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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 5
Lição 17: Série telescópicaSérie telescópica
Série telescópica é uma série na qual todos os termos se cancelam, exceto o primeiro e o último. Isso a torna uma série fácil de ser analisada. Neste vídeo, usamos a decomposição de frações parciais para encontrar a soma de uma série telescópica. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA14C O que faremos neste vídeo
é avaliar esta soma bem aqui, avaliar o que significa esta série: 2 negativo dividido por
(n + 1) vezes (n + 2), começando com n = 2 até o infinito. Vamos começar com n = 2. Quando n = 2, teremos 2 negativo dividido por 2 + 1, que é 3, vezes 2 + 2, que é 4. Quando n = 3, teremos 2 negativo dividido por 3 + 1, que é 4, vezes 3 + 2, que é 5. A série continua, 2 negativo dividido por 5 vezes 6... E continua dessa forma até o infinito. Agora está bem claro
que cada termo sucessivo está ficando cada vez menor. Está ficando menor relativamente rápido! Portanto, é razoável aceitar que, apesar de termos um número infinito,
é possível obter um valor finito. Porém, não me é claro, ao menos da maneira como
fizemos essa análise inicial, qual é o verdadeiro resultado ou
como descobriremos esse valor. Portanto, sugiro que você
pause este vídeo. Eu lhes darei uma dica de como
pensar sobre esse problema. Tente procurar em sua memória algo sobre expansão por frações parciais ou decomposição por frações parciais para transformarmos esta expressão
em uma soma de duas frações. Essa forma pode nos ajudar a descobrir
qual é o valor desta soma. Estou assumindo que você
tenha tentado se lembrar. Vamos tentar reescrever como
uma soma de duas frações. Então, isso é -2 dividido por
(n + 1) vezes (n + 2). Nós lembramos nossa expansão
por frações parciais, assim podemos reescrever isto
como uma soma de duas frações, como A / n + 1 mais B / n + 2. Por que fazemos isso? Se adicionarmos duas frações,
obteremos um denominador comum que será um múltiplo
dos dois denominadores. Este é claramente um múltiplo
de ambos os denominadores. Aprendemos em frações parciais que
não importa o que tenhamos aqui, especialmente porque o grau aqui
é menor do que o grau de baixo, qualquer valor que tenhamos aqui em cima, será um grau menor
que o que temos aqui. Este é um termo de primeiro grau, então os termos de cima
serão constantes. Vamos descobrir os valores de A e B. Se efetuarmos as somas,
podemos simplesmente reescrever estes dois com
o mesmo denominador comum. Vamos reescrever A / n + 1, mas vamos multiplicar o numerador
e o denominador por n + 2. Não mudei os valores da primeira fração. Faremos B / n + 2, multiplicamos
o numerador e o denominador por n + 1. Então, n + 1 / n + 1. Novamente, eu não mudei
o valor desta fração. Ao fazer isto, terei o denominador comum, e então posso somá-los. Então, este será igual a
(n + 1) vezes (n + 2), nosso denominador. E o nosso numerador, vou expandi-lo. O nosso numerador será...
