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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 11: Introdução aos polinômios de Taylor e Maclaurin- Introdução aos polinômios de Taylor e Maclaurin (parte 1)
- Introdução aos polinômios de Taylor e Maclaurin (parte 2)
- Exemplo resolvido: polinômio de Maclaurin
- Exemplo resolvido: coeficientes de um polinômio de Maclaurin
- Exemplo resolvido: coeficientes de um polinômio de Taylor.
- Polinômios de Taylor e Maclaurin
- Visualização de aproximações de polinômios de Taylor
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Introdução aos polinômios de Taylor e Maclaurin (parte 2)
Os polinômios de Taylor e Maclaurin são uma maneira muito inteligente de aproximar qualquer função com um polinômio. Nesse vídeo encontramos uma fórmula geral para o enésimo termo de um polinômio de Taylor. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
[RKA20C] Nos vídeos anteriores,
nós aprendemos como aproximar funções
utilizando polinômios. Embora essas funções pudessem
ser funções quaisquer, a gente pedia que elas
fossem funções diferenciáveis, isto é, a gente deveria
conseguir calcular a derivada primeira,
a derivada segunda, a terceira, e assim por diante, pelo menos quando x = 0. Mas como a gente fez isso? Utilizando um polinômio
de grau zero, a gente tem um
polinômio constante. Então, o gráfico dava
uma reta horizontal passando aqui, por f(0). Visivelmente, essa aproximação
não é muito boa, então, podemos aumentar
o grau do polinômio tentando melhorar
nossa aproximação. Se a gente usasse
um polinômio de grau 1, ia ter pelo menos
a inclinação igual à inclinação da
função quando x = 0. Se a gente aumentar o grau
do polinômio ainda mais, pode ter um polinômio
de segundo grau que passa aqui, em x = 0, e fica bem próximo, melhor que nossas aproximações com os polinômios
de grau zero e grau um. Aumentando mais ainda o grau, a gente vai conseguindo polinômios
com aproximações melhores. Se a gente pegasse
um polinômio de 3º grau, nossa curva poderia ficar assim, ficaria bem mais próxima aqui quando a gente estivesse
perto de x = 0. Mas tudo isso
que a gente fez foi focando aqui
em x = 0, ou seja, a gente estava
aproximando a função usando polinômios
nas redondezas de x = 0. Então, o zero era o nosso centro. Por isso, a série chamava
Série de Maclaurin, ou série de Taylor
quando x = 0. Agora, nossa ideia é
tentar expandir e poder fazer esse mesmo resultado em
qualquer valor de x arbitrário. Então, a gente vai focar
nas séries de Taylor para um valor de x qualquer. Vamos supor que
queremos, então, aproximar essa função
em torno de um valor qualquer c. Digamos que, quando x
é igual a um valor c, queremos aproximar
esta função em torno de c. Bom, vamos usar a mesma ideia
que usamos antes. Vamos tentar, em nosso primeiro
polinômio de aproximação, vamos tentar um polinômio
de grau zero. Então, seria um polinômio constante. Se esse polinômio vai ser constante,
seria interessante ser igual pelo menos à função f
no ponto c. Então, vamos definir aqui nosso P(x) = f(c). Aí, a gente já sabe que
o gráfico disto aqui vai ser uma reta horizontal passando em f(c),
aqui em cima, certo? Então, é isso aí... Se queremos que
o nosso polinômio seja igual a uma constante, pelo menos, que essa constante
seja igual ao valor da função aplicada em c,
ou seja, f(c). Então, a gente vai definir
o nosso polinômio para ser igual a f(c),
ele vai ser uma constante. Entretanto, essa aproximação
não é muito boa. A gente já viu que ela
não é muito legal. Porém, a gente ganhou
uma coisa aqui que vai querer manter, que é P(c) = f(c), tá? Isso é legal, se eu colocar,
no lugar do x, o c, isso vai dar f(c). Isso é um valor constante
para qualquer valor de x, então, quando eu coloco c
no lugar de x, a gente vai ter que o polinômio vai dar o mesmo
valor que a função. Além disso, eu vou querer
pedir mais uma coisa agora... E se a gente tivesse
P'(c) = f'(c)? Então, se a derivada primeira
da minha função for igual à derivada primeira
do meu polinômio quando x = c? Repare aqui que eu estou
seguindo a mesma ideia que a gente fez antes. Bom, quero que o polinômio
e a função tenham o mesmo valor quando x = c, e quero que a derivada primeira
do polinômio e a derivada da função também tenham o mesmo valor
quando x = c. Então, já dá para eu arriscar escrever esse nosso
polinômio p(x), tá? Você vai ver que ele
vai ficar muito parecido. Por quê? Agora, a gente não está mais
com x = 0, a gente está com x = c. Então, vou ter que fazer
algumas adaptações aqui. Mas vai ser pouca coisa. A ideia vai ser assim, então: o meu polinômio P(x),
vou defini-lo para ser f(c), o nosso termo constante,
mais... O nosso termo de primeiro grau
vai ficar f'(c) vezes (x - c). Você vai falar:
"Mas apareceu agora um (x - c), né? Por que será que
tem agora esse (x - c)?". Bom, antes de fazer isso...
