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Mudança nos sistemas de coordenadas para ajudar a encontrar uma matriz de transformação

Transcrição de vídeo

vamos dizer que nós estamos trabalhando em r 2 eu vou desenhar aqui os eixos vamos localizar aqui um certo vetor com as coordenadas 12 teremos aqui um no primeiro eixo 2 no segundo eixo então o vetor teria o extremo aqui este é o victor 12 vamos também definir uma certa reta indicada por ele que é o conjunto de todos os as possíveis multiplicações de um escalar te pelo vetor 12 que já está desenhado lá sem do teu número real qualquer ou seja nós estamos multiplicando t por todos os números reais possíveis e isso vai simplesmente é tomar como base o vetor que nós já tínhamos aqui e prolongá lo compondo uma reta infinita naturalmente esta é então a minha reta l nós queremos agora construir uma transformação linear que reflete em torno da reta l por exemplo se eu tiver um certo victor aqui essencialmente o que eu quero que aconteça é que a transformação promova a reflexão em torno da reta l vindo ortogonal mente perpendicularmente à reta l eu teria como um espelho o que me permitiria definir um outro vetor que seria o resultado da transformação linear aplicada ao primeiro vetor que é a reflexão em torno da reta l vamos chamar esse aqui de vetor x e aqui seria um vetor que é o resultado da transformação linear aplicada ao x e seria ter aplicado a xt a transformação linear para um outro exemplo digamos que eu tenha um vitor ortogonal a reta l para pegar um vetor ortogonal a reta é lhe basta tomar este aqui que define jl e trocar os elementos de lugar e deixar um deles negativo tal por exemplo eu poderia trocar o 2 com um deixar um negativo ou seja o 2 - 1 2 -1 aqui seria um vetor perpendicular à reta l vamos chamar esse vetor de v1 cujas coordenadas padrão lógico é 2 - 1 veja se você fizer o produto escalar de v1 por este vetor você vai obter 0 2 x 1 2 -1 vezes 2 - 2 somando tem zero de fato então eu estou garantindo a perpendicularidade entre eles dado que nenhum deles a 0 se eu aplicar essa transformação que estou procurando no v1 eu vou refletir lo em torno da reta ou seja neste caso aqui eu vou simplesmente ter este mesmo vetor quando refletido em torno da reta eu vou ter virado na direção na mesma direção com sentido oposto ou seja aqui está este vetor é simplesmente - o v 1 esta seria a transformação aplicada ao ver um e aqui eu possa identificá lo facilmente então pelas suas coordenadas que seriam menos 21 eu ainda não sei qual é a matriz de transformação que provoca isso inclusive é isso que estamos procurando mas eu consigo é saber as coordenadas pela propriedade dessa transformação que eu quero desenvolver e o que nós queremos definir então é uma transformação de r 2 em r 2 em que te dê x é a reflexão e qualquer retorno x em torno da reta l teremos então que te dê x é igual a uma certa matrizes a dois por dois porque estamos em r 2 para é para r 2 multiplicando o vetor x e essa matriz a é uma matriz 2 por 2 1 na primeira coluna eu tenho as coordenadas do vetor obtido com a transformação aplicada ao vetor o 10 que é o primeiro vetor que define a base padrão nas coordenadas em questão ea segunda coluna vai ser a mesma transformação aplicada ao vetor 01 que é o segundo vetor que define a base padrão e o que seria isso observe que a transformação aplicado futuro 10 10 o primeiro vetor aqui que define a base padrão refletindo em torno da reta amarela que eu teria algo talvez assim por outro lado o vetor 01 que o segundo vetor aqui em 2011 aplicando a transformação refletindo em torno da reta ela teria um outro vetor por exemplo algo assim nós podemos trabalhando com trigonometria com a geometria toda definir esta matriz de transformação a partir da base padrão entretanto não é fácil trabalhar com ela desta forma essa transformação parece difícil de ser feita de ser