Matriz de transformação com relação a uma base

vamos dizer que nós temos uma trama formação de linear de r 100 mi o iene neste caso o domínio rl e o contra o domínio o rn também essa transformação te vai mapear uns o vetor x digamos que eu tenho certo vetor x um domínio e essa transformação te vai mapear um outro vetor vamos chamar de t x então tdx é a imagem a partir da transformação aplicada à x no domínio nós também sabemos que terá aplicada x transformação linear aplicada x domínio é igual a uma certa matriz que nós vamos chamar de a multiplicando o vetor x então sabemos que isto aqui é igual a uma certa má trisa multiplicando vetor x nós dizemos que há é a matriz de transformação para ter e nós estudamos em vídeos anteriores que podemos representar um vetor em uma outra base em um outro sistema de coordenadas nesse caso aqui estamos assumindo que o vetor x está representado na base padrão em respeito às suas coordenadas estão em respeito à base padrão dessa maneira então a matriz a é a matriz de transformação para te se o vetor x está com as coordenadas representadas na base padrão ou dizemos também que a matriz de transformação para te com respeito ou em relação a base padrão antes disto darmos diferentes bases diferentes sistemas de coordenadas esta parte que eu fiz em rosa seria desnecessária mas agora nós sabemos que um vetor pode ser representado em diferentes bases com diferentes sistemas de coordenadas vamos agora pensar que nós temos uma base b composta por n vetores linearmente independentes a base b é composta pelos setores v1 em v2 etc terá até o vnn vetores linearmente independentes veja que estamos em rn e eu estou falando de uma base com ele e vetores então esta base gera rn de modo que então b é uma base em rn ou seja qualquer vetor e rn apresentado como uma combinação linear de ver um v2 a tvn então naturalmente o vetor x que nós temos aqui e representado em relação ao sistema padrão ou a base padrão ou com as coordenadas na base padrão é o mesmo vetor que pode ser representado com respeito à certa base b que nós temos aqui ora se ele passar pelas euro por uma certa transformação e chegar neste outro vetor este novo vetor aqui também é pode ser representado melhor dizendo na base be então este mesmo ponto que está aqui pode ser representado como tdx transformação aplicada x porém representada na base b&b retomando então eu tinha um certo vetor x apliquei a ele uma transformação te obtive um certo o mapeamento aqui desde x isso tudo nas coordenadas padrão entretanto e se eu tiver uma situação particular com o vetor x representado nas coordenadas da base b e eu quero chegar nesse mesmo vetor que eu tenho aqui mais representado também com as coordenadas na base b o que deve acontecer daqui pra cá veja que se eu tenho um certo vetor e aplico a transformação t eu tenho que chegar no mesmo vetor não importa qual seja a transformação ela vai entrar sempre deste ponto até este ponto ou seja estando ou não em um sistema de coordenadas diferentes a transformação te vai levar o mesmo vetor para o mesmo vetor transformado a transformação t tem que pegar o trânsito o vetor nas coordenadas com as coordenadas da base b e levar para o mesmo vetor que nós temos aqui no condomínio porém é escrito com as coordenadas na base b o que nós podemos esperar que talvez a matriz que vamos utilizar para multiplicar o vetor x com as coordenadas na base b e chegar à transformação no contra o domínio seja diferente ou seja podemos esperar que talvez tenhamos o seguinte para obter a rede x com as coordenadas na base b nós precisamos de uma outra matriz que eu vou chamar de d multiplicando o vetor x com as coordenadas na base b neste caso aqui de seria a matriz a formação para ter com respeito à base b agora com respeito na base b com respeito à base b resumindo então para aplicar a transformação t com o vetor escrito na base padrão eu multiplico pela matriz a e chego a transformação procurada entretanto aplicando a mesma transformação porém com o vetor representado na base b nós precisamos multiplicá lo por outra matriz que eu chamei que dê para chegar no mesmo ponto no mesmo vetor de antes porém representado com as coordenadas na base b ea questão é qual é a relação entre de ea que suas matrizes de transformação na base padrão na base pb dada lembre se de que nós estudamos em vídeos anteriores que existe uma matriz de mudança de base para representar um vetor dado na base padrão em uma base b dá essa matriz mudança de base era matriz quadradas e cujas colunas são os vetores ver um v2 e v3 da base b que nós temos aqui na primeira coluna são todas as coordenadas do vetor v1 a segunda coluna todas as coordenadas do vetor v 2 e assim por diante até neste caso o vetor vn todas as coordenadas