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Exemplo de matriz de transformação de base alternativa - parte 2

Transcrição de vídeo

no vídeo anterior nós estudamos de novo transformações lineares nós vimos que se temos aqui certo vetor x ea ele aplicamos uma transformação linear digamos que a seja matriz de transformação a multiplicando x é o resultado da transformação aplicada x entretanto nós vimos também que isto que foi feito na no sistema padrão de coordenadas na base padrão pode também ser feito num sistema alternativo de coordenadas por exemplo aqui numa certa base b se eu tenho um vetor representado na base b que é o mesmo daqui aplicando uma transformação só que agora vou ter que multiplicar este vetor representado na base b por uma outra mas matriz de eu vou obter a transformação aplicada x por representada na base b e é o mesmo vetor que nós obtivemos aqui no último vídeo tínhamos um exemplo de uma certa base alternativa que esta que você vê aqui a base b ea matriz a que determinava o que define uma certa transformação linear em r 2 nosso objetivo era obter a matriz de que faz a transformação acontecer para o vetor representado na base b o objetivo deste vídeo é verificar que esta matriz de que nós encontramos e está escrita aqui abaixo esta aqui o objetivo é verificar que ela funciona como foi descrito para isso copiei e colei as principais informações daqui que nós vamos usar aqui acima temos aqui então a base ativa para b/c é a matriz mudança de base para b ou seja é composta pelos vetores da base b e ela multiplicando adequadamente vetores nós conseguimos transitar entre o vetor representado na base padrão e na base b a inversa dela que também é muito útil e necessária nesse trânsito que nós estamos fazendo aqui envolvendo a transformação linear aqui a matriz aqui é quem define a transformação linear neste exemplo e aqui a matriz de que nós encontramos no vídeo anterior que faz acontecer a transformação linear com os setores representados na base b vamos agora tomar um vetor como exemplo vamos chamar de x o vetor 1 - 1 - um claro está nas coordenadas padrão nós vamos aplicar a ele a transformação pt e ao aplicar a transformação t nós vamos ter aqui te deixes que outro vetor bem para obter tx o que é que eu faço eu multiplico esta matriz pelo vetor x então vamos efetuar vou fazer os cálculos aqui abaixo multiplicação de matrizes primeira linha com a primeira e única coluna multiplicam todos e adicione os resultados 313 menos 2 vezes menos 12 somando temos então 52 vezes 1 a 2 - 2 vezes menos 12 positivo somando temos quatro ou seja aplicando a transformação linear definida pela matriz a ao vetor x nós temos como resultado este vetor 54 eu vou escrever aqui 54 para facilitar vou apagar este cálculo do rascunho bem mais o que é este vetor x representado nas coordenadas da base b para obter isso vamos nos lembrar de uma informação de vídeos anteriores que é esta aqui esta informação aqui se eu tenho um vetor com as coordenadas da base tradicional para obter e tem o tradicional para obter o xis na corneta nas coordenadas da base b eu tomo o vetor da base tradicional multiplicam pela inversa da matriz de mudança de base então vamos usar essa informação acima para obter o vetor com as coordenadas da base b eu multiplicaria inversa da matriz mudança de base que está aqui pelo vetor com as coordenadas tradicionais vou fazer os cálculos aqui e depois colocamos ali organizadamente bem então aqui torches com as coordenadas na base b vai ser igual a ser menos um é inversa da matriz e é exatamente essa que temos aqui e vai multiplicar o vetor x o vetor x é isso que está aqui vamos efetuar a multiplicação e nós vamos encontrar o seguinte - um terço vezes aqui aquele esquema primeira linha com a coluna etc um vez 1 - 2 - 12 positivo 1 com 23 menos 2 vezes 1 - 21 vez - 1 - 1 somando temos menos três multiplicando todos por menos um terço menos um terço às vezes três resulta em menos um inteiro menos um terço vezes menos três vezes não têm um inteiro positivo então o resultado obtido seja o vetor x nas coordenadas da base b ao menos um vamos inscrevê lo aqui em cima então - 11 vamos voltar então e agora vamos aplicar a transformação linear aqui porém com o vetor x