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Introdução aos polinômios de Taylor e Maclaurin (parte 2)

Transcrição de vídeo

nos vídeos anteriores nós aprendemos como aproximar funções utilizando porém nomes embora essas funções pudessem ser funções quaisquer a gente pedia que elas fossem funções diferenciáveis isto é deveria conseguir calcular derivada primeira derivada segunda terceira e assim por diante pelo menos quando chegou a 0 mas como é que a gente fez isso utilizando o nome de grau zero a gente tenha o nome constante então o gráfico e dava uma reta horizontal passando aqui por f0 visivelmente essa aproximação é muito boa então a gente pode aumentar o grau do poli 9 tentando melhorar nossa aproximação de usar são paulo o nome de grau 1 e até aqui pelo menos a inclinação aqui igual a inclinação da função quando chegou a 0 aumentar o grau do poli nome ainda mais gente pode ter um clone aqui de segundo grau que passa aqui enche de igual a 0 e fica bem próximo melhor do que as nossas aproximações com os polígonos de grau zero grau 1 aumentando mais ainda o grau a gente é conseguido por nomes com com aproximações melhores a gente pegava o nome de terceiro grau nossa como eu poderia ficar assim ela ficaria bem mais próximo aqui quando estivesse perto de x goza mas tudo isso que a gente fez foi focando aqui enche igual a zero ou seja estava aproximando a função usando por nomes aqui nas redondezas de x igual a zero então 10 era que o nosso centro e por isso a série chamava série d maclean ou série de terror quando chegou a 0 agora nossa idéia é tentar expandir e poder fazer esse mesmo resultado aqui em qualquer valor de x arbitrar a gente vai focar na série determina o valor de x qualquer vamos supor que a gente queria então aproximar essa função em torno de um valor qualquer se digamos aqui quando x é igual a um valor ser aqui a gente quer aproximar essa função aqui em torno de ser bom vamos a mesma idéia que a gente usa antes vamos tentar aqui nossa primeira pole nome de aproximação não te dá o nome de grau zero então seria o nome constante por nome vai ser constante seria interessante eles é igual a pelo menos a função é fino pontos e então vamos definir aqui nosso peixe se igual a fdc e a gente já sabe é que o gráfico isso aqui vai ser uma reta horizontal aqui passando em fdc aqui em cima certo então é isso aí a gente quer que é nosso por nome seja igual a uma constante pelo menos que essa constante seja igual ao valor da função clicada em ser ou seja fdc então a gente vai definir o nosso por nome para ser igual a ele se ele vai ser uma constante entretanto essa aproximação não é muito boa gente já viu que ela não é muito legal porém a gente ganha uma coisa aqui que a gente vai querer manter que é e dc é igual a fdc tá então isso aqui é legal se eu colocar os no lugar do xc isso vai dar eficiência o valor constante para qualquer oi de x então quando eu coloco c no lugar de she's a gente vai ter que o nome vai dar o mesmo valor que a função além disso eu vou querer pedir mais uma coisa agora se a gente tivesse belinha de ser igual é filhinho de ser tão elevada primeira da minha função foi embora elevada primeira do meu poli nome quando x foi igual a ser reparada qui que eu estou seguindo a mesma idéia que a gente fez antes bom que eu quero quero que o povo lhe nome ea função tem o mesmo valor quando x você eu quero que o poder da primeira do poli nome é derivado da função também tem o mesmo valor quando x foi igual a si só já dá pra arriscar aqui escrever nosso nome pdx tá você vai ver que ele vai ficar muito parecido muito parecido porque agora a gente não está mais com x igual a zero está contíguas e então vai ter que fazer algumas adaptaçõezinhas aqui mas vai ser pouca coisa a idéia vai ser assim então o meu povo o nome pdx vou definir para ser fdc é o nosso treino constante mas nós temos de primeiro grau vai ficar é