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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 3
Lição 3: Mudança de base- Coordenadas com relação a uma base
- Matriz de mudança de base
- Matriz de mudança de base inversível
- Matriz de transformação com relação a uma base
- Exemplo de matriz de transformação de base alternativa
- Exemplo de matriz de transformação de base alternativa - parte 2
- Mudança nos sistemas de coordenadas para ajudar a encontrar uma matriz de transformação
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Exemplo de matriz de transformação de base alternativa
Exemplo de como encontrar a matriz de transformação para uma base alternativa. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Tendo uma transformação
linear "T" de Rⁿ em Rⁿ, ao aplicá-la a um vetor "x",
"T" aplicada a um vetor "x", nós vamos obter uma certa matriz "A"
multiplicando o vetor "x". O que nós estamos dizendo aqui
é que nas coordenadas, no sistema padrão de coordenadas,
coordenadas padrão, se eu tenho
um vetor "x" ao aplicar a transformação eu multiplico
por uma matriz "A" e eu chego em "Ax". Bem, vamos supor que eu tenho uma
base alternativa, uma outra base em Rⁿ. Vamos dizer que essa base é a base "B"
que tem os vetores V₁, V₂, até Vⁿ, todos linearmente
independentes, naturalmente. Nós já sabemos então que "B"
é uma base para Rⁿ. Vamos chamar de "C"
a matriz de mudança de base, que é aquela matriz
em cujas colunas nós temos as coordenadas
de cada vetor da base "B". Então, aqui as coordenadas do V₁,
aqui as coordenadas do V₂ e assim
por diante. Na última coluna,
as coordenadas do Vⁿ. Lembrando, então,
que esta matriz é quadrada, esta matriz é invertível, porque
as colunas são linearmente independentes. Esta é a matriz de
mudança de base para "B". Vamos lembrar também que
se eu tiver um vetor "x" representado com as coordenadas
representadas na base "B", ao multiplicá-lo pela matriz
de mudança de base nós vamos obter o vetor "x"
com as coordenadas no sistema padrão. De maneira análoga, se eu tiver
o vetor "x" nas coordenadas padrão, multiplicando essa
igualdade nos dois lados pela inversa
de "C", que é C⁻¹, o que nós vamos
obter então são as coordenadas de "x"
com respeito à base "B". Vamos fazer um
pequeno diagrama aqui. Ao multiplicar
o vetor "x" por C⁻¹, veja, eu estou fazendo isso aqui,
eu tenho "x" e vou multiplicar por C⁻¹. Eu vou obter, então, "x"
representado na base "B". Aqui nós vamos obter então o "x"
representado na base "B". Aqui nós vamos ter então as
coordenadas em respeito à base "B" ou, simplesmente, na base "B". Fazendo a mesma coisa com
a transformação aqui deste lado, ou seja, multiplicar
pela inversa de "C", o que nós vamos obter aqui
é a transformação aplicada a "x", porém, agora,
representada na base "B". E, no último vídeo,
nós vimos que existe uma, deve existir uma matriz que leva
direto o vetor "x" apresentado na base "B" ao t(x) também
representado na base "B". E esta matriz,
nós chamamos de "D". "D", multiplicando "x"
representado na base "B", leva direto à transformação de "x",
também representada na base "B". Nós vimos que existe
uma relação entre "D" e "A". "D" é igual à inversa
de "C" multiplicando "A", multiplicando a própria
matriz "C" de mudança de base. Lembre que é a mesma transformação,
nós estamos aplicando ao mesmo vetor, entretanto, este mesmo vetor está
representado aqui nas coordenadas padrão e aqui nas coordenadas
da base "B". Esta e esta são diferentes
representações para o mesmo vetor, assim como
aqui e aqui. Bem, agora nós vamos trabalhar
com esta expressão. E vamos obter uma relação
entre "A" e "D" de "A" para "B". Olha só, eu vou multiplicar
os dois lados desta igualdade pela matriz
"C" inversa, teríamos aqui "D"
multiplicado por "C" inversa, igual a tudo aquilo, C⁻¹ AC,
multiplicado pelo "C" inversa. Mas você se
lembra de que "C" multiplicado pela "C" inversa
resulta na matriz identidade que é a matriz que é elemento neutro
da multiplicação de matrizes. Então, DC⁻¹ fica igual à,
simplesmente, C⁻¹ A. Cuidado aqui, porque
não temos garantida a comutatividade na
multiplicação de matrizes, então você não pode
concluir que A = D. O que nós vamos fazer
agora é multiplicar do lado esquerdo e do lado
direito pela matriz "C". Quero dizer, do lado esquerdo
da igualdade nós vamos ter, CD vezes C⁻¹ igual ao
"C" vezes C⁻¹, vezes "A". Aqui, sim,
o "C" vezes C⁻¹, mais uma vez,
é a identidade, que é o elemento neutro
da multiplicação de matrizes. Então, o que nos sobra aqui é CD C⁻¹
igual, simplesmente, à matriz "A". Concluindo, só para
ficar mais organizado, a matriz "A"
