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Sequências convergentes e divergentes

Uma sequência é "convergente" quando seus termos se aproximam de um valor específico conforme passamos por eles em direção ao infinitivo. Adquira um senso intuitivo do que isso significa! Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Digamos que eu tenha uma sequência que começa em 1 e vai até -0,5. Depois, vai até +1/3, depois, vai até -1/4, depois, vai até + 1/5 e continua desta maneira. Poderíamos desenhar o gráfico. Deixe-me desenhar o eixo vertical. Este será o nosso eixo "y". E farei "y = an". Faremos deste o nosso eixo horizontal, onde eu vou plotar os nossos "n". Digamos que isto aqui é +1 e aqui é 1 negativo. Isso seria -0,5 e isso seria +0,5. Eu não estou desenhando o eixo vertical e o eixo horizontal da mesma escala, para podermos visualizar isto corretamente. Mas, digamos que isto é 1, 2, 3, 4, 5, e poderia continuar indefinidamente. Vemos que quando "n = 1", "an = 1". "y" é igual a "an" quando "n" é igual a 2. Temos que an = -0,5. Quando n = 3, an = 1/3, que está por aqui. Quando n = 4, an = -1/4, que está por aqui. E quando n = 5 an = 1/5, que talvez esteja por aqui. E continuamos assim. Você vê que os pontos pulam, mas também parece que se aproximam de zero. O que nos faz perguntar o que acontece com "an" à medida que "n" tende ao infinito? Outro jeito de dizer isso é, qual é o limite, deixe-me fazer isto em outra cor, qual é o limite de "an" à medida que "n" tende ao infinito? Veremos se conseguimos definir "an" explicitamente. Se conseguimos definir a sequência explicitamente. Podemos definir esta sequência como "an", onde "n" começa em 1 e vai para o infinito. Sendo "an" igual a quê? Se ignorarmos o sinal, momentaneamente, parece que é apenas 1/n. Mas também parece que o sinal oscila. Começamos com um positivo, depois um negativo, positivo, negativo. Se multiplicarmos tudo por 1 negativo elevado a "n", então, este seria negativo e este positivo. Mas não queremos isso, queremos que o primeiro termo seja positivo. Então, dizemos -1 elevado a "n + 1". Pode verificar que isto funciona. Quando n = 1, você tem 1 vezes -1², que é apenas 1. E funcionará para todo o resto. Podemos escrever isto como -1 elevado a "n + 1" sobre "n". Perguntar qual o limite de "an" quando "n" tende ao infinito, equivale a perguntar qual é o limite de -1 elevado a "n + 1" sobre "n", quando "n" tende ao infinito. Lembre-se que "an" é uma função de "n". É uma função na qual estamos limitados a um domínio de inteiros positivos, mas isso ainda é um limite de alguma coisa tendendo ao infinito. Eu ainda não defini isso rigorosamente, mas você pode conceitualizar o que está acontecendo. À medida que "n" tende ao infinito, o numerador irá oscilar entre positivo e negativo, mas o denominador apenas ficará cada vez maior. Então, obteremos números muito pequenos e isso aqui tenderá a zero. Eu não provei isso para você ainda, estou apenas dizendo que é verdade. Mas, se isto é verdade, deixe-me escrever, se o limite de "an" quando "n" tende ao infinito é zero, podemos dizer que "an" converge para zero. E isto é outra maneira de dizer isto aqui. Se não fosse verdade, se o limite, quando "n" tende ao infinito, não tendesse a algum valor, eu não defini rigorosamente como definimos um limite, mas se isto não fosse verdade, se pudéssemos calcular um limite, não necessariamente zero, desde que não tendesse a nenhum número, diríamos que "an" diverge.