representado na base b ou seja vamos multiplicar a matriz de pelo vetor x representado na base b a matriz de está aqui e eu vou multiplicá-la pelo vetor menos um que é o xis representado na base b publicação de matrizes primeira linha vezes a única coluna multiplicamos cada elemento e somamos os produtos cada elemento por cada elemento humano os produtos - um vezes - um dá um positivo 10 vezes 10 cancela não temos um na segunda linha analogamente 0 vez menos um e zero e 2 vezes 12 então temos aqui o vetor 12 que é a transformação linear aplicada ao vitor x ao mesmo vetor x só que agora representado na base b isso vai nos dar a transformação tx transformação aplicada x porém agora com as coordenadas representadas na base b é o vetor 12 vamos verificar se está certo mudando a base da transformação que antes foi aplicada no sistema tradicional na base o padrão e verificar se nós vamos chegar também ao vetor 12 para isso basta multiplicar o vetor da transformação aplicada por ser inversa e verificar se vamos obter o vetor 12 e é o que eu vou fazer aqui a seguir vamos lembrar de que o vetor x na base b pode ser obtido a partir do vetor com as coordenadas padrão multiplicando pela inversa da matriz de mudança de base vamos efetuar essa multiplicação a matriz inversa da mudança de base temos ali em cima e vamos multiplicar pelo vetor 5 4º 54 e obter então o resultado com a mudança de base aplicada já coloquei aqui agora vamos começar então a multiplicar batres inversa de ser pelo vetor 54 lembrando quê de matrizes primeira linha primeira coluna segunda linha 1a coloneze por diante temos somente uma coluna no segundo vetor então vamos ter somente uma coluna no vetor resultante vamos deixar menos um terço para multiplicar depois um vezes 55 - 8 - 3 - 2 e 5 da menos 10 com mais quatro da menos seis e aqui temos multiplicando todos os elementos por menos um terço o resultado final - um terço vezes - três da o inteiro positivo - um terço vezes menos 62 positivo temos aqui o vetor que nós procurávamos esse é o vetor da transformada de x transformada ter aplicada x na base b então a transformada aplicada x transformação aplicada x representada nos nas coordenadas da base v é obtida por meio desses cálculos e resulta no returno 12 que é exatamente aquilo que nós já havíamos obtido acima de fato comprovando que os dois caminhos estão corretos eu posso pegar a o vetor da transformação aplicada x e multiplicar pela inversa da matriz de mudança de base ou pegar o vetor já com a base b ea multiplicar pela matriz de de transformação na base b e obter o mesmo resultado comprovando que estava correto que nós já prevíamos uma pergunta que você deve fazer é porque fazer a mudança de base porque trabalhar com a transformação lidera uma base depois mudar para outra base seu professor de álgebra linear talvez já tenha comentado que a álgebra linear tem arte ou envolve a arte de escolher a base certa mas o que é a base certa o que significa para que escolher a base certa isso é o que nós precisamos refletir aqui um pouquinho observe que agora pouco nós fizemos uma transformação linear ter com aquela matriz dada inicialmente e nós chegamos facilmente a um vetor resultante porque nós estamos com o sistema de ordem 2 uma matriz de ordem 2 essa matriz da transformação 3 2 - 2 - 2 entretanto quando nós mudamos para outra base para base b a matriz de transformação ficou menos 10 02 é uma matriz diagonal se você observar aqueles zeros na hora de multiplicar facilitam muito a nossa vida comparando com o anterior observe que na hora de multiplicar esta matriz por este vetor bastou você multiplicar por menos um primeiro elemento obteve 1 e por dois o segundo elemento obteve 2 muito mais simples fácil e rápido nesta situação não que é relativamente simples isso parece não fazer muita diferença mas imagino que você possa precisar multiplicar várias e várias e várias vezes pela matriz de transformação então uma situação em que você simplifica você consegue chegar mais rapidamente vamos ao resultado computacionalmente falando você simplifica bastante o seu processo em vários problemas mais complexos escolher a base certa vai fazer com que você os resolva de maneira muito mais eficiente tem por ora isso até o próximo vídeo