é igual a CD C inversa. Esta é a relação
que nos permite, a partir de conhecer
a matriz "D" e a matriz "C", obter a matriz A de transformação
nas coordenadas padrão. Vamos a um exemplo para
aplicar estas ideias todas. Vamos dizer que nós temos aqui uma
certa transformação "T" de R² em R². E o que define essa transformação "T",
"T" aplicado a um certo vetor "x", é obtida por meio da multiplicação
da matriz 3, - 2, 2, -2, pelo vetor "x". Esta é a matriz que, logo
acima, chamamos de "A". Vamos considerar que temos aqui
uma base alternativa, uma outra base, vamos chamar
esta base de "B", e essa base "B"
tem os vetores (1, 2) e (2, 1). "B" é uma
base em R². E o que queremos neste
exemplo é obter a matriz "D", de tal forma que a transformação
aplicada ao vetor "x" com as coordenadas
na base "B", seja igual à matriz "D" que queremos
multiplicando o vetor "x" na base "B". É a matriz "D" que nós
estamos procurando. Vamos voltar
ao diagrama. Nós queremos
a matriz "D" que viabiliza a transformação direta
do vetor "x" representado na base "B" para a transformação também
representada na base "B". Para obter "D",
é bem razoável imaginar que nós vamos
precisar usar esta relação que nós já
estudamos em vídeo anterior. Para isso, vamos precisar
saber quem é "C" e quem é C⁻¹, a matriz inversa
da matriz de mudança da base. Então, vamos voltar aqui e vamos
escrever estas informações. A matriz "C" é composta pelas
coordenadas dos vetores da base "B". Então, aqui nesta primeira coluna, nós vamos ter 1, 2
e na segunda coluna 2, 1. Matriz quadrada, como esperávamos. Aqui está, essa é a matriz
de mudança de base. Vamos lembrar, matriz
de mudança de base para a base "B",
neste caso. Nós vamos precisar da inversa
desta matriz também, então vamos
calculá-la logo aqui. Para obter a inversa de "C", nós
precisamos primeiro do determinante dela. Vamos fazer mentalmente,
é possível. 1 vezes 1 dá 1,
2 vezes 2 dá 4, 1 − 4 = -3. Então, nós precisamos de 1 sobre
o determinante da matriz que é 1/-3 multiplicando a tal
da matriz dos cofatores, que para a ordem 2
é bem fácil de ser obtida, pegamos este elemento e tiramos
linha e coluna, o que sobra é 1. E aqui ele
fica positivo. A mesma coisa
para este elemento. Então, vamos ter
o 2, porém, negativo. Aqui, vamos ter,
tirando linha e coluna nós vamos ter o 2,
que vai ficar negativo. E aqui vai sobrar
1 positivo. Eu poderia multiplicar
todos os elementos por -1/3, mas eu não
vou fazer agora, porque esta matriz vai ser
utilizada em novos cálculos, e os números inteiros
no seu interior vão facilitar. Bem, mas o que queremos
é a matriz "D", e para obter a matriz "D"
nós temos esta relação aqui. Vamos aplicá-la, então. "D" igual "C" inversa,
multiplicando "A", multiplicando "C". Então, aqui, "D" vai ser igual a
"C" inversa, temos aqui. Vamos escrever tudo aquilo menos
1/3 que multiplica 1, -2, - 2, 1, multiplicando "A",
matriz "A" é esta que está aqui. 3, 2, -2, -2, multiplicando
a própria matriz "C" que está aqui. 1, 2,
2, 1, vamos ter que fazer esta sequência
de cálculos para obter a matriz "D". Vamos desenvolver
parte por parte. Na linha de baixo, então,
vamos organizar. "D" fica igual a -1/3 multiplicando
esta primeira matriz, que vai multiplicar o resultado
desta multiplicação. Para multiplicar, primeira linha com
cada uma das colunas e soma os resultados. Então, vamos lá! 3 vezes 1 igual a 3,
-2 vezes 2 igual a -4. Somando, temos -1. Agora, a primeira linha,
segunda coluna, 3 vezes 2 igual a 6,
-2 vezes 1 igual a -2. Então, nós
temos aqui 4. Agora, a linha
de baixo, 2 vezes 1 igual a 2,
-2 vezes 2 igual a -4. Então,
temos -2. E 2 vezes 2 igual a 4,
-2 vezes 1 igual a -2, temos 2. Vamos adiante, vamos multiplicar
agora estas duas matrizes. Efetuando, então, primeira
linha por primeira coluna. 1 vezes -1 igual a -1,
-2 vezes -2 dá 4, -1 + 4
resulta em 3. 1 vezes 4 dá 4,
-2 vezes 2 dá -4. Somando, temos zero. Agora, a segunda linha
primeira coluna, -2 vezes -1 dá 2 positivo,
1 vezes -2 dá -2. Somando, zero. Finalmente, -2 vezes 4 dá -8,
1 vezes 2 dá 2. Somando, temos
6 negativo. Basta que agora multipliquemos
todos os elementos por -1/3. Nós vamos ter, então, -1/3
vezes 3 igual a -1 inteiro, -1/3 vezes zero é zero,
-1/3 vezes zero é zero de novo e -1/3 vezes -6
resulta em 2 positivo. Esta é a matriz "D" que faz acontecer
a transformação linear "T" aplicada ao vetor "x"
representado na base "B". E faz naturalmente com que
o resultado da aplicação da transformação seja também um vetor
representado na base "B". No próximo vídeo, nós vamos
verificar que, de fato, isso funciona. Até lá!