Exemplo resolvido: convergência/divergência de sequências

RKA7MP - Definimos explicitamente quatro diferentes sequências aqui. E o que eu quero que você pense é se estas sequências convergem ou divergem. Lembrem-se, convergir significa que, de forma que "n" aumenta, o valor da sequência está se aproximando de algum valor e divergir significa que não está se aproximando de algum valor. Vamos ver. Eu encorajo você a pausar este vídeo e tentar fazer antes que eu possa explicar. Vamos dar uma olhada na primeira sequência. O numerador "n" mais 8, vezes "n" mais 1, e o denominador "n", vezes "n" menos 10. Uma forma de pensar sobre o que acontece quando "n" aumenta é olhar para o grau do numerador, para o grau do denominador. Nos importamos com o grau porque queremos ver se o numerador cresce mais rápido do que o denominador. Neste caso, o numerador tende ao infinito, e, portanto, vai divergir. Ou, talvez, o denominador aumente mais rápido, o que faria a sequência convergir para zero. Ou seja, estejam aumentando no mesmo ritmo e, talvez, convergirão para um número diferente. Vamos multiplicar o denominador e o numerador e descobrir o que ocorre. "n" vezes "n" é n². "n" vezes 1n, mais 8n é 9n, e 8 vezes 1 é 8. Então, o numerador é n² mais 9n, mais 8, e o denominador é n² menos 10n. E uma forma de pensar sobre isto é que se "n" for muito grande, o que vai dominar no numerador, este termo vai representar a maior parte do valor, e este tempo vai representar a maior parte do valor também. Estes outros termos não vão aumentar. Obviamente, este 8 não aumenta, mas os termos que têm "n" não vão aumentar tão rápido quanto os termos onde "n" está ao quadrado, especialmente para os "n" maiores. Então, para grandes "n", isto vai se aproximando a n² sobre n², ou 1. Faz sentido dizer que esta converge. Assim, esta converge. E, de novo, não estou provando nada aqui, ou deveria dizer que não estou provando nada rigorosamente aqui. Mas a ideia é que temos o mesmo grau no numerador e no denominador. Agora, vamos dar uma olhada neste outro. Neste numerador, eu tenho eⁿ, e aqui, eu tenho "e" vezes "n". Assim, este cresce muito rápido. Quero dizer que eⁿ, imagine se "n" fosse 100, e elevado à centésima potência é um número enorme, Isto é apenas 100 vezes "e", aumenta muito mais rápido que este aqui. Esta parte só vai inflar, e esta vai tender ao infinito. Então, podemos dizer que diverge. Agora, vamos olhar neste. Temos um termo de maior grau. Temos um maior grau numerador do que no denominador. n², obviamente, vai aumentar mais rápido que "n". Pela mesma razão da sequência bₙ, isto vai divergir. O numerador aumenta mais rápido que o denominador. Ou outra forma de pensar sobre isto, o limite onde "n" tende ao infinito será infinito. Isto tudo vai tender ao infinito. Agora, vamos ver este. À medida que aumentamos "n", poderíamos até pensar sobre como a sequência é. Quando "n" for zero, ou negativo elevado a zero, é 1. Quando "n" for 1, teremos -1. E quando "n" for 2, teremos 1. Então, isto só vai ficar oscilando entre -1 e 1. Assim, não é ilimitada, não vai para o infinito ou menos infinito, ou algo do gênero. Apenas oscila entre dois valores. Não converge para um valor em particular. Mesmo que ela não seja ilimitada, não vai tender ao infinito, ela ainda vai divergir. Não vai para um valor apenas. Então, deixe-me escrever, esta aqui diverge.