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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 3
Lição 3: Mudança de base- Coordenadas com relação a uma base
- Matriz de mudança de base
- Matriz de mudança de base inversível
- Matriz de transformação com relação a uma base
- Exemplo de matriz de transformação de base alternativa
- Exemplo de matriz de transformação de base alternativa - parte 2
- Mudança nos sistemas de coordenadas para ajudar a encontrar uma matriz de transformação
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Matriz de mudança de base
Usando uma matriz de mudança de base para nos levar de um sistema de coordenadas para outro. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - Vamos supor
que temos uma base B composta pelos vetores v₁, v₂,
e assim por diante até o vₖ. Vamos considerar,
também, um vetor "a" com as coordenadas na base B,
ou em respeito à base B, que seriam:
c₁, c₂, até cₖ. Escrever isto equivale
a dizer que o vetor "a", este vetor "a", é igual a c₁v₁,
mais c₂v₂, mais etc.,
até o cₖvₖ. Isto pode ser escrito
de uma outra forma. Vamos considerar
uma matriz "c", composta aqui pelas
coordenadas do vetor v₁, coordenadas do vetor v₂,
e assim por diante até as coordenadas
do vetor vₖ. Esta é uma matriz
com "n" linhas (porque cada vetor está dentro
de Rn, portanto, "n" componentes), por "k" colunas (porque nós temos "k" vetores, como nós
vemos aqui, que compõem a base B). Esta matriz que
nós temos aqui, estou repetindo
aqui abaixo, multiplicada pela matriz das coordenadas
do vetor "a" em respeito à base B, é igual a, simplesmente,
o vetor "a". É igual ao vetor "a".
Por quê? Ora, se você for tomar aqui,
na hora de fazer a primeira linha, multiplicando os elementos
desta coluna, vamos ter v₁ vezes c₁,
que é o que está aqui, mais o v₂ vezes c₂, que é o que
está aqui, e assim por diante, de maneira que isto é uma outra
forma de escrever o vetor "a". Simplificando um pouco
esta escrita, vamos lá. Podemos ver uma coisa: esta matriz
é a matriz que chamamos aqui de "C", matriz "C", que é composta
pelos vetores da base B. Cada coluna são as coordenadas
de cada vetor da base B. Multiplicada por esta aqui, esta aqui
são as coordenadas do vetor "a" em respeito à base B,
ou na base B. Então, nós podemos colocar isto
de maneira resumida assim. As coordenadas de "a"
em relação à base B. É igual a, simplesmente,
o vetor "a". Bem, isso tem uma
importância aqui porque, conhecendo "C", que é
a matriz composta pelos vetores da base, e conhecendo as coordenadas
de "a" em respeito à base B, nós temos facilmente como chegar
ao vetor "a" na base padrão. E muito mais coisas: se eu conhecer
o vetor "a", eu posso, sabendo a base, determinar as coordenadas do vetor "a"
em respeito àquela base, etc. E neste contexto, a matriz "C" é chamada
de matriz de mudança de base. Vamos a um exemplo, e isso
vai ficar mais claro para você. Digamos que eu
tenha aqui uma base, B, composta pelos
vetores v₁ e v₂, de maneira
que o v₁ é determinado por 1, 2, 3:
três dimensões aqui, e o v₂ é determinado
por 1, 0 ,1. Veja que um não é
combinação linear do outro. Vamos considerar
um vetor "a". Eu conheço apenas as coordenadas
dele na base B, em respeito à base B, que são
7 e -4. E a pergunta é: como é que eu posso
representar este vetor na base padrão, com as
coordenadas padrão? Ou seja, o vetor "a"
é igual a o quê? Neste caso, a matriz
de mudança de base "c" é igual àquela matriz
cujas colunas são as coordenadas dos
vetores que compõem a base. Então, neste caso: 1, 2, 3
e 1, 0, 1, que já temos aqui. Nós sabemos também que a matriz "C"
multiplicada pelo vetor "a" representado em
respeito à base B resulta no próprio
vetor "a". Trocando aqui as letras,
as representações, pelas respectivas
matrizes, nós teremos: a matriz 1, 2, 3;
1, 0, 1, que é a matriz "C", multiplicada pela matriz "A"
representada na base B. Matriz, não: vetor "a" representado
na base B, que é o 7, -4. Vai dar como
resultado o vetor "a". Vamos observar aqui
algo importante, que é o fato de que esta primeira matriz
é uma matriz de 3 linhas por 2 colunas, esta é uma matriz de
2 linhas por 1 coluna. Então, no resultado, teremos uma
matriz de 3 linhas e 1 coluna. 3 linhas e 1 coluna era o esperado,
porque o vetor "a" na base padrão é um vetor que
pertence a R³, já que, pelo que você observa aqui
no v₁ e no v₂, estamos em R³. "a" pertence
a R³. Muito bem, vamos resolver aqui
a multiplicação das matrizes. 1 vez 7 = 7, 1 vez -4 = -4,
7 - 4 = 3. Depois, na
segunda linha: 2 vezes 7 = 14,
0 vezes -4 = 0. Então, 14. E, finalmente, 3 vezes 7 = 21,
21 - 4 = 17. Vamos analisar um pouco,
graficamente, esta situação. Para começar, vamos
pensar no subespaço gerado pelos vetores v₁ e v₂
