Série telescópica

RKA14C O que faremos neste vídeo é avaliar esta soma bem aqui, avaliar o que significa esta série: 2 negativo dividido por (n + 1) vezes (n + 2), começando com n = 2 até o infinito. Vamos começar com n = 2. Quando n = 2, teremos 2 negativo dividido por 2 + 1, que é 3, vezes 2 + 2, que é 4. Quando n = 3, teremos 2 negativo dividido por 3 + 1, que é 4, vezes 3 + 2, que é 5. A série continua, 2 negativo dividido por 5 vezes 6... E continua dessa forma até o infinito. Agora está bem claro que cada termo sucessivo está ficando cada vez menor. Está ficando menor relativamente rápido! Portanto, é razoável aceitar que, apesar de termos um número infinito, é possível obter um valor finito. Porém, não me é claro, ao menos da maneira como fizemos essa análise inicial, qual é o verdadeiro resultado ou como descobriremos esse valor. Portanto, sugiro que você pause este vídeo. Eu lhes darei uma dica de como pensar sobre esse problema. Tente procurar em sua memória algo sobre expansão por frações parciais ou decomposição por frações parciais para transformarmos esta expressão em uma soma de duas frações. Essa forma pode nos ajudar a descobrir qual é o valor desta soma. Estou assumindo que você tenha tentado se lembrar. Vamos tentar reescrever como uma soma de duas frações. Então, isso é -2 dividido por (n + 1) vezes (n + 2). Nós lembramos nossa expansão por frações parciais, assim podemos reescrever isto como uma soma de duas frações, como A / n + 1 mais B / n + 2. Por que fazemos isso? Se adicionarmos duas frações, obteremos um denominador comum que será um múltiplo dos dois denominadores. Este é claramente um múltiplo de ambos os denominadores. Aprendemos em frações parciais que não importa o que tenhamos aqui, especialmente porque o grau aqui é menor do que o grau de baixo, qualquer valor que tenhamos aqui em cima, será um grau menor que o que temos aqui. Este é um termo de primeiro grau, então os termos de cima serão constantes. Vamos descobrir os valores de A e B. Se efetuarmos as somas, podemos simplesmente reescrever estes dois com o mesmo denominador comum. Vamos reescrever A / n + 1, mas vamos multiplicar o numerador e o denominador por n + 2. Não mudei os valores da primeira fração. Faremos B / n + 2, multiplicamos o numerador e o denominador por n + 1. Então, n + 1 / n + 1. Novamente, eu não mudei o valor desta fração. Ao fazer isto, terei o denominador comum, e então posso somá-los. Então, este será igual a (n + 1) vezes (n + 2), nosso denominador. E o nosso numerador, vou expandi-lo. O nosso numerador será... Se eu distribuir o A, teremos An + 2A. Vou escrever isso. An + 2A. Vamos então distribuir o B. Obteremos Bn + B. Agora desejo reescrever isto para ter todos os temos "n". Então, por exemplo, An + Bn, eu posso colocar o "n" em evidência. Logo, posso reescrever na forma A + B vezes n, estes termos aqui. E estes dois termos, 2A +B, eu posso reescrevê-los desta forma. Mais 2A + B. Claro, todos os termos estarão divididos por (n + 1) vezes (n + 2). Agora, como fazemos para resolver A e B? Bem, vemos aqui que esta equação deve ser igual a 2 negativo. Estes dois termos têm que ser iguais. Estamos afirmando o fato de que isto, que é o mesmo que isto, é igual a isto. Este é o principal motivo de iniciarmos este processo. Portanto, estamos afirmando que estes dois termos são equivalentes. Estamos afirmando isso: tudo que tivermos no numerador deve ser igual a 2 negativo. Como fazemos isso? Parece que temos duas incógnitas aqui. Para descobrir duas incógnitas, precisamos de duas equações. Bem, o que podemos perceber aqui é que temos um termo "n" no lado esquerdo da equação. Não temos nenhum termo "n" aqui. Então podemos ver isto: além de -2, mais 0 vezes n. Desta forma, torna-se claro que