Mudança nos sistemas de coordenadas para ajudar a encontrar uma matriz de transformação

RKA8JV - Vamos dizer que nós estamos trabalhando em R². Eu vou desenhar aqui os eixos. Vamos localizar aqui um certo vetor com as coordenadas [1, 2]. Teríamos 1 no primeiro eixo, 2 no segundo eixo, então, o vetor teria o extremo aqui. Este é o vetor [1, 2]. Vamos também definir uma certa reta indicada por "L", que é o conjunto de todos as possíveis multiplicações de um escalar "t" pelo vetor [1, 2] que já está desenhado lá, sendo "t" um número real qualquer. Ou seja, nós estamos multiplicando "t" por todos os números reais possíveis, e isso vai, simplesmente, tomar como base o vetor que nós já tínhamos aqui e prolongá-lo, compondo uma reta infinita naturalmente. Esta é a minha reta "L". Nós queremos agora, construir uma transformação linear que reflete em torno da reta "L". Por exemplo, se eu tiver um certo vetor aqui, essencialmente, o que eu quero que aconteça é que a transformação promova a reflexão em torno da reta "L". Vindo ortogonalmente, perpendicularmente à reta "L", eu teria como um espelho, o que me permitiria definir um outro vetor, que seria o resultado da transformação linear aplicada ao primeiro vetor, que é a reflexão em torno da reta "L". Vamos chamar este aqui de vetor "x" e aqui seria um vetor que é o resultado da transformação linear aplicada ao "x". Este seria o "t" aplicado a "x", "t" é a transformação linear. Para um outro exemplo, digamos que eu tenha um vetor ortogonal à reta "L". Para pegar um vetor ortogonal à reta "L", basta tomar este aqui, que define a reta "L" e trocar os elementos de lugar e deixar um deles negativo. Então por exemplo, eu poderia trocar o 2 com 1, deixar o 1 negativo, ou seja, o 2 menos 1, aqui seria um vetor perpendicular à reta "L". Vamos chamar este vetor de v₁, cujo as coordenadas, padrão, lógico, é [2, -1]. Veja. Se você fizer o produto escalar de v₁ por este vetor, você vai obter zero, 2 vezes 1, dá 2, -1 vezes 2, dá -2, somando tem zero. De fato, então, eu estou garantindo a perpendicularidade entre eles, dado que nenhum deles é zero. Se eu aplicar essa transformação que estou procurando no v₁, eu vou refleti-lo em torno da reta, ou seja, neste caso aqui, eu vou simplesmente ter este mesmo vetor. Quando refletido em torno da reta, eu vou tê-lo virado na mesma direção com sentido oposto, ou seja, aqui está este vetor, é simplesmente -v₁. Esta seria a transformação aplicada ao v₁. E aqui eu posso identificá-lo facilmente, então, pelas suas coordenadas, que seriam [-2, 1]. Eu ainda não sei qual é a matriz de transformação que provoca isso, inclusive é isso que estamos procurando, mas eu consigo saber as coordenadas pela propriedade dessa transformação que eu quero desenvolver. O que nós queremos definir, então, é uma transformação de R² em R², em que T(x) é a reflexão de qualquer vetor "x" em torno da reta "L". Teremos, então, que T(x) é igual a uma certa matriz "A", 2x2, porque estamos em R² para R² multiplicando o vetor "x". E esta matriz "A" é uma matriz 2x2. Na primeira coluna, eu tenho as coordenadas do vetor obtido com a transformação aplicada ao vetor [1, 0], que é o primeiro vetor que define a base padrão nas coordenadas em questão. A segunda coluna vai ser a mesma transformação aplicada ao vetor [0, 1], que é o segundo vetor que define a base padrão. E o que seria isso? Observe que a transformação aplicada ao vetor [1, 0], é o primeiro vetor aqui que define a base padrão. Refletindo em torno da reta amarela aqui, eu teria algo talvez assim. Por outro lado, o vetor [0, 1], que é o segundo vetor aqui, aplicando a transformação refletindo em torno da reta "L" eu teria um outro vetor, por exemplo, algo assim. Nós podemos, trabalhando com trigonometria, com a geometria toda, definir esta matriz de transformação a partir da base padrão. Entretanto, não é fácil trabalhar com ela desta forma. Esta transformação parece difícil de ser feita, de ser trabalhada, no nosso sistema padrão de coordenadas, mas nós estudamos