Matriz de transformação com relação a uma base

RKA4JL - Vamos dizer que nós temos uma transformação linear de Rⁿ em Rⁿ. Neste caso, o domínio é Rⁿ e o contradomínio é Rⁿ também. Esta transformação T vai mapear um certo vetor x, digamos que eu tenha um certo vetor x no domínio, e essa transformação T vai mapear um outro vetor, que vamos chamar de T(x). Então T(x) é a imagem a partir da transformação aplicada a x no domínio. Nós também sabemos que T aplicado a x, a transformação linear aplicada a x no domínio, é igual a uma certa matriz que nós vamos chamar de “A” multiplicando o vetor x. Então sabemos que isto aqui é igual a uma certa matriz A multiplicando o vetor x. Nós dizemos que A é a matriz de transformação para T. Nós estudamos em vídeos anteriores que podemos representar um vetor em uma outra base, em um outro sistema de coordenadas. Neste caso aqui estamos assumindo que o vetor x está representado na base padrão. Suas coordenadas estão em respeito à base padrão. Dessa maneira, então, a matriz A é a matriz de transformação para T se o vetor x está com as coordenadas representadas na base padrão. Ou podemos dizer também que A é a matriz de transformação para T com respeito, ou em relação, à base padrão. Antes de estudarmos diferentes bases e diferentes sistemas de coordenadas, esta parte que eu fiz em rosa seria desnecessária, mas agora sabemos que um vetor pode ser representado em diferentes bases com diferentes sistemas de coordenadas. Vamos agora pensar que nós temos uma base B composta por n vetores linearmente independentes. A base B é composta pelos vetores v₁, v₂, etc, até o vₙ, n vetores linearmente independentes. Veja que estamos em Rⁿ e eu estou falando de uma base com n vetores, então esta base gera Rⁿ de modo que, então, B é uma base em Rⁿ, ou seja, qualquer vetor em Rⁿ pode ser representado como uma combinação linear de v₁, v₂ até vₙ. Então, naturalmente, o vetor x que nós temos aqui, que é representado em relação ao sistema padrão, ou à base padrão, ou com as coordenadas na base padrão é o mesmo vetor que pode ser representado com respeito à certa base B que nós temos aqui. Ora, se ele passar por uma certa transformação e chegar neste outro vetor, este novo vetor aqui também é, pode ser representado, melhor dizendo, na base B. Então este mesmo ponto que está aqui pode ser representado como T(x), transformação aplicada a x, porém representada na base B. Retomando, eu tinha um certo vetor x, apliquei a ele uma transformação T e obtive um certo o mapeamento T(x). Isso tudo nas coordenadas padrão. Entretanto, e se eu tiver uma situação particular com o vetor x representado nas coordenadas da base B e eu quiser chegar nesse mesmo vetor que eu tenho aqui, mas representado também com as coordenadas na base B, o que deve acontecer daqui para cá? Veja que se eu tenho um certo vetor e aplico a transformação T, eu tenho que chegar no mesmo vetor, não importa qual seja a transformação. Ela vai levar sempre deste ponto até este ponto, ou seja, estando ou não em um sistema de coordenadas diferentes, a transformação T vai levar o mesmo vetor para o mesmo vetor transformado. A transformação T tem que pegar o vetor nas coordenadas, com as coordenadas da base B, e levar para o mesmo vetor que nós temos aqui no contradomínio, porém escrito com as coordenadas na base B. O que nós podemos esperar é que, talvez, a matriz que vamos utilizar para multiplicar o vetor x com as coordenadas na base B e chegar à transformação no contradomínio seja diferente, ou seja, podemos esperar que talvez tenhamos o seguinte: para obter a T(x) com as coordenadas na base B, nós precisemos de uma outra matriz, que vou chamar de D, multiplicando o vetor x com as coordenadas na base B. Neste caso aqui D seria a matriz de transformação para T com respeito à base B, agora. Com respeito a, ou na base, B. Resumindo, para aplicar a transformação T com o vetor escrito na base padrão eu o multiplico pela matriz A e chego à transformação procurada. Entretanto, aplicando a mesma transformação, porém com o vetor representado na base B, nós precisamos multiplicá-lo por outra matriz, que eu chamei de D, para chegar no mesmo ponto, no mesmo vetor de antes, porém representado com as coordenadas na base B. A questão é: Qual é a relação entre D e A, que são as matrizes de transformação na base padrão e na base B dada? Lembre-se de que nós estudamos em vídeos anteriores que existe uma matriz de mudança de base para representar um vetor, dado na base padrão, em uma base B dada. Essa matriz de mudança de base era a matriz quadrada C cujas colunas são os vetores v₁, v₂ e v₃ da base B que nós temos aqui. Então a primeira coluna são todas as coordenadas do vetor v₁, a segunda coluna são todas as coordenadas do vetor v₂ e assim por diante até, neste caso, o vetor vₙ e todas as coordenadas dele