Prova de que uma sequência converge usando a definição formal

RKA8JV - Já afirmei, no vídeo anterior, que para esta sequência escrita expressamente desta forma, o limite será (-1)ⁿ⁺¹/n. Esta é uma forma de definir nossa função. E esse limite, conforme "n" tende ao infinito, é igual a zero. E faz sentido, pois conforme "n" cresce mais e mais, ainda que o numerador altere entre -1 e 1, ele vai ficando cada vez menor e menor. Mas, nós ainda não provamos isso, e é isto o que faremos neste vídeo. Então, vamos lá. Isto apenas será verdade somente se para qualquer "ε > 0" existir um "M > 0", tal qual, se o nosso índice "n" for maior que o nosso "M". Então, o enésimo termo da nossa sequência estará a menos de Épsilon do limite dentro de Épsilon de distância de zero. O que isso quer dizer? Isso quer dizer que o nosso limite aqui é igual a zero. Se este for nosso limite, estamos dizendo que a série converge para zero. Então, dado um Épsilon ao redor de zero, podemos dizer que este ponto é "zero + ε" e este ponto é "zero - ε". Logo, alegamos que o limite, neste caso, é igual a zero, e isso quer dizer que para qualquer Épsilon precisamos encontrar um "M" tal que, se "n > M" e se a distância entre a nossa sequência e o nosso limite for menor que Épsilon, isso significa que o valor da nossa sequência para um dado "n" estará entre os dois limites, dentro desta área preenchida, a partir de um certo "n". Então, se escolhermos um "n" aqui, veremos que qualquer "n" maior que isso estará entre o limite. Mas como podemos provar isto? Bom, vamos pensar no que precisa acontecer para isso ser verdade. Então, o que precisa ser verdade para o valor absoluto de "aₙ menos zero" ser menor que Épsilon? Se simplificarmos, esta é outra forma de dizer que "|aₙ| < ε", e "aₙ" é apenas esta fração aqui, então, é uma outra forma de dizer que o valor absoluto de (-1)ⁿ⁺¹/n tem que ser menor que "ε". E este (-1)ⁿ⁺¹ é apenas uma forma de dizer que este numerador altera entre números positivos e negativos. Porém, se pegarmos o valor absoluto disso, que será igual a 1/n, isto será sempre positivo e deverá ser menor que "ε". Agora então, "n" será sempre positivo e começa em um número 1 e vai até o infinito. Então, "1/n < ε". E agora, podemos tirar a recíproca dos dois lados. Teremos que inverter o sinal, ficando, então, que "n" será maior que 1/ε. E basicamente, com isso, concluímos a prova. Agora, podemos dizer que para esta sequência em particular dado qualquer "ε", e eu vou estabelecer "M" como sendo 1/ε, pois se "n > M", é o mesmo q "n > 1/ε". Saberemos que isto aqui será verdade, e então, o limite com certeza existe. Aqui, para o nosso "ε" em particular igual a 1/2, desde que nosso "n" seja maior que "1/1/2", que é igual a 2, o "M" será uma função de "ε", que será definido por qualquer "ε > 0". Então aqui, para o "ε = 1/2", o nosso "M'' se encontrará em 2, que será bem aqui. E conforme passamos para "n > 2", isto será verdade. Como exemplo, para "n = 3", estará aqui, "n = 4" aqui, "n = 5" também, e assim por diante infinitamente. Não estamos acreditando nisso apenas cegamente, provamos bem isso aqui, fizemos a prova. Então, podemos ter qualquer outro valor de "ε" que se encaixe aqui, sendo, então, "M = 1" sobre este novo valor. Para qualquer "n" maior que aquilo, isto será verdade. Este é o caso desta sequência. Logo, podemos afirmar que esta sequência converge a zero.