e estamos estudando sistemas alternativos de coordenadas bases alternativas, e é o que nós vamos fazer para facilitar aqui. Uma base interessante, um sistema de coordenadas interessante para facilitar o nosso trabalho, neste caso, é justamente escolher um sistema em que um dos eixos de coordenadas seja a reta "L", que está aqui, e um vetor v₁ que é perpendicular a ela. Assim, eu tenho este novo sistema de eixos para os quais as coordenadas são mais facilmente trabalhadas nesta transformação, já que eu estaria fazendo a reflexão de um vetor em torno de um dos eixos que define a base. Isso, você vai ver, é mais fácil. Vamos trabalhar com isso. Vamos definir, então, uma base em que o primeiro vetor que a define é o v₁, [2, -1], e o segundo vetor que a define é este que estava aqui, o [1, 2] que define a reta. Desta forma, nós teríamos o primeiro eixo de coordenadas no nosso sistema coincidindo com a direção do v₁, e o segundo eixo coincidindo, justamente, com a direção da reta "L". E assim nós teremos uma forma mais natural de trabalhar com essa transformação. Para trabalhar com isso, vamos lembrar um diagrama que fizemos em vídeos anteriores que é o seguinte: se eu tenho um vetor "x" no sistema padrão de coordenadas, ao multiplicá-lo por uma certa matriz "A" de transformação, vou multiplicá-lo pela matriz "A", matriz de transformação na base padrão, eu vou obter a transformação aplicada ao vetor "x". isso tudo na base padrão, ou nas coordenadas padrão. Por outro lado, se eu multiplico o "x" pela inversa da matriz de mudança de base, eu obtenho o mesmo vetor "x", porém representado nas coordenadas de uma base alternativa, vamos chamar de "B". Tomando o vetor "x" representado na base "B", ao multiplicá-lo por uma outra matriz "D", eu chego na transformação aplicada a "x" na base "B", ou seja, eu desejo fazer a mesma transformação, só que usando as coordenadas do vetor em outra base, por isso, outra matriz para chegar ao mesmo vetor, que eu teria chegado antes aqui. Ainda temos uma outra informação que, se eu tenho a transformação aplicada a "x" e multiplico pela matriz inversa da mudança de base, eu chego na transformação aplicada a "x" representada nas coordenadas desta base alternativa. E vice-versa, eu posso fazer a volta multiplicando a transformação com as coordenadas da base "B" multiplicada pela matriz "C" de mudança de base. Vimos também que podemos relacionar as matrizes "D" e "A" através desta relação. A matriz "D" é a inversa da matriz mudança de base multiplicando a própria matriz "A", multiplicando a matriz de mudança de base. O que queremos, agora, é achar esta matriz "A", que é a matriz de transformação com respeito ao sistema padrão, a base padrão de coordenadas. Mas não é fácil, neste caso, de trabalhar com a transformação aplicada nas coordenadas padrão. Então que tal, usar uma outra base "B", como eu já comentei antes, definida por esses dois vetores, o v₁ e este outro vetor que define a reta, ou seja, a base "B" seria composta pelo vetor [2, -1] e pelo vetor [1, 2]. Então, neste novo mundo, a transformação é simplesmente uma reflexão em torno do segundo eixode coordenadas, o que seria equivalente ao eixo vertical no sistema cartesiano. Então, é provavelmente é mais fácil procurar "D", deve ser mais fácil obter a matriz "D", do que a matriz "A". Obtendo a matriz "D", rapidamente nós conseguimos chegar à matriz "A", e é isso que nós vamos fazer. Lembre-se de que para obter a matriz "A" basta multiplicar a matriz "C" de mudança de base pela matriz "D", pelo inverso da matriz "C". Para facilitar o nosso trabalho, vamos colocar nome nos vetores que definem a base. Vamos chamar aqui de v₁ e aqui de v₂. v₁ na verdade é o mesmo daqui, só estou colocando o nome de v₂ no outro vetor, que era o que definia a reta. Mas agora então, o que é o v₁ representado com as coordenadas na base "B"? Se você observar, o v₁, pensando que ele está na base "B", ou independente de qualquer base, ele é 1 vez o v₁ mais zero vezes o v₂. Veja que eu tenho que escrevê-lo