filhinha dc vezes x - e era bom mas apareceu aqui agora 1 x - e né por que será que a gente está tendo aqui agora esse x - e que bom nós fazer isso vamos lá vamos avaliar para ver se a gente tem as nossas as nossas restrições atendidas calculá que da perdiz e então vamos trocar o x isso aqui da fdc um valor constante não muda mas e aqui vai ficar é filha de ser a que vai definir se x - e então x eu estou trocando por ser então isso aqui vai ficar é filhinha dc vezes c - e aí eu vou ter que ser menos 03 pedaço aqui por 6 0 vai ser a toda essa parte portanto a gente vai ter em linha de c igual à efe cê tá então a nossa primeira condição é atendida montando o nome desse jeito isso só deu certo porque a gente colocou aqui um x - e repare quando eu aplico poli nomes e eu vou trocar o chip torcer aí vai ficar seminus e vai dar zero então todo esse pedaço aqui que eu não queria que aparecesse ele fica zerado ele some portanto eu tenho um resultado que eu quero é pedir ser igual à f c por isso a gente tem que adaptar aqui colocar x - e vamos tentar agora ver se a nossa segunda condição também funciona como calcular aquilo que é a linha de x tamanho dele vai opor o nome pink levando uma constante da 03 pedaço não tem agora que quando está distribuído é filha de ser vezes x é filha de seis meses - e aqui quando eu fizer teria de ser vezes - é uma constante vai dar zero a derivados aqui é filha de cerveja x é uma constante vezes x da própria constante então isso aqui vai dar é filhinha dc então o nome dele ao derivado do monopoly nome aqui ele também é constante logo se eu colocar no lugar do x eu vou ter que o pl linha dc é igual ao fgc e é justamente a gente queria que na nossa segunda restrição então a gente usar um polinômios que com dois temas desse tipo o nome de primeiro grau a gente garante que pelo menos a gente acerta que a inclinação da função quando x é igual a ser a gente pode continuar aumentando o grau desse por nome o quanto a gente quiser na verdade a gente usa a mesma idéia que a gente usa na expansão de mccoy a gente vai chegar aqui na expansão geral de taylor quando x pode ser um valor qualquer não necessariamente igual a zero vamos tentar que achar esse nosso pólo nome pdx usando a mesma lógica que a gente usou na expansão de maclaine se nós por nome o pdx a gente vai escrever e assim impedir x nosso programa de aproximação vai ser fdc nosso povo termo constante mas é filhinha dc vezes x - e aqui já dá pra começar a imaginar pode ser bom ser os nossos próximos temos né se você quiser assista aos vídeos da expansão de mccoy pra você lembrar que a idéia vai ser a mesma mas aqui eu vou te f duas linhas dc sobre dois fatores ao na expansão de mclaren apareceu aqui embaixo fatorial vezes x - e levado ao quadrado o próximo tempo ficaria efe três linhas a derivada terceira da função em ser vezes x - e elevado ao cubo isso aqui também sobre três fatores ao bom pra não deixar passar aqui poderia ter colocado um fato real mas como um fator yao é a mesma coisa que um muda nada o valor então a gente vai estar o trabalho de colocar mas a ideia geral é isso aí você pode continuar adicionando quantos temos você quiser infelizmente o que a gente vai ter que de mais complicada aqui no lugar de she's a gente está pondo x - e lugar de x ao quadrado vai te xv no seu quadrado lugar x men x ao cubo fighter x - cel cubo e assim por diante ou seja você vai ter expansão desses binômios aqui pra fazer principalmente se você quiser fazer isso na mão na prática mesmo vai te dar bastante trabalho entretanto é importante que se você tiver nas redondezas ac x goiás e você vai ter uma ótima aproximação aqui da função usando por nomes conforme a gente agüenta os termos desse por nome quanto maior o grau de pollino quem quiser usar a gente vai ter uma melhor aproximação e vou mostrar esse melhor pra vocês nos próximos vídeos usando o software wolphram alpha