A + B é o coeficiente de "n". E isto deve ser igual a zero. A + B deve ser igual a zero. Isso é basicamente uma expansão por frações parciais. Temos outros vídeos sobre isso, se for necessário revisar. A parte constante, 2A + B, é igual a -2. Agora, portanto, temos duas equações e duas incógnitas. Podemos resolver isso de diversas formas. Podemos multiplicar a equação de cima por -1, e então isso se torna -A - B, enquanto um negativo vezes zero ainda é zero. Agora poderemos adicionar esses dois termos. Restam, assim: 2A - A = A, +B - B, que se cancelam. A = -2. Se A = -2, A + B = 0, portanto, B = 2. -2 + 2 = 0. Resolvemos para A, e então pude substituir aqui em cima. Agora podemos reescrever todo este conjunto aqui, podemos reescrever isso como uma soma. Vou escrever essa soma como uma soma finita ao invés de uma soma infinita. Então, podemos tomar um limite à medida que vamos para o infinito. Portanto, esta será igual n = 2. Em vez de infinito, vou trocar por "n". Depois podemos usar o limite à medida que a soma tende ao infinito. Bem, em vez de escrever isto, posso escrever tal soma aqui. Então, A = -2, logo, temos -2 / n + 1. Se B = 2, temos que B / n + 2... Novamente, expressei essa soma como uma soma finita. Posteriormente, podemos obter o limite quando "n" se aproxima do infinito para descobrirmos o valor da soma. Perdão, vou escrever B aqui. Sabemos que B = 2. Então, temos 2 / n +2. Agora, de que forma este fracionamento nos ajuda? Faremos o que fizemos em cima. Vamos, na verdade, escrever ao que isto será igual. Quando n = 2, isto será 2/-3. Então, -2/3 + 2/4. Assim, "n" é igual a... Vou escrever aqui embaixo, porque o espaço está acabando. Isto é quando n = 2. Quando n = 3, assim, este termo será igual a -2/4 mais 2/5. E quando n = 4? Acho que você percebeu um padrão se formando. Quando n = 4, isso será -2/5. -2/5 + 2/6. E nós simplesmente vamos continuando. Iremos continuar até o termo "n". Então, mais (...), mais o nosso termo "n" final, que será -2 / N + 1 mais 2 / N + 2. Então, acredito que temos um padrão. Perceba que, do nosso primeiro termo, quando n = 2, nós tivemos 2/4. Quando n = 3, obtivemos -2/4. Isto se cancela com aquilo. Quando n = 3, temos 2/5. Quando temos n = 4, isto se cancela com -2/5. Então, o segundo termo se cancela com a segunda parte. Acredito que, para cada "n", cada índice é cancelado com a primeira parte do índice seguinte. E isso sempre continuará acontecendo até que n = n. Isto irá se cancelar com o termo imediatamente anterior a ele. E tudo que nos restará será este termo e este logo aqui. Portanto, vamos rescrever nossa soma. Nós teremos... Vamos aumentar o espaço. Esta soma pode ser reescrita como a soma de n = 2 até "n". De -2 / n + 1 mais 2 / n + 2. A soma é igual a... Todos os termos do meio são cancelados. Sobram apenas -2/3 mais 2 / n + 2. Tivemos uma enorme simplificação bem aqui. Lembre-se do que desejávamos calcular na soma original. Temos n = ∞. Vamos pegar o limite de quando n→∞. Vou reescrever. O lim n→∞ será igual ao lim n→∞ de... Bem, nós acabamos de determinar que isto é -2/3 + 2 / n + 2. Quando n→∞, este -2/3 não tem impacto algum. Este termo aqui, 2 dividido por um número ainda maior, dividido por um termo bem maior, será igual a zero. Nos restará -2/3. E terminamos! Nós estamos aptos a determinar esta soma de uma série infinita. Então, esta expressão bem aqui é igual a -2/3. Este tipo de série é chamado de série telescópica. Série telescópica é um termo geral. Portanto, se você torna as somas parciais, temos este padrão aqui, onde cada termo, você começa a cancelar com os outros termos. Portanto, o que sobram são apenas alguns termos fixos ao final da conta. De qualquer forma, pode-se dizer que o problema foi complicado, mas bem interessante!