como uma combinação linear dos vetores que definem a base, que são v₁ e v₂. Então, o v₁ na base "B" é representado simplesmente por [1, 0], 1 vez o primeiro vetor, zero vezes o segundo vetor. E o que é a matriz "D"? Lembre-se de que nós vamos primeiro procurar a matriz "D" para depois, usando esta fórmula, obter a matriz "A". Já que estamos em um espaço 2x2, a matriz "D" é uma matriz quadrada 2x2, e a primeira coluna é composta pelas coordenadas de um certo vetor d₁ e a segunda por um certo vetor, vamos chamar de d₂. Mas o que dá a matriz "D" multiplicando o vetor v₁ com as coordenadas na base "B"? Vamos lá. A matriz "D" é a matriz composta pelas coordenadas de d₁ e de d₂, e nós vamos multiplicá-la pelo vetor "v" na base "B". Veja que a matriz "D" é a matriz de transformação aplicada na base "B". Então aqui, [1, 0]. Ora, aqui, multiplicando as matrizes, eu tenho que fazer a primeira coordenada do d₁ multiplicando por 1, que vai dar a primeira coordenada do d₁, mais a primeira coordenada do d₂ multiplicando por zero, que vai zerar. Na linha de baixo, eu vou multiplicar a segunda coordenada do d₁ por 1 e a segunda do d₂ por zero, que vai zerar, ou seja, nós vamos ter aqui, 1 vez o d₁ + zero vezes o d₂, porque as coordenadas dele foram zeradas ao multiplicar por zero. E isto, então, é simplesmente d₁. Bem, mas lembre-se de que, se eu multiplico a matriz "D" por um certo vetor nas coordenadas da base "B", eu obtenho a transformação aplicada a esse vetor representada na base "B". Então aqui, eu fiz o "D" multiplicando pelo vetor v₁ na base "B", obtive isto aqui, o d₁, e isso não é nada mais nada menos que a transformação aplicada ao vetor v₁ representada na base "B". Veja, retomando. Se eu tenho um certo vetor na base "B" multiplicado pela matriz de mudança "D", eu vou obter a transformação aplicada a essa matriz representada na base "B", e é o que eu fiz aqui. "D" vezes o v₁ na base "B" tem como resultado a transformação aplicada ao v₁ na base "B", e isso é igual ao d₁. Veja então, que a primeira coluna da matriz "D" é justamente a transformação aplicada ao vetor v₁, que define a base, com as coordenadas representadas na base "B". Ora, veja também que o v₁ na base "B" é representado por [1, 0], porque é 1 vez o v₁ + zero vezes o v₂. Isto seria o padrão para a base "B". Análogo ao padrão das coordenadas padrão. Ora, desta mesma maneira, então, nós facilmente podemos dizer que o v₂ com as coordenadas representadas na base "B" é igual a zero vezes o v₁ + 1 vez o v₂, ou seja, na base "B" ele é [0, 1]. Ele é zero vezes o primeiro mais uma vez o segundo. Essa ideia pode ser expressa, de uma maneira geral, pensando em uma base com dimensão "n", um certo vetor, vamos chamar de "vn", em uma outra base "B", ou em uma certa base "B", vai ter naquela nova base, as coordenadas todas com zero, exceto na enésima coordenada. Veja, se for v₅, a quinta coordenada aqui, é o 1. Esta aqui é a enésima coordenada. A gente chama, ou nós chamamos isso, de eₙ, o vetor que definir aquela base que vai ser um novo padrão. Então, o v₁, a primeira coordenada é 1 e o resto é zero. v₂, a primeira coordenada é zero, todas as outras são zero, a segunda é 1. Neste caso, são só duas, mais fácil de perceber. Fazendo o raciocínio análogo, agora, para o v₂, vamos lá. O que é a matriz "D" aplicada ao v₂ representado na base "B"? Ora, muito parecido com o que está acima, a primeira coluna de "D" são as coordenadas de um certo vetor d₁, e a segunda, um certo vetor d₂, que serão multiplicadas pelo, quem é o v₂? O v₂ é o [0, 1], como comentado agora mesmo. Fazendo a multiplicação de matrizes, nós vamos ter, então, primeira coordenada do d₁ vezes zero, zerou, mais a primeira do d₂ vezes 1 vai dar 1, vai dar a primeira coordenada do d₂, melhor dizendo. A segunda do d₁ multiplicada por zero, zerou. Então as coordenadas do d₁ zeraram e a segunda do d₂ vai ser multiplicada por 1. Então, nós vamos ter aqui, zero vezes o d₁ mais 1 vez o d₂, o que é simplesmente o d₂. O que nós estamos escrevendo aqui não é nada