trabalhada no nosso sistema padrão de coordenadas mas nós estudamos isso e estamos estudando sistemas alternativos de coordenadas bases alternativos e é o que nós vamos fazer para facilitar aqui e uma base interessante o sistema de coordenadas interessante para facilitar o nosso trabalho neste caso é justamente escolher o sistema em que um dos eixos de coordenadas seja a reta l que está aqui e o vetor ver um que é perpendicular a ela assim eu tenho este novo sistema sistema de eixos para os quais as coordenadas são mais facilmente trabalhadas nesta transformação já que eu te estaria fazendo a reflexão de um vetor em torno de um dos eixos que define a base isso você vai ver é mais fácil vamos trabalhar com isso vamos definir então uma base em que o primeiro vetor que define é o v12 menos 11 e o segundo vetor que define é esse que estava aqui 12 que define a reta desta forma nós teríamos o primeiro eixo de de coordenadas o nosso sistema coincidindo aqui com a direção do v1 e o segundo eixo coincidindo justamente com a direção da reta l e assim nós teremos uma forma mais natural de trabalhar com essa transformação para trabalhar com isso vamos lembrar um diagrama que fizemos em vídeos anteriores que é o seguinte se eu tenho um vetor x no sistema padrão de coordenadas ao multiplicá lo por uma certa matriz a de transformação multiplicado pela matriz a matriz de transformação na base padrão eu vou obter a transformação aplicada ao vetor x isso tudo na base padrão ou nas coordenadas padrão por outro lado se eu multiplico o x pela inversa da matriz de mudança de base eu obtenho o mesmo vetor x porém representado nas coordenadas de uma base alternativa vamos chamar de b tomando o vetor x representado na base b ao multiplicá lo por uma outra matriz de eu chego na transformação aplicada à x na base b ou seja eles desejam fazer a mesma transformação só que usando as coordenadas do vetor em outra base por isso outra matriz para chegar no mesmo setor que eu teria chegado antes aqui ainda temos uma outra informação que eu tenho a transformação aplicada x e multiplico pela matriz inversa da mudança de base eu chego na transformação aplicada x representada nas coordenadas desta base alternativa e vice-versa eu posso fazer a volta multiplicando a transformação com as coordenadas da base b multiplicada pela matriz sede mudança de base vimos também que podemos relacionar as matrizes dna através dessa relação à matriz de é a inversa da matriz mudança de base multiplicando a própria matriz a multiplicando a matriz de mudança de base e o que queremos agora é achar esta matriz a que a matriz de transformação com respeito ao sistema padrão a base padrão de coordenadas mas não é fácil neste caso de trabalhar com a transformação aplicada nas coordenadas padrão então que tal usar uma outra base b como já comentei antes definida por esses dois setores houve 1 e este outro vetor que define a reta ou seja a base b seria composta pelo vetor 2 - 1 e pelo vetor 12 então neste nó neste novo mundo a transformação é simplesmente uma reflexão em torno do segundo eixo de coordenadas que seria equivalente ao eixo vertical no sistema cartesiano então provavelmente é mais fácil procurar de deve ser mais fácil obter uma triste do que a matriz a obtendo matriz de rapidamente nós conseguimos chegar à matriz a e é isso que nós vamos fazer lembre se de que para obter a matriz a basta multiplicar a matriz e de mudança de base pela matriz de pelo inverso da matriz e para facilitar o nosso trabalho vamos colocar nome nos setores que define a base vamos chamar aqui dever 1 e aqui de 2011 na verdade é o mesmo daqui só estou colocando o nome de 2 no outro vetor que é o que define a reta mas agora então o que é um fio ver um representado com as coordenadas na base b se você observar o ferro e um pensando que ele está na base b mesmo independente de qualquer base ele é uma vez o v 1 uma vez