dizendo que é verdade. Mas, se isto é verdade, deixe-me escrever, se o limite de "an" quando "n" tende ao infinito é zero, podemos dizer que "an" converge para zero. E isto é outra maneira de dizer isto aqui. Se não fosse verdade, se o limite, quando "n" tende ao infinito, não tendesse a algum valor, eu não defini rigorosamente como definimos um limite, mas se isto não fosse verdade, se pudéssemos calcular um limite, não necessariamente zero, desde que não tendesse a nenhum número, diríamos que "an" diverge.