mais nada menos, de novo, do que a transformação aplicada ao v₂ representada na base "B", que é igual ao d₂. Então, agora, nós podemos reescrever a matriz "D" A matriz "D" vai ser uma matriz. A primeira coluna, então, são as coordenadas da transformação aplicada ao v₁ representada na base "B", e a segunda coluna, a transformação aplicada ao vetor v₂ representada na base "B". Esta é a matriz "D". É razoável você perceber que aqui estamos em uma situação análoga a da matriz "A". A matriz de transformação na base padrão é obtida pelas colunas. Transformação aplicado ao primeiro vetor, transformação aplicado ao segundo vetor, e assim por diante se houvesse mais, se fosse uma base com outra dimensão, [3, 4, 5]. Aqui nós temos que a matriz "D" de transformação para os vetores com coordenadas na base "B" é composta pelas colunas com a transformação a cada vetor, aplicada a cada vetor, na base "B", representada na base "B". E o objetivo é, ressaltando que aqui não é fácil trabalhar, aqui certamente vai ser mais fácil trabalhar pelos aspectos que nós vimos lá atrás, porque vamos fazer a reflexão sobre um dos eixos do nosso sistema novo de coordenadas. Primeiro, vamos estudar o que é a transformação aplicada ao v₁. Vamos voltar à definição da transformação. Aqui temos: este é o v₁. Ao aplicar a transformação em v₁, nós obtivemos isto aqui que é o -v₁, porque ele era perpendicular ao outro eixo que é a reta "L", porém com sentido oposto. Ou seja, eu simplesmente tenho "o mesmo", o mesmo vetor, com sentido oposto. Significa colocar o sinal de menos na frente dele. Observe que as coordenadas são os opostos aqui e aqui. Vamos escrever isto aqui abaixo. A transformação aplicada ao v₁ é igual, simplesmente, a -v₁. Ora, então, na base "B", a transformação aplicada a v₁ na base "B" tem que ser igual ao -v₁, representado na base "B". E o que é o -v₁ representado na base "B"? É nada mais nada menos que menos uma vez o v₁ mais zero vezes o v₂. Em outras palavras, o -v₁ na base "B" é [-1, 0]. Então, nós olhamos aqui. Agora, o que é a transformação aplicada ao v₂? Vamos voltar aqui. O v₂ era aquele vetor que definia a reta. O v₂ é este vetor que está aqui, é este aqui. Ao aplicar a transformação nele, continuamos com ele mesmo, porque nós temos que refletir em torno da reta, se ele está sobre a reta, ele continua naquele mesmo lugar, ou seja, a transformação aplicada ao v₂ resulta no próprio v₂. Ora, se isso acontece nas coordenadas da base padrão, se eu passar tudo para a base "B", também continua valendo porque a transformação tem que levar sempre ao mesmo lugar. Transformação de um vetor leva em outro, seja em em qual base for, tem que levar ao mesmo. A conclusão, então, é que a transformação aplicado ao v₂ na base "B" é o próprio v₂, que é o [0, 1]. E o que nós escrevemos aqui são as colunas da matriz "D". Veja só, estamos chegando à matriz "D". Com estas informações aqui, agora, eu posso tranquilamente reescrever a matriz "D" definitivamente. Na primeira coluna, as coordenadas da transformação aplicada ao v₁ representado na base "B", que é simplesmente [-1, 0]. E na segunda coluna, o [0, 1] que nós já tínhamos lá. [0, 1]. Esta é a matriz "D" de transformação para os vetores com representação na base "B". Veja que é bem simples de trabalhar com esta matriz. Mas lembre-se, o nosso objetivo é obter a matriz "A" de transformação na base padrão, nós queremos obter a matriz "A". Para obter a matriz "A", nós vamos usar, então, esta fórmula aqui, e para ela, nós vamos precisar, além da matriz "D" que nós já conhecemos, vamos precisar da matriz "C" de mudança de base e da sua inversa. Vamos nos lembrar. O que é a matriz "C" de mudança de base? A matriz "C" de mudança de base é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores que definem aquela base alternativa, neste caso, chamada de base "B". Vamos escrevê-la aqui embaixo. A matriz "C" é igual a, as colunas são definidas pelo v₁ e v₂, que são os vetores que definem a base alternativa, então [2, -1, 1, 2]. Esta é a matriz "C". Precisamos também da inversa da matriz "C". Para achar a inversa da matriz "C", vamos precisar do determinante da matriz "C". Para achar o determinante da matriz "C", como aqui estamos com ordem 2, fica bem fácil. Vamos multiplicar a diagonal principal, 2 vezes 2 dá 4, a diagonal secundária, -1 vezes 1 dá -1, e fazer o primeiro resultado menos o segundo, ou seja, 4 -(-1) é 4 + 1, que dá 5. O determinante da matriz "C" é 5. Ok, agora nós podemos obter facilmente a "C" inversa usando o fato de que ela é igual a 1 sobre o determinante da matriz "C" multiplicando a matriz dos cofatores, na ordem 2 é bem fácil, nós copiamos o que temos ali, 2 e 2 na diagonal principal e na diagonal secundaria nós colocamos os opostos, -1 e +1 aqui. Esta é a matriz e inversa. Eu posso multiplicar todos os elementos por 1/5, entretanto, vou trabalhar com os números inteiros aqui mantendo 1/5 para fora para ficar mais fácil. Bem, vamos obter, então, a matriz "A", esse é o nosso objetivo. Para obter a matriz "A", nós vamos usar, então, esta fórmula aqui, já temos tudo de que precisamos. A matriz "A" é igual à matriz "C" multiplicando a matriz "D" multiplicando a inversa de "C". Reescrevendo então, nós vamos ter aqui, a matriz "C", [2, 1, -1, 2], multiplicando a matriz "D", que está aqui, veja que estes zeros vão facilitar a nossa vida, multiplicando a matriz "D", [-1, 0, 0, 1], multiplicando a matriz "C⁻¹", a inversa, que é 1/5 vezes o que temos lá, [2, -1, 1, 2]. Agora, temos que efetuar todos estes cálculos com muito cuidado. Vamos lá. Primeiro, eu vou efetuar a multiplicação destas duas matrizes aqui. Primeiro elemento da linha pelo primeiro da coluna, segundo pelo segundo, e somamos. 2 vezes -1, dá -2. 1 vezes zero, dá zero, somando, temos -2. Agora, primeira linha, segunda coluna, segundo elemento, segundo elemento. 2 vezes zero, dá zero, 1 vezes 1, dá 1, somando, temos 1. Agora a segunda linha. -1 vezes -1 dá 1, 2 vezes zero é zero, somando temos 1. E finalmente, -1 vezes zero, dá zero, 2 vezes 1, dá 2, somando, temos 2. E isto vai multiplicar o resto que temos ali. Vamos, agora, efetuar então esta nova multiplicação. Observe que este 1/5 eu posso, tranquilamente, trazê-lo aqui para a frente e multiplicar as matrizes. Vamos lá então, mesma coisa. Vamos manter aqui 1/5 multiplicando o resultado desta multiplicação das matrizes . -2 vezes 2, dá -4, 1 vezes 1 dá 1, -4 + 1 = -3. Depois, -2 vezes -1 dá 2, 1 vezes 2 dá 2, somando, temos 4. Agora, 1 vezes 2, dá 2, 2 vezes 1, dá 2, somando temos outra vez 4. 1 vezes -1 é -1, 2 vezes 2, é 4, somando, temos agora 3. Finalmente, chegamos à matriz "A". Vou multiplicar todos os elementos por 1/5. Então a matriz "A", finalmente, vai ser igual a, 1/5 vezes -3, -3/5, 1/5 vezes 4, 4/5, 1/5 vezes 4, de novo, 4/5, e finalmente, 1/5 quinto vezes 3, 3/5. Esta é a matriz "A" que nós procurávamos há pouco. É a matriz que faz a transformação acontecer como nós queríamos, que é tomar um vetor e fazer com que ele seja refletido em torno daquela reta "L" que nós tínhamos aqui. A matriz "A" nos dá essa transformação para vetores na base padrão. Observe então que, queríamos uma matriz na base padrão, porém, era difícil trabalhar ali geometricamente falando. Mudamos a base para ficar mais natural. Propositadamente, escolhemos um vetor que define a base coincidindo com o vetor que define a reta sobre a qual nós queremos fazer a reflexão, em torno da qual queremos fazer a reflexão, que era aqui. E um outro vetor perpendicular a ele, por quê? Porque, sendo esses dois vetores perpendiculares, nós temos uma situação muito familiar dos eixos comparando com os eixos cartesianos. E assim, a matriz de mudança, ou melhor dizendo, a matriz de transformação, é definida mais facilmente a partir da matriz que nós escrevemos aqui, "D", matriz "D" para a base "B", e chegamos à matriz que dá a transformação na base padrão. Eu espero que você tenha percebido bastante a facilidade que a mudança de base pode trazer. Por enquanto é isso. Estude bastante. Até o próximo vídeo!