na última coluna. Nós vimos também nos últimos vídeos que neste caso em que a matriz é quadrada, como v₁, v₂ até vₙ são linearmente independentes e a matriz é quadrada, então nós garantirmos que a matriz C, essa matriz C, tem inversa. Ela é invertível. Nós vimos também que se tivermos um certo vetor x representado em relação a uma base B, ao multiplicá-lo pela matriz de mudança de base, neste caso, C, nós obtemos o vetor x com as coordenadas na base padrão. De maneira análoga, nós podemos fazer a volta, ou seja, se eu tiver o vetor x com as coordenadas na base padrão e multiplicá-lo pela inversa da matriz C, o que nós vamos obter é o vetor x representado com as coordenadas na base B. Nós queremos, então, achar uma relação entre A e D. Vamos retomar aqui esta informação. D multiplicando x representado na base B é igual ao T(x), transformação aplicada a x, representada na base B. Mas o que é T(x)? T(x) é exatamente a matriz A aplicada (ou melhor dizendo, multiplicada) pelo vetor x na base padrão. Reescrevendo esta igualdade, então, D multiplicando o vetor x representado na base B é igual a... Eu vou trocar o T(x) justamente pela matriz A multiplicando o vetor x na coordenada padrão. Isso dá um resultado, um vetor resultado, que estará representado na base B. Mas o que temos aqui é algo que já estava escrito. Veja só: aqui temos A, x tudo isso representado na base B, que pode ser entendido como isso. Aqui eu só tenho x representado na base B, mas esta ideia de transformar isso nisto é válida independente do que temos aqui. É um vetor qualquer. Quero dizer o seguinte: o vetor D... Desculpe, a matriz D multiplicando o vetor x representado na base B é igual a... Tudo isto aqui é equivalente... Está parecido com o que você vê aqui. Se isto é igual a C⁻¹ multiplicado por x, então aqui nós podemos trocar isso tudo por C -1 multiplicando Ax. Veja: isso é o que estava no lugar do x aqui, então se aqui é C⁻¹ multiplicando x, aqui é C⁻¹ multiplicando Ax. Seguindo adiante, vamos pensar um pouco mais no seguinte: temos aqui C⁻¹ multiplicando Ax, mas o que é o vetor x? Voltando, o vetor x é a matriz de mudança de base multiplicando o vetor x representado na base B. Então vamos escrever desta forma: vou trocar x por isso aqui. Então aqui eu vou ter C multiplicando o vetor x representado na base B. Agora esta expressão nos permite concluir algo bem interessante: aqui temos x representado com as coordenadas da base B, aqui também, e aqui temos uma igualdade. Ora, dada que esta igualdade é válida, então D é equivalente a C⁻¹ AC. A conclusão que temos, então: D é igual à inversa da matriz mudança de base multiplicando a matriz A da transformação na base padrão multiplicando a matriz C base. E assim eu consigo estabelecer uma relação entre a matriz de mudança, perdão, a matriz de transformação na base não padrão e a matriz de transformação com o vetor escrito nas coordenadas da base padrão. Vamos retomar um pouquinho tudo o que aconteceu. Eu tenho um certo vetor x na base padrão. Aplicando uma transformação eu obtenho um novo vetor, que é o vetor x com a transformação aplicada para ele, T(x). E essa transformação é definida pela multiplicação de uma matriz A pelo vetor x que eu tinha aqui. Então a transformação leva deste ponto a este ponto aqui. Eu quero fazer a mesma coisa, ou seja, vou aplicar a mesma transformação, porém representando o vetor, os vetores envolvidos em uma outra base B. Ora, eu tinha esse ponto, vou aplicar uma transformação para o vetor representado na base B e vou chegar na transformação, porém em respeito à base B. Isso significa que para sair daqui até aqui eu preciso de uma outra matriz que multiplique o vetor x na base B e chegue na transformação de x, essa matriz é matriz D. Se D multiplicando x na base B é igual ao T(x) representado na base B e o T(x) é Ax, eu substituí, apliquei estas duas informações que são bastante importantes na mudança de base e cheguei a esta conclusão. Finalizando, se D é a matriz de transformação para T, para a transformação T na base D, C é a matriz de mudança de base entre a base padrão e a base B dada e A é a matriz de transformação na base padrão para T, para a formação T na base padrão, se essas três coisas acontecem, então nós podemos concluir algo extremamente importante e útil: D, que é a matriz de transformação na base B, é igual a C⁻¹ AC, sendo C a matriz de mudança de base e A a matriz de transformação na base padrão. Assim eu consigo, de maneira rápida, transformar, ou melhor dizendo, aplicar uma transformação, a mesma transformação tanto na base padrão quanto em uma outra base B que foi dada. A é a matriz de transformação na base padrão, D é a matriz de transformação na base B dada e eu consigo transitar entre as duas com a relação desse vídeo que é bastante útil. Por ora é isso. Até o próximo vídeo!