Exemplo resolvido: coeficientes de um polinômio de Taylor.

RKA4JL - A nós foi dada uma função f(x) e a pergunta é: qual é o coeficiente do termo que contém (x mais 2)⁴ no polinômio de Taylor centrado em x igual a -2 da função f? Como de costume, veja se você consegue desenvolver por sua conta antes que a gente comece a trabalhar nisso juntos. Muito bem, vamos lá. O nosso polinômio de Taylor já tem um padrão de construção, mas é importante lembrar que a gente está focando, a gente está centrando o nosso problema em x igual a -2. Então nossa aproximação vai ser feita toda baseada nas redondezas de x igual a -2. Então quando a gente for construir nosso polinômio p(x), ele vai ficar assim: o nosso primeiro termo vai ser f(-2) dividido por zero fatorial. zero fatorial é 1, não precisava escrever, mas eu quero deixar esse padrão o mais evidente possível. Então vezes x menos... E aqui vou ter -2. Portanto, daqui para frente vou começar a escrever (x mais 2) direto. (x mais 2) elevado a zero, já que é o nosso primeiro termo, nosso termo de grau zero. O nosso próximo termo seria f'(-2) sobre 1 fatorial. Novamente a gente está tentando deixar claro nosso padrão, portanto a gente vai escrever 1 fatorial (embora não precise pois é 1, não vai mudar nada) vezes x menos -2, que vai ficar +2, elevado a 1, mais o nosso próximo termo, que seria f"(-2) sobre 2 fatorial, vezes (x mais 2)². Embora eu queira só o polinômio de grau 4, vou continuar pois a gente já está quase chegando lá. Então f"(-2) vai me dar 3 fatorial vezes (x mais 2)³. Finalmente o que a gente queria aqui é f"", então vai ser derivada à quarta aqui no -2 vezes (x mais 2)⁴ e aqui a gente vai ter 4 fatorial. Então o padrão fica bem evidente para você ver. Já dá para a gente responder nossa pergunta: qual o coeficiente do termo que contém (x mais 2)⁴ aqui no nosso polinômio de Taylor? Vamos lá. Olhando o polinômio, esse termo está aqui, (x mais 2)⁴, e nós queremos esse coeficiente aqui. É nisso que nós estamos interessados: o número que está aqui multiplicando esse cara é o coeficiente de (x mais 2)⁴. Para isso, vou precisar calcular a derivada à quarta dessa função f. Então na nossa função f nós vamos precisar calcular a derivada quarta. Vamos trocar de cor e vamos calcular essa derivada quarta para calcular esse coeficiente. Vou começar fazendo a derivada primeira da minha função f. A função f é x⁶ menos x³. Portanto quando eu for derivar, isso aqui vai ser a regra do tombo: vai cair o expoente e diminuir 1 aqui. Então vai ficar 6x, diminuindo 1 vai ficar 6x⁵, menos... Aqui vou fazer o tombo também. Vai cair 3, então vai ficar 3, x era 3 e caiu para 2, portanto 3x². Essa é a nossa derivada primeira da função f. Calculando a derivada segunda da função f vamos ter o seguinte: de novo aqui vai tombar, vai ficar 5 caindo, só que vai ter 6. 5 vezes 6 dá 30x. Agora aqui diminui o 5, então 4. 30x⁴ menos... Aqui tomba também. Vai ficar 2 vezes 3, 6, x¹, pois aqui diminui 1. Nós temos a nossa derivada segunda. Vamos então partir em busca da derivada terceira agora. A nossa derivada terceira, quando eu fizer a regra do tombo aqui, vai cair esse 4 e ficar 4 vezes 30, que dá 120x e aqui vai diminuir 1 e ficar x³ menos 6x¹. x¹ é o próprio x e quando cair esse 1 vai ficar 1 vez 6, vai diminuir 1 aqui nesse x e então vai ficar zero, ou seja, vai ser uma constante vezes x. A derivada de uma constante vezes x é a própria constante, então vai dar 6. Agora finalmente eu consigo calcular a f"", que é a nossa derivada quarta, aquela em que estou interessado. Então derivando aqui vai cair 3. 3 vezes 120 vai dar 360, vezes x³ vai virar x². Então a gente tem a nossa derivada quarta já pronta. O que nos resta agora é calcular em x igual a -2. Vamos lá, então, calcular f””(-2). Vamos trocar aqui. Vai ficar 360 e eu troco x por -2. Vai ficar (-2)². Isso aqui vai ficar (-2)², que é 4, então vai dar 360 vezes 4. Como eu vou dividir esse coeficiente, esse pedaço de cima vou dividir por 4 fatorial, então não vou fazer essa conta porque ainda vou ter termos para cancelar. Vai ficar 360 vezes 4, que é o f""(-2), dividido por 4 fatorial, que é 4 vezes 3, vezes 2, vezes 1. Esse 4 vai embora com 4 e ficou 3 vezes 2, 6. Então 360 simplificando com 6 vai sobrar 60. Cancelou tudo aqui, cancelou tudo aqui e ficou só 1. 60 dividido por 1 é 60. Portanto, 60 é o coeficiente aqui desse termo.