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Exemplo resolvido: coeficientes de um polinômio de Taylor.

Transcrição de vídeo

nos foi dado uma função fx e à pergunta qual é o coeficiente do termo que contém x + 2 a quarta no poli nome de ter centrado em x igual a menos dois da função efe como de costume veja se você consegue desenvolver por sua conta que a gente começa a trabalhar nisso juntos muito bem vamos lá o nosso polígono de terror já tem um padrão de construção mas é importante a gente lembrar que a gente está focando aqui a gente está centrando aqui o nosso problema e x igual - dois então nossa aproximação ela vai ser feita toda baseada aqui nas redondezas de x e com menos 28 quando for construir nosso próprio nome px peixes vai ficar assim o nosso primeiro tema vai ser f de menos 2 / 0 fatorial 0 fatorial é um não precisava escrever mas eu quero deixar esse padrão mais evidente possível vezes x - e aqui vou ter menos dois portanto daqui pra frente vou começar a escrever x + 2 direto aqui tá x + 2 elevado a 0 já que é o nosso primeiro termo aqui o nosso termo de grau zero bom o nosso próximo termo ele seria efe linha de -2 sobre um fator yao de novo ele está tentando deixar claro nosso padrão aqui portanto eu escrevi um fatorial embora não precisa um vai mudar nada vezes x - menos 2 que vai ficar mais dois elevado a 1 mas o nosso se próximo termo seria efe duas linhas de -2 sobre dois fatores ao vezes x + 2 e levado ao quadrado embora eu queria só ontem depois de cobrar 14 vou continuar aqui a gente já quase chegando lá então efe três linhas de -2 vai me dar três fatores ao vezes x + 2 elevado a terceira e finalmente que a gente queria aqui é f4 linha então essa deriva da quarta que em menos 2 vezes x + 2 e levado à 4ª e aqui a gente vai ter 14 fatorial então o padrão fica bem evidente pra você ver legal então já dá pra gente responde nossa pergunta é qual o coeficiente do termo que contém x + 2 a quarta aqui no nosso plano de telha bom vamos lá olhando aqui o poli nome esse termo tac x + 2 a quarta nós queremos esse coeficiente sozinho aqui ó é isso que nós estamos interessado número que está aqui multiplicando esse cara é o coeficiente zinho de x + 2 a quarta pra isso vou precisar que calculará derivada da quarta dessa função é então a nossa função é físico aqui nós vamos precisar calcular a elevada quarta vamos trocar de cor aqui vamos calcular essa derivada quarta vamos pra calcular esse coeficiente vou começar fazendo a derivada primeira da minha função é que está a função fx a sexta - x ao cubo portanto quando poderia usá que isso aqui vai ser a regra do tombo vai cair o expoente e vai diminuir um aqui então vai ficar 6 x diminuir um vai ficar 6 x elevado a 5 - aqui vou fazer o tombo também vai cair 3 vai ficar 3 x era 3 caiu para 23 x ao quadrado então essa é a nossa derivada primeira da função efe calculando a derivada segunda da função efe vamos ter o seguinte de novo aqui vai tombar vai ficar 15 caindo só que vai ter 16 5 vezes seis da 30 x aí agora que diminuiu o de 5,14 30 x a quarta - aqui tomba também vai ficar 2 vezes três das seis x e levado a um que diminuiu fechou então nós temos a nossa elevada segunda vamos então parti em busca do derivado a terceira agora a nossa de levar a terceira quando eu fizer a regra do tombo aqui vai sair vai cair se 4 vai ficar quatro vezes 30 das 120 x e aqui vai diminuir um vai ficar x ao cubo menos 6 x elevada 11 x elevada um é o próprio x quando caísse 1 aqui vai ficar um v6 vai diminuir um aqui nesses x então vai ficar a zero ou seja vai ser uma constante vezes x a derivada de uma constante meses x a própria constante vai dar 6 agora finalmente eu consigo calcular a efe quatro linhas que a nossa derivada quarta que ela que estou interessado então derivando aqui vai cair 33 vezes 120 vai dar 360 vezes x ao cubo vai virar x ao quadrado né então a gente tem a nossa derivado a quarta já pronta o que nos resta agora é calculada em 1 x 1 com menos dois vamos lá então calcular efe quatro linhas de -2 bom vamos trocar aqui vai ficar 360 eu troco x por menos dois vão ficar menos dois elevada ao quadrado bom isso aqui vai ficar menos 2 em quadrado e quatro então vai dar 360 vezes 4 como eu vou dividir esse coeficiente aqui esse pedaço desse meu vou dividir por quatro fatores ao então não vou fazer essa conta aqui porque ainda vou ter que temos para cancelar vai ficar 360 vezes 41 que o f duas quatro linhas de -2 dividido por quatro fatores ao que é quatro vezes três vezes 2 vezes um esse 4 que vai embora com 4 beleza que ficou três vezes 26 são 360 sempre fico com seis vai sobrar 60 então cancelou tudo aqui cancelou tudo aqui ficou só um 60 / 1 é 60 portanto 60 é o coeficiente aqui desse termo