dele na última coluna nós vimos também nos últimos vídeos que neste caso em que a matriz é quadrada é como ver um v2 e tvn são ligeiramente independentes da matriz é quadrada então nós garantirmos que a matriz e essa matriz e tem inversa é invertir viveu nós vimos também que xx representado em relação a uma base b ao multiplicar lo pela matriz de mudança de base neste caso se nós obtemos o vetor x com as coordenadas na base padrão de maneira análoga nós podemos fazer a volta ou seja se eu tiver o vetor x com as coordenadas na base padrão e multiplicá lo pela inversa da matriz e é o que nós vamos obter é o vetor x representado com as coordenadas na base b 2x na base b nós queremos então achar uma relação entre a e d vamos retomar aqui esta informação a d multiplicando o x representado na base b é igual ao tdx transformação aplicada x representada na base b mas o que é tdx o tx exatamente a matriz a aplicada ou melhor dizendo multiplicada pelo vetor x na base padrão reescrevendo esta igualdade então de multiplicando o vetor x representado na base b é igual a eu vou trocar o tx deixes justamente por ave matriz a multiplicando o vetor x na coordenada padrão isso dá um resultado um vetor resultado que estará representado na base b bem mas o que temos aqui estava escrito veja só aqui temos o a x tudo isso representado na base b que pode ser entendido como isso aqui eu só tenho x apresentava base b mas é esta idéia de transformar isso nisto é válida independente do que temos aqui um vetor qualquer quero dizer o seguinte o vetor de mudes culpe a matriz de multiplicando o vetor x representado na base b é igual tudo isto aqui é equivale e está parecido o que você vê aqui se isto é igual à ce - 1 x x então aqui aqui nós podemos trocar isso tudo por sermos menos um multiplicando a x ashes veja isso aqui eu que estava no lugar do xis aqui então se aquecer -1 multiplicando x aquecemos multiplicando a x seguindo adiante vamos pensar um pouco mais o seguinte temos aqui c - um x a x mas o que é o vetor x voltando aqui o vetor x é a matriz de mudança de base multiplicando o vetor x representado na base b então vamos escrever desta forma vou trocar o x por isso aqui não aqui eu vou ter se multiplicando o vetor x representado na base b e agora esta expressão nos permite concluir algo bem interessante veja aqui temos o x representado com as coordenadas da base b e aqui também aqui temos uma igualdade hora da dac esta igualdade é válida então de é equivalente a ser menos um a z a conclusão que temos então de é igual a inversa da matriz mudança de base multiplicando pela matriz da transformação na base padrão multiplicando a matriz e base e assim eu consigo estabelecer uma relação entre a matriz de mudança perdão a matriz de transformação na base não padrão ea matriz de transformação com o vetor escrito nas coordenadas da base padrão vamos retomar um pouquinho que o que é com tudo que aconteceu eu tenho um certo vetor x na base padrão aqui aplicando uma transformação e obtenha um novo vetor que é o vetor x com a transformação aplicado para ele te deixes e essa transformação é definida pela multiplicação de uma matriz a pelo vetor x que eu tinha aqui então a transformação leva deste ponto a este ponto aqui bem eu quero fazer a mesma coisa ou seja vou aplicar a mesma transformação porém representando o vetor os setores envolvidos numa outra base b ora eu tinha esse ponto eu vou aplicar uma transformação para o victor representado na base b e vou chegar na transformação porém em respeito à base b isso significa que para eu sair daqui até aqui eu preciso de uma outra matriz e multiplique o vetor x na base b e chega na transformação de x essa matriz é matriz de hora se de multiplicando x na base b é igual ao tdx representado na base b e o td x é o ashes eu substituir apliquei estas duas informações que são bastante importantes na mudança de base e cheguei a esta conclusão finalizando se b é a matriz de transformação para te para transformação te na base b e sema triz de mudança de base quase padrão ea base be dada ea é a matriz de transformação na base padrão para te a formação te na base padrão se essas três coisas acontecem então nós podemos concluir algo extremamente importante e útil de que a matriz a ação na base b é igual a ser menos 11 aces em duz e à matriz de mudança de base à a matriz de transformação na base padrão assim eu consigo de maneira rápida transformar ou melhor dizendo aplicar uma transformação a mesma transformação tanto na base padrão quanto numa outra base b que foi dada a é a matriz de transformação na base padrão de é a matriz de transformação na base b dada e eu consigo transitar entre as duas com a relação desse vídeo que é bastante útil por ora isso até o próximo vídeo