Exemplo de matriz de transformação de base alternativa

RKA3JV - Tendo uma transformação linear "T" de Rⁿ em Rⁿ, ao aplicá-la a um vetor "x", "T" aplicada a um vetor "x", nós vamos obter uma certa matriz "A" multiplicando o vetor "x". O que nós estamos dizendo aqui é que nas coordenadas, no sistema padrão de coordenadas, coordenadas padrão, se eu tenho um vetor "x" ao aplicar a transformação eu multiplico por uma matriz "A" e eu chego em "Ax". Bem, vamos supor que eu tenho uma base alternativa, uma outra base em Rⁿ. Vamos dizer que essa base é a base "B" que tem os vetores V₁, V₂, até Vⁿ, todos linearmente independentes, naturalmente. Nós já sabemos então que "B" é uma base para Rⁿ. Vamos chamar de "C" a matriz de mudança de base, que é aquela matriz em cujas colunas nós temos as coordenadas de cada vetor da base "B". Então, aqui as coordenadas do V₁, aqui as coordenadas do V₂ e assim por diante. Na última coluna, as coordenadas do Vⁿ. Lembrando, então, que esta matriz é quadrada, esta matriz é invertível, porque as colunas são linearmente independentes. Esta é a matriz de mudança de base para "B". Vamos lembrar também que se eu tiver um vetor "x" representado com as coordenadas representadas na base "B", ao multiplicá-lo pela matriz de mudança de base nós vamos obter o vetor "x" com as coordenadas no sistema padrão. De maneira análoga, se eu tiver o vetor "x" nas coordenadas padrão, multiplicando essa igualdade nos dois lados pela inversa de "C", que é C⁻¹, o que nós vamos obter então são as coordenadas de "x" com respeito à base "B". Vamos fazer um pequeno diagrama aqui. Ao multiplicar o vetor "x" por C⁻¹, veja, eu estou fazendo isso aqui, eu tenho "x" e vou multiplicar por C⁻¹. Eu vou obter, então, "x" representado na base "B". Aqui nós vamos obter então o "x" representado na base "B". Aqui nós vamos ter então as coordenadas em respeito à base "B" ou, simplesmente, na base "B". Fazendo a mesma coisa com a transformação aqui deste lado, ou seja, multiplicar pela inversa de "C", o que nós vamos obter aqui é a transformação aplicada a "x", porém, agora, representada na base "B". E, no último vídeo, nós vimos que existe uma, deve existir uma matriz que leva direto o vetor "x" apresentado na base "B" ao t(x) também representado na base "B". E esta matriz, nós chamamos de "D". "D", multiplicando "x" representado na base "B", leva direto à transformação de "x", também representada na base "B". Nós vimos que existe uma relação entre "D" e "A". "D" é igual à inversa de "C" multiplicando "A", multiplicando a própria matriz "C" de mudança de base. Lembre que é a mesma transformação, nós estamos aplicando ao mesmo vetor, entretanto, este mesmo vetor está representado aqui nas coordenadas padrão e aqui nas coordenadas da base "B". Esta e esta são diferentes representações para o mesmo vetor, assim como aqui e aqui. Bem, agora nós vamos trabalhar com esta expressão. E vamos obter uma relação entre "A" e "D" de "A" para "B". Olha só, eu vou multiplicar os dois lados desta igualdade pela matriz "C" inversa, teríamos aqui "D" multiplicado por "C" inversa, igual a tudo aquilo, C⁻¹ AC, multiplicado pelo "C" inversa. Mas você se lembra de que "C" multiplicado pela "C" inversa resulta na matriz identidade que é a matriz que é elemento neutro da multiplicação de matrizes. Então, DC⁻¹ fica igual à, simplesmente, C⁻¹ A. Cuidado aqui, porque não temos garantida a comutatividade na multiplicação de matrizes, então você não pode concluir que A = D. O que nós vamos fazer agora é multiplicar do lado esquerdo e do lado direito pela matriz "C". Quero dizer, do lado esquerdo da igualdade nós vamos ter, CD vezes C⁻¹ igual ao "C" vezes C⁻¹, vezes "A". Aqui, sim, o "C" vezes C⁻¹, mais uma vez, é a identidade, que é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Então, o que nos sobra aqui é CD C⁻¹ igual, simplesmente, à matriz "A". Concluindo, só para ficar mais organizado, a matriz "A" é igual a CD C inversa. Esta é a relação que nos permite, a partir de conhecer a matriz "D" e a matriz "C", obter a matriz A de transformação nas coordenadas padrão. Vamos a um exemplo para aplicar estas ideias todas. Vamos dizer que nós temos aqui uma certa transformação "T" de R² em R². E o que define essa transformação "T", "T" aplicado a um certo vetor "x", é obtida por meio da multiplicação da matriz 3, - 2, 2, -2, pelo vetor "x". Esta é a matriz que, logo acima, chamamos de "A". Vamos considerar que temos aqui uma base alternativa, uma outra base, vamos chamar esta base de "B", e essa base "B" tem os vetores (1, 2) e (2, 1). "B" é uma base em R². E o que queremos neste exemplo é obter a matriz "D", de tal forma que a transformação aplicada ao vetor "x" com as coordenadas na base "B", seja igual à matriz "D" que queremos multiplicando o vetor "x" na base "B". É a matriz "D" que nós estamos procurando. Vamos voltar ao diagrama. Nós queremos a matriz "D" que viabiliza a transformação direta do vetor "x" representado na base "B" para a transformação também representada na base "B". Para obter "D", é bem razoável imaginar que nós vamos precisar usar esta relação que nós já estudamos em vídeo anterior. Para isso, vamos precisar saber quem é "C" e quem é C⁻¹, a matriz inversa da matriz de mudança da base. Então, vamos voltar aqui e vamos escrever estas informações. A matriz "C" é composta pelas coordenadas dos vetores da base "B". Então, aqui nesta primeira coluna, nós vamos ter 1, 2 e na segunda coluna 2, 1. Matriz quadrada, como esperávamos. Aqui está, essa é a matriz de mudança de base. Vamos lembrar, matriz de mudança de base para a base "B", neste caso. Nós vamos precisar da inversa desta matriz também, então vamos calculá-la logo aqui. Para obter a inversa de "C", nós precisamos primeiro do determinante dela. Vamos fazer mentalmente, é possível. 1 vezes 1 dá 1, 2 vezes 2 dá 4, 1 − 4 = -3. Então, nós precisamos de 1 sobre o determinante da matriz que é 1/-3 multiplicando a tal da matriz dos cofatores, que para a ordem 2 é bem fácil de ser obtida, pegamos este elemento e tiramos linha e coluna, o que sobra é 1. E aqui ele fica positivo. A mesma coisa para este elemento. Então, vamos ter o 2, porém, negativo. Aqui, vamos ter, tirando linha e coluna nós vamos ter o 2, que vai ficar negativo. E aqui vai sobrar 1 positivo. Eu poderia multiplicar todos os elementos por -1/3, mas eu não vou fazer agora, porque esta matriz vai ser utilizada em novos cálculos, e os números inteiros no seu interior vão facilitar. Bem, mas o que queremos é a matriz "D", e para obter a matriz "D" nós temos esta relação aqui. Vamos aplicá-la, então. "D" igual "C" inversa, multiplicando "A", multiplicando "C". Então, aqui, "D" vai ser igual a "C" inversa, temos aqui. Vamos escrever tudo aquilo menos 1/3 que multiplica 1, -2, - 2, 1, multiplicando "A", matriz "A" é esta que está aqui. 3, 2, -2, -2, multiplicando a própria matriz "C" que está aqui. 1, 2, 2, 1, vamos ter que fazer esta sequência de cálculos para obter a matriz "D". Vamos desenvolver parte por parte. Na linha de baixo, então, vamos organizar. "D" fica igual a -1/3 multiplicando esta primeira matriz, que vai multiplicar o resultado desta multiplicação. Para multiplicar, primeira linha com cada uma das colunas e soma os resultados. Então, vamos lá! 3 vezes 1 igual a 3, -2 vezes 2 igual a -4. Somando, temos -1. Agora, a primeira linha, segunda coluna, 3 vezes 2 igual a 6, -2 vezes 1 igual a -2. Então, nós temos aqui 4. Agora, a linha de baixo, 2 vezes 1 igual a 2, -2 vezes 2 igual a -4. Então, temos -2. E 2 vezes 2 igual a 4, -2 vezes 1 igual a -2, temos 2. Vamos adiante, vamos multiplicar agora estas duas matrizes. Efetuando, então, primeira linha por primeira coluna. 1 vezes -1 igual a -1, -2 vezes -2 dá 4, -1 + 4 resulta em 3. 1 vezes 4 dá 4, -2 vezes 2 dá -4. Somando, temos zero. Agora, a segunda linha primeira coluna, -2 vezes -1 dá 2 positivo, 1 vezes -2 dá -2. Somando, zero. Finalmente, -2 vezes 4 dá -8, 1 vezes 2 dá 2. Somando, temos 6 negativo. Basta que agora multipliquemos todos os elementos por -1/3. Nós vamos ter, então, -1/3 vezes 3 igual a -1 inteiro, -1/3 vezes zero é zero, -1/3 vezes zero é zero de novo e -1/3 vezes -6 resulta em 2 positivo. Esta é a matriz "D" que faz acontecer a transformação linear "T" aplicada ao vetor "x" representado na base "B". E faz naturalmente com que o resultado da aplicação da transformação seja também um vetor representado na base "B". No próximo vídeo, nós vamos verificar que, de fato, isso funciona. Até lá!