Vamos lá! Vamos avaliar
para ver se temos as nossas restrições atendidas. Vamos calcular aqui
o que dá P(c). Então, vamos trocar o x por c. Isso aqui dá f(c), é um valor
constante, não muda. Mais... E aqui vai ficar f'(c). Aqui vai dar f'(c), vezes (x - c). O x, eu estou trocando por c. Então, isso vai ficar f'(c) vezes (c - c). Aí, vou ter que c - c = 0, então, esse pedaço aqui é 0 e vai zerar toda esta parte. Portanto, a gente vai ter
P'(c) = f(c), tá? Então, a nossa primeira condição
está atendida, montando o polinômio desse jeito. Isso só deu certo porque
a gente colocou aqui x - c. Repare que, quando eu
aplico polinômio em c, eu vou trocar o x por c, aí, vai ficar c - c,
vai dar 0. Todo este pedaço aqui, que
eu não queria que aparecesse, ele fica zerado, ele some. Portanto, tenho o resultado
que eu quero, que é P(c) = f(c). Por isso, temos
que adaptar aqui e colocar x - c. Vamos tentar agora ver se a nossa
segunda condição também funciona. Vamos calcular aqui
o que é P'(x), tá? Então, vamos derivar o polinômio P. Derivando uma constante... Dá zero, então, este pedaço não tem. Aqui, quando eu fizer
a distributiva, f'(c) vezes x e f'(c) vezes -c... Aqui, quando eu fizer
f'(c) vezes -c, é uma constante,
vai dar zero a derivada. Aqui, f'(c) vezes x,
é uma constante, vezes x, dá a própria constante, isso vai dar f'(c). Então, a derivada
do meu polinômio aqui, ele também é constante. Logo, se eu colocar,
no lugar do x, o c, e vou ter P'(c) = f'(c). E é justamente o que
a gente queria aqui, na nossa segunda restrição. Se a gente usar um polinômio
com dois termos, deste tipo, um polinômio de 1º grau, a gente garante que
pelo menos acerta aqui a inclinação da função
quando x = c. A gente pode
continuar aumentando o grau desse polinômio o quanto quiser. Na verdade, se a gente
usar a mesma ideia que a gente usou
na expansão de Maclaurin, a gente vai chegar aqui
na expansão geral de Taylor, quando x pode ser
um valor qualquer, não necessariamente x = 0. Bom, vamos tentar achar
esse nosso polinômio P(x) usando a mesma lógica
que usamos na expansão de Maclaurin. Se nosso polinômio é P(x),
vamos escrevê-lo assim: P(x),
nosso polinômio de aproximação, vai ser f(c), que é o nosso termo constante, mais f'(c) vezes (x - c)... Já dá para começar a imaginar quais vão ser os nossos
próximos temos, né? Se quiser, assista aos vídeos
da expansão de Maclaurin para você lembrar,
a ideia vai ser a mesma. Mais...
Aqui eu vou ter f"(c)/2!. Na expansão de Maclaurin,
aparecia aqui embaixo 1!. Vezes (x - c)². O próximo termo
ficaria f''', a derivada terceira
da função em c, vezes (x - c)³. Isso também sobre
três fatorial, né? Bom, para não deixar passar, aqui eu poderia ter
colocado 1!. Mas como 1! = 1, não muda nada o valor. Então, a gente nem vai se dar
ao trabalho de colocar. Mas ideia geral é essa aí. Você pode continuar adicionando quantos
termos você quiser. Infelizmente, o que vamos ter
de mais complicado é que, no lugar de x,
estamos colocando x - c... No lugar de x²
vai ter (x - c)², no lugar x³
vai ter (x - c)³, e assim por diante. Ou seja, você vai ter a expansão
desses binômios para fazer. Principalmente se você
quiser fazer isso à mão, na prática mesmo, vai dar
bastante trabalho. Entretanto, o importante é que,
se estiver nas redondezas de x = c, você vai ter uma ótima
aproximação da função usando polinômios,
conforme aumentarmos os termos desse polinômio. Quanto maior o grau do polinômio
que quisermos usar, vamos ter uma
melhor aproximação. Eu vou mostrar isso
melhor para vocês nos próximos vídeos usando
o software Wolfram Alpha.