o v 1 + 0 vezes o v2 vejo que tenho que escrever lo como uma combinação linear dos vetores que define a base que são ver um e dois então o v 1 na base b é representado simplesmente por 1 a 0 uma vez o primeiro vetor zero vezes o segundo vetor e o que é a matriz de lembre se de que nós vamos primeiro procurar uma 3d para depois usando esta fórmula obter a matriz a já que estamos num espaço 2 por 2 a matriz de uma matriz quadrada dois por dois e as a primeira coluna é composta pelas coordenadas de um certo vetor de 1 ea segunda por um certo vetor vamos chamar de 2 mas o que dá à matriz de multiplicando o vetor ver um com as coordenadas na base be vamos lá a matriz de é a matriz composta pela pelas coordenadas de de 1 e d2 e nós vamos multiplicá-la pelo vetor vê na base bem vejo que a matriz de matrí de transformação aplicada na base b então aqui 10 ora aqui multiplicando as matrizes eu tenho que fazer a primeira coordenada de 1 x 1 que vai da primeira coordenada de um mais a primeira coordenada de 2 x 0 que vai será na linha de baixo eu vou multiplicar a segunda coordenada do de um por um ea segunda do de 2 para 10 que vai ser a ou seja nós vamos ter aqui uma vez o de um mais 10 vezes o de 2 porque as coordenadas ele foram geradas 1 x 0 e isto então é simplesmente de um bem mas lembre se de que seu multiplicou matriz de por um certo retorno nas coordenadas da base b e obter a transformação aplicada a esse vetor representada na base b então aqui eu fiz o de multiplicando pelo vetor v1 na base b obtive isto aqui é o de um e isso não é nada mais nada menos que a transformação aplicada ao vitor vê um representada na base be veja retomando se eu tenho um certo vetor na base b multiplicado pela matriz mudança de eu vou obter a transformação aplicadas 'matriz representada na base b é o que eu fiz aqui de vez o ver uma base b é o velho tem como resultado a transformação aplicada ao g1 na base b e isso é igual ao t 1 veja então que a primeira coluna da matriz de r justamente a transformação aplicada ao vetor ver um que define a base com as coordenadas representadas na base b ora veja também que o vê um na base b é representada por 10 porque é uma vez o ver umas 10 vezes o v2 isto seria o padrão para base b análogo ao padrão das coordenadas padrão hora desta mesma maneira então nós facilmente podemos dizer que o v2g com as coordenadas representadas na base b é igual a 10 vezes o viu mais uma vez o v2 ou seja na base b ele eh 101 ele é zero vezes o primeiro mais uma vez o segundo essa ideia pode ser expressa de uma maneira geral pensando numa base com dimensão n1 certo vetor vamos chamar de vn numa outra base b ou numa certa base b vai ter naquela nova base as coordenadas todas com zeros exceto na enésima coordenar vez foram 25 a quinta coordenada aqui é o 1 essa aqui é a enésima coordenada ea gente chama o nosso chamamos isso de e e n o vetor dn que definir aquela base que vai ser um novo padrão não o vê um primeira coordenada 1 eo resto a 0 e 2 a primeira coordenadas é todas as opções eram a segunda 1 neste caso são só duas mais fácil de perceber fazendo raciocínio análogo agora para o v2 vamos lá o que é a matriz de aplicada ao ver dois representado na base b ora muito parecido com o que está acima a primeira coluna de de são as coordenadas do vetor de um certo vetor de 1 ea segunda um certo vetor de dois que serão multiplicadas pelo quem quer ver 2o e 2001 como comentado agora mesmo fazendo a multiplicação de matrizes nós vamos ter então primeira coordenada do de um vezes 00 mas a primeira de 2 vezes um vai dar um vai dar a primeira coordenada de 2.200 a primeira a segunda do de 1 x 0 0 as coordenadas de 10 ea segunda do d2 vai ser multiplicada por um então nós vamos ter aqui 0 vezes o de um mais uma vez o de 2 o que é simplesmente o de 2 o que nós estamos escrevendo aqui não é nada mais nada menos de novo do que a transformação aplicada ao