(o "span", como se diz), que seria um plano gerado
pelos vetores v₁ e v₂. Span [v₁, v₂]. Os vetores v₁ e v₂ estariam,
por exemplo, aqui. O v₁ aqui,
o v₂ aqui. E nós temos que
localizar o vetor "a", que, com coordenadas
na base B, tem 7 e -4. O que
isso significa? Significa que temos que pegar o vetor v₁,
que está aqui, multiplicá-lo por 7, e o vetor v₂, que está aqui,
multiplicá-lo por -4 (ou seja, ele vai vir
no outro sentido), e localizar, então,
esse novo vetor obtido. Temos aqui, considerando,
então, na direção do vetor v₁: uma vez, 2, 3,
4, 5, 6, 7. Na direção do
vetor v₂ aqui, multiplicar por -4 quer dizer
andar no outro sentido. Então: -1, -2,
-3, -4 vezes. Quer dizer que, agora, por exemplo,
se eu andar 7 vezes, ou andar 7 unidades aqui
na direção do vetor v₁, eu tenho que, na direção do vetor v₂,
me deslocar 4 para este sentido. Então, que seria a projeção
aqui: 1, 2, 3 e 4. Aqui eu teria o extremo
do meu vetor "a", localizado com base,
ou com respeito, à base B. O vetor estaria, por
exemplo, desta forma. Este seria
o vetor "a". A localização
que eu fiz dele é uma localização com respeito
à base B, a maneira de localizar. Agora, é o mesmo vetor
se eu pensar na base padrão. Só estou modificando a maneira
de escrever as suas coordenadas quando eu digo que está
em respeito à base B. Observe que o vetor "a"
também está no plano. O plano é
infinito aqui, em todas as
direções e sentidos. O vetor "a" também
está no plano, já que ele é uma combinação
linear dos dois vetores (v₁ e v₂). Fazendo o desenho
cuidadosamente no espaço, já que nas
três dimensões, nós conseguimos pelo menos
uma ideia representar, nós conseguiríamos localizar
perfeitamente o vetor "a", cujas coordenadas padrão
seriam 3, 14 e 17. Este aqui é
o vetor "a". Vamos tentar observar
agora um outro exemplo. Tentar observar
de uma outra forma. Vamos supor, agora, que nós
temos um vetor "d" conhecido, cujas coordenadas padrão
são 8, -6 e 2. E o "d" pertence a
um subespaço (a um span) gerado pelos vetores v₁ e v₂,
que nós já definimos acima. E a pergunta é: quais são
as coordenadas do vetor "d" em relação
à base B? Àquela mesma base B
que nós já tínhamos, que era definida
pelos vetores v₁ e v₂. Quais são as coordenadas
de "d" em respeito à base B? Nós já sabemos que a matriz
de mudança de base "C", multiplicada pelo vetor "d"
em respeito à base B, resulta exatamente
no vetor "d". A matriz de mudança de base é a mesma
que nós já tínhamos anteriormente aqui, que é composta
pelos vetores v₁ e v₂. Então, escrevendo-a
novamente aqui, nós temos: matriz "C" é 1, 2, 3;
1, 0, 1. Multiplicando justamente "d"
em respeito à base B, tem que ser igual ao vetor "d"
nas coordenadas tradicionais, que nós já sabemos aqui
que é 8, -6 e 2. E o que nós queremos
saber é exatamente quais são as coordenadas do vetor "d"
em respeito à base B, ou seja, vamos colocar aqui c₁ e c₂ como sendo
as suas componentes, as suas coordenadas. O que temos aqui nada mais é que uma
equação matricial que vai nos gerar um sistema de equações com
duas incógnitas relativamente simples. Vamos trabalhar
com ele. Eu vou, então, efetuar
a multiplicação das matrizes. Lembre-se: primeira linha,
todos multiplicam cada termo da segunda coluna
e somamos, ou seja: 1 vezes c₁,
mais 1 vezes c₂, vamos ter c₁ + c₂ igual ao primeiro
elemento da outra matriz, que é 8. Depois:
2c₁ + 0c₂ igual ao segundo
elemento: -6. Finalmente,
3c₁ + 1c₂ igual a 2. Bem, olhando para este
sistema, não é tão difícil. Na segunda equação aqui, nós já
podemos concluir facilmente que c₁ = -3. Substituindo -3 no lugar do c₁,
por exemplo aqui na primeira equação, Facilmente nós
concluímos que c₂ = 11. -3 no lugar
do c₁: -3 + 11 = 8.
c₂ é 11. Observe que a terceira
equação não foi usada, mas ela tem que funcionar
com estes valores, senão, há uma
inconsistência aqui. E, de fato, testando:
3 vezes c₁ é 3 vezes -3, que dá -9. Mais o c₂, que é 11,
isso dá igual a 2. Ok. Nosso sistema está consistente
e a resolução está correta. A solução é
consistente para nós. Reescrevendo, então,
esta expressão, nós temos: 1, 2, 3;
1, 0, 1 multiplicando por: -3, 11 tem que ser igual ao vetor
[8, -6, 2]. Assim nós conseguimos, então,
obter as coordenadas do vetor "d" com respeito
à base B. O vetor "d" em relação à base B,
com respeito à base B, tem as coordenadas:
-3, 11. E outras palavras, podemos também
escrever que o vetor "d" é igual a
-3 vezes v₁, mais 11
vezes v₂. O importante neste momento
é você verificar que, usando esta ideia da matriz
de mudança de bases, nós facilmente conseguimos transitar
entre as coordenadas de um vetor em respeito a uma
certa base B conhecida, e também em respeito à base padrão,
às coordenadas padrão. Até o próximo vídeo!