Se eu distribuir o A, teremos An + 2A. Vou escrever isso. An + 2A. Vamos então distribuir o B. Obteremos Bn + B. Agora desejo reescrever isto para ter todos os temos "n". Então, por exemplo, An + Bn, eu posso colocar o "n" em evidência. Logo, posso reescrever na forma A + B
vezes n, estes termos aqui. E estes dois termos, 2A +B, eu posso reescrevê-los desta forma. Mais 2A + B. Claro, todos os termos estarão divididos
por (n + 1) vezes (n + 2). Agora, como fazemos para resolver A e B? Bem, vemos aqui que esta equação
deve ser igual a 2 negativo. Estes dois termos têm que ser iguais. Estamos afirmando o fato de que isto, que é o mesmo que isto,
é igual a isto. Este é o principal motivo
de iniciarmos este processo. Portanto, estamos afirmando
que estes dois termos são equivalentes. Estamos afirmando isso: tudo que tivermos no numerador
deve ser igual a 2 negativo. Como fazemos isso? Parece que temos duas incógnitas aqui. Para descobrir duas incógnitas,
precisamos de duas equações. Bem, o que podemos perceber aqui
é que temos um termo "n" no lado esquerdo da equação. Não temos nenhum termo "n" aqui. Então podemos ver isto: além de -2,
mais 0 vezes n. Desta forma, torna-se claro
que A + B é o coeficiente de "n". E isto deve ser igual a zero. A + B deve ser igual a zero. Isso é basicamente
uma expansão por frações parciais. Temos outros vídeos sobre isso,
se for necessário revisar. A parte constante, 2A + B,
é igual a -2. Agora, portanto, temos
duas equações e duas incógnitas. Podemos resolver isso de diversas formas. Podemos multiplicar
a equação de cima por -1, e então isso se torna -A - B, enquanto um negativo
vezes zero ainda é zero. Agora poderemos adicionar
esses dois termos. Restam, assim:
2A - A = A, +B - B, que se cancelam. A = -2. Se A = -2,
A + B = 0, portanto, B = 2. -2 + 2 = 0. Resolvemos para A, e então
pude substituir aqui em cima. Agora podemos reescrever
todo este conjunto aqui, podemos reescrever isso como uma soma. Vou escrever essa soma
como uma soma finita ao invés de uma soma infinita. Então, podemos tomar um limite
à medida que vamos para o infinito. Portanto, esta será igual n = 2. Em vez de infinito, vou trocar por "n". Depois podemos usar o limite à medida que a soma
tende ao infinito. Bem, em vez de escrever isto,
posso escrever tal soma aqui. Então, A = -2, logo, temos -2 / n + 1. Se B = 2, temos que B / n + 2... Novamente, expressei essa soma
como uma soma finita. Posteriormente, podemos obter o limite quando "n" se aproxima do infinito para descobrirmos o valor da soma. Perdão, vou escrever B aqui. Sabemos que B = 2. Então, temos 2 / n +2. Agora, de que forma
este fracionamento nos ajuda? Faremos o que fizemos em cima. Vamos, na verdade, escrever
ao que isto será igual. Quando n = 2,
isto será 2/-3. Então, -2/3 + 2/4. Assim, "n" é igual a... Vou escrever aqui embaixo,
porque o espaço está acabando. Isto é quando n = 2. Quando n = 3, assim, este termo será igual a -2/4 mais 2/5. E quando n = 4? Acho que você percebeu
um padrão se formando. Quando n = 4,
isso será -2/5. -2/5 + 2/6. E nós simplesmente vamos continuando. Iremos continuar até o termo "n". Então, mais (...),
mais o nosso termo "n" final, que será -2 / N + 1 mais 2 / N + 2. Então, acredito que temos um padrão. Perceba que, do nosso primeiro termo, quando n = 2,
nós tivemos 2/4. Quando n = 3, obtivemos -2/4. Isto se cancela com aquilo. Quando n = 3, temos 2/5. Quando temos n = 4,
isto se cancela com -2/5. Então, o segundo termo
se cancela com a segunda parte. Acredito que, para cada "n", cada índice é cancelado com a primeira parte do índice seguinte. E isso sempre continuará acontecendo até que n = n. Isto irá se cancelar com o termo
imediatamente anterior a ele. E tudo que nos restará
será este termo e este logo aqui. Portanto, vamos rescrever nossa soma. Nós teremos...
Vamos aumentar o espaço. Esta soma pode ser reescrita como a soma de n = 2 até "n". De -2 / n + 1 mais 2 / n + 2. A soma é igual a... Todos os termos do meio são cancelados. Sobram apenas -2/3 mais 2 / n + 2. Tivemos uma enorme simplificação bem aqui. Lembre-se do que desejávamos
calcular na soma original. Temos n = ∞. Vamos pegar o limite de quando n→∞. Vou reescrever. O lim n→∞ será igual
ao lim n→∞ de... Bem, nós acabamos de determinar que isto é -2/3 + 2 / n + 2. Quando n→∞, este -2/3 não tem impacto algum. Este termo aqui, 2 dividido
por um número ainda maior, dividido por um termo bem maior, será igual a zero. Nos restará -2/3. E terminamos! Nós estamos aptos a determinar
esta soma de uma série infinita. Então, esta expressão bem aqui
é igual a -2/3. Este tipo de série é chamado
de série telescópica. Série telescópica é um termo geral. Portanto, se você torna as somas parciais, temos este padrão aqui,
onde cada termo, você começa a cancelar
com os outros termos. Portanto, o que sobram são apenas
alguns termos fixos ao final da conta. De qualquer forma, pode-se dizer
que o problema foi complicado, mas bem interessante!