ver dois representada na base b que é igual ao de 21 hora nós podemos reescrever a matriz de matriz de vai ser uma matriz a primeira coluna então são as coordenadas da transformação aplicada ao ver um representada na base b ea segunda coluna a transformação aplicada ao vetor v2 representada na base b essa é a matriz de e razoável você perceber que aqui estamos numa situação análoga à da matriz a a matriz de transformação na base padrão é transformar elbit bananas pelas colunas transformação aplicado o primeiro vetor transformação aplicado o segundo vetor e assim por diante se houvesse mais se fosse uma base com outra dimensão 345 aqui nós temos que a matriz de transformação para o vento os vetores com coordenadas na base b é composta pelas colunas com o a transformação a cada vetor aplicada a cada vetor na fase b representada na base b e o objetivo é ressaltando que aqui não é fácil trabalhar aqui certamente vai ser mais fácil trabalhar pelos aspectos que nós vimos lá atrás porque vamos fazer a reflexão sobre um dos eixos da do nosso sistema novo de coordenadas primeiro vamos estudar o que é então a transformação aplicada ao ver um vamos juntar a definição da transformação aqui temos este é o ver um ao aplicar a transformação em ver um nós obtivemos isso aqui que é o - v1 porque ele era perpendicular ao outro eixo que a reta l porém com o sentido oposto ou seja eu simplesmente tenho o mesmo entre aspas mesmo vetor com sentido oposto é significa colocar o sinal de menos na frente dele observa que as coordenadas são os opostos aqui e aqui vamos escrever isto aqui abaixo a transformação aplicada ao vetor um é igual simplesmente a menos o vetor de 1 hora então na base b a transformação cada um na base b tem que ser igual ao menos ver um representado a fase b e o que é o menos de 1 - v1 representado na base b é nada mais nada menos que menos uma vez o v 1 + 0 vezes o v2 em outras palavras o v 1 - v1 na base b é menos 10 nós olhamos aqui agora o que é a transformação aplicado ao ver dois voltar aqui v2v dois era aquele valor àquele vetor que definia a reta o v2 é esse vetor que está aqui é este aqui ao aplicar a transformação nele continuamos com ele mesmo porque nós temos que refletir em torno da reta se ele está sobre a reta ele continua naquele mesmo lugar ou seja a transformação aplicada ao ver dois resulta no próprio e 2 a transformação aplicada ao ver dois resulta no próprio v2 ora se isso acontece nas coordenadas da base padrão se eu passar tudo para base b também continua valendo porque a transformação tem que levar sempre o mesmo lugar de transformação de um vetor leva em outro seja em em qual base for tem que levaram mesmo a conclusão então é que a transformação aplicado v2 na base b é o próprio v2 que é o 01 e o que nós escrevemos aqui são as colunas da matriz de veja só estamos chegando a matriz de com estas informações aqui agora eu posso tranquilamente reescrever a matriz de definitivamente na primeira coluna as coordenadas da transformação aplicada ver um representado na base b que é simplesmente - 10 - 10 e na segunda coluna 101 que nós já tínhamos lá 0 essa é a matriz de de transformação para os vetores com representação na base b veja que é bem simples de trabalhar com essa matriz mas lembra o nosso objetivo é obter a matriz a de transformação na base padrão nós queremos obter uma tristesa para obter a matriz a nós vamos usar então esta fórmula aqui e para ela nós vamos precisar além da matriz de que nós já conhecemos vamos precisar da matriz e de mudança de base e da sua inversa vamos nos lembrar o que é a matriz e de mudança de base a matriz e de mudança de base é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores que definem aquela base alternativa nesse caso chamada de base b descrevê la aqui embaixo a matriz e é igual a as colunas são definidas pelo v1 e v2 que são os vetores que definem a base alternativa