Série telescópica divergente

RKA3JV - Digamos que temos a soma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1 e isso pode continuar para sempre. Podemos escrever isso com uma notação sigma "Σ". E isso seria igual à soma de n = 1 ao infinito. E nós teremos um número infinito de termos aqui, mas vemos apenas o primeiro, que queremos que seja 1 positivo. E aí, queremos que continue alterando o sinal. Então, podemos dizer que isso é -1 elevado a "n - 1". Vamos verificar se isso funciona. Quando "n = 1", então, teremos -1 elevado a zero, que é 1. Quando "n = 2", teremos -1¹ que é -1. Então, isso bate! E, com isso, queremos pensar se esta série converge para um valor finito ou é uma série que diverge. E uma outra maneira que podemos pensar para resolver isto é pensando sobre a soma parcial. E a soma parcial desta série, podemos escrever como sendo o somatório de "n = 1", "N". Pois, agora, não é mais infinito e sim o número de termos que terá esta série de -1 elevado a "n - 1". Então, teremos aqui S₁ será igual 1. S₂ será igual a 1 - 1, que é igual a zero. S₃ será igual a 1 - 1 + 1 que é igual a 1. E S₄ que será igual a 1 - 1 + 1 - 1. E assim, também podemos continuar infinitamente. Então, mais uma vez, a questão aqui é: esta soma converge para um valor finito ou ela diverge? E eu encorajo você a pausar o vídeo e pensar sobre isto. Então, se esta série converge, é o mesmo que dizer que o limite de "N" se aproxima do infinito de nossa soma parcial, que é igual a um valor finito. Então, qual será este limite? E nós vimos, nas nossas somas parciais, que se "N" foi um valor ímpar, a soma é igual a 1. E se ele "N" for um valor par, a soma é igual a zero. Então, podemos escrever que Sn será igual 1 se "N" for ímpar. E Sn será igual a zero, se "N" for par. Então, qual é o limite quando Sn se aproxima do infinito? Bem, este limite não existe, continua oscilando entre 1 e zero para sempre. Então, na verdade, não está aproximando de um valor finito. Então, isto bem aqui, não existe. É tentador porque é limitado e apenas fica oscilando entre 1 e zero, mas não se direciona para um valor específico enquanto o "N" se aproxima do infinito. Então, aqui nós diríamos que nossa série diverge. Nossa série "S" é divergente.