então 2 - 1 1 2 1 2 -1 12 essa é a matriz c precisamos também de inversa da matriz e para achar a inversa da matriz e vamos precisar do determinante da matriz c para achar o determinante da matriz e como aqui estamos com ordem 2 fica bem fácil vamos multiplicar a diagonal principal do g2 da 4a diagonal secundária menos 1 vez um dá menos um e fazer o primeiro resultado - o segundo ou seja 4 - - 1 e 4 mais um que dá cinco o determinante da matriz e é cinco aqui agora nós podemos obter facilmente a ser inversa usando o fato de que ela é igual a 1 sobre o determinante da matriz e multiplicando a matriz dos com fatores na ordem 2 é bem fácil nós copiamos o que temos ali 2002 na diagonal principal e na diagonal secundar a nós colocamos os opostos - um e mais um aqui esta é a matriz e inversa eu posso multiplicar todos os elementos por um quinto é entretanto vou trabalhar com os números inteiros aqui mantendo um quinto pra fora pra ficar mais fácil bem vamos obter então a matriz a esse é o nosso objetivo para obter a matriz a nós vamos usar então é esta fórmula aqui já temos tudo que precisamos a matriz a é igual à matriz c multiplicando a matriz de multiplicando inversa dc reescrevendo então nós vamos ter aqui a matriz e 21 - 12 e multiplicando a matriz de que está aqui e veja que se zeros vão facilitar a nossa vida multiplicando a matriz de menos 10 01 multiplicando a matriz c - uma inversa que é um quinto vezes o que temos lá 2 -1 12 agora temos que efetuar todos estes cálculos com muito cuidado vamos lá primeiro eu vou efetuar a multiplicação dessas duas matrizes aqui primeiro elemento da linha pelo primeiro da coluna segundo pelo segundo e somamos dois vezes - 1 - 2 1 vezes 00 somando temos menos dois agora a primeira linha segunda coluna segundo elemento segundo elemento 2001 vez 1 somando temos um agora segunda linha menos 1 vez menos 1 da 1 2 0 a 0 somando temos 1 e finalmente menos 10 02 vezes 12 somando temos dois e isto vai multiplicar o resto que temos ali vamos agora efetuar então esta nova multiplicação observe que este um quinto posso tranquilamente trazê-lo aqui para frente e multiplicar os matrizes vamos lá então a mesma coisa vamos manter aqui um quinto multiplicando o resultado desta multiplicação das matrizes menos 2 vezes 2 - 41 vezes 1 da 1 - 4 + 1 - 3 depois menos 2 vezes menos 121 vezes 22 somando temos quatro agora um vezes 2 2 2 vezes 12 somando temos outra vez 41 vezes - 1 - 1 224 somando temos agora um triz finalmente chegamos a matriz a multiplicar todos os elementos por um quinto então a matriz a finalmente vai ser igual a um quinto vezes - 3 - três quintos um quinto vezes 414 quintos um quinto vezes quatro de novo quatro quintos e finalmente um quinto vezes 33 500 esta é a matriz a que nós procurávamos agora pouco é a matriz que faz a transformação acontecer como nós queríamos que é tomar um vetor e fazer com que ele seja refletido em torno daquela reta l que nós tínhamos aqui a matriz a nos dá essa transformação para vetores na base padrão observe então que queríamos uma matriz na base padrão porém era difícil trabalhar ali geometricamente falando mudamos a base para ficar mais natural propositadamente escolhemos um vetor que define a base coincidindo com o vetor que define a reta sobre a qual nós queremos fazer a reflexão em torno da qual queremos fazer a reflexão que era aqui e um outro vetor perpendicular a ele porque porque sendo esses dois vetores perpendiculares nós temos uma situação muito familiar dos eixos comparando com os eixos cartesianos e assim a matriz de mudança ou melhor dizendo a matriz de transformação é definida mais facilmente a partir da matriz que nós crescemos aqui de matriz de a base b e chegamos a matriz que da transformação na base padrão eu espero que você tenha percebido bastante a facilidade que a mudança de base pode trazer por enquanto é isso estou bastante até o próximo vídeo