Matriz de mudança de base

RKA2JV - Vamos supor que temos uma base B composta pelos vetores v₁, v₂, e assim por diante até o vₖ. Vamos considerar, também, um vetor "a" com as coordenadas na base B, ou em respeito à base B, que seriam: c₁, c₂, até cₖ. Escrever isto equivale a dizer que o vetor "a", este vetor "a", é igual a c₁v₁, mais c₂v₂, mais etc., até o cₖvₖ. Isto pode ser escrito de uma outra forma. Vamos considerar uma matriz "c", composta aqui pelas coordenadas do vetor v₁, coordenadas do vetor v₂, e assim por diante até as coordenadas do vetor vₖ. Esta é uma matriz com "n" linhas (porque cada vetor está dentro de Rn, portanto, "n" componentes), por "k" colunas (porque nós temos "k" vetores, como nós vemos aqui, que compõem a base B). Esta matriz que nós temos aqui, estou repetindo aqui abaixo, multiplicada pela matriz das coordenadas do vetor "a" em respeito à base B, é igual a, simplesmente, o vetor "a". É igual ao vetor "a". Por quê? Ora, se você for tomar aqui, na hora de fazer a primeira linha, multiplicando os elementos desta coluna, vamos ter v₁ vezes c₁, que é o que está aqui, mais o v₂ vezes c₂, que é o que está aqui, e assim por diante, de maneira que isto é uma outra forma de escrever o vetor "a". Simplificando um pouco esta escrita, vamos lá. Podemos ver uma coisa: esta matriz é a matriz que chamamos aqui de "C", matriz "C", que é composta pelos vetores da base B. Cada coluna são as coordenadas de cada vetor da base B. Multiplicada por esta aqui, esta aqui são as coordenadas do vetor "a" em respeito à base B, ou na base B. Então, nós podemos colocar isto de maneira resumida assim. As coordenadas de "a" em relação à base B. É igual a, simplesmente, o vetor "a". Bem, isso tem uma importância aqui porque, conhecendo "C", que é a matriz composta pelos vetores da base, e conhecendo as coordenadas de "a" em respeito à base B, nós temos facilmente como chegar ao vetor "a" na base padrão. E muito mais coisas: se eu conhecer o vetor "a", eu posso, sabendo a base, determinar as coordenadas do vetor "a" em respeito àquela base, etc. E neste contexto, a matriz "C" é chamada de matriz de mudança de base. Vamos a um exemplo, e isso vai ficar mais claro para você. Digamos que eu tenha aqui uma base, B, composta pelos vetores v₁ e v₂, de maneira que o v₁ é determinado por 1, 2, 3: três dimensões aqui, e o v₂ é determinado por 1, 0 ,1. Veja que um não é combinação linear do outro. Vamos considerar um vetor "a". Eu conheço apenas as coordenadas dele na base B, em respeito à base B, que são 7 e -4. E a pergunta é: como é que eu posso representar este vetor na base padrão, com as coordenadas padrão? Ou seja, o vetor "a" é igual a o quê? Neste caso, a matriz de mudança de base "c" é igual àquela matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores que compõem a base. Então, neste caso: 1, 2, 3 e 1, 0, 1, que já temos aqui. Nós sabemos também que a matriz "C" multiplicada pelo vetor "a" representado em respeito à base B resulta no próprio vetor "a". Trocando aqui as letras, as representações, pelas respectivas matrizes, nós teremos: a matriz 1, 2, 3; 1, 0, 1, que é a matriz "C", multiplicada pela matriz "A" representada na base B. Matriz, não: vetor "a" representado na base B, que é o 7, -4. Vai dar como resultado o vetor "a". Vamos observar aqui algo importante, que é o fato de que esta primeira matriz é uma matriz de 3 linhas por 2 colunas, esta é uma matriz de 2 linhas por 1 coluna. Então, no resultado, teremos uma matriz de 3 linhas e 1 coluna. 3 linhas e 1 coluna era o esperado, porque o vetor "a" na base padrão é um vetor que pertence a R³, já que, pelo que você observa aqui no v₁ e no v₂, estamos em R³. "a" pertence a R³. Muito bem, vamos resolver aqui a multiplicação das matrizes. 1 vez 7 = 7, 1 vez -4 = -4, 7 - 4 = 3. Depois, na segunda linha: 2 vezes 7 = 14, 0 vezes -4 = 0. Então, 14. E, finalmente, 3 vezes 7 = 21, 21 - 4 = 17. Vamos analisar um pouco, graficamente, esta situação. Para começar, vamos pensar no subespaço gerado pelos vetores v₁ e v₂ (o "span", como se diz), que seria um plano gerado pelos vetores v₁ e v₂. Span [v₁, v₂]. Os vetores v₁ e v₂ estariam, por exemplo, aqui. O v₁ aqui, o v₂ aqui. E nós temos que localizar o vetor "a", que, com coordenadas na base B, tem 7 e -4. O que isso significa? Significa que temos que pegar o vetor v₁, que está aqui, multiplicá-lo por 7, e o vetor v₂, que está aqui, multiplicá-lo por -4 (ou seja, ele vai vir no outro sentido), e localizar, então, esse novo vetor obtido. Temos aqui, considerando, então, na direção do vetor v₁: uma vez, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Na direção do vetor v₂ aqui, multiplicar por -4 quer dizer andar no outro sentido. Então: -1, -2, -3, -4 vezes. Quer dizer que, agora, por exemplo, se eu andar 7 vezes, ou andar 7 unidades aqui na direção do vetor v₁, eu tenho que, na direção do vetor v₂, me deslocar 4 para este sentido. Então, que seria a projeção aqui: 1, 2, 3 e 4. Aqui eu teria o extremo do meu vetor "a", localizado com base, ou com respeito, à base B. O vetor estaria, por exemplo, desta forma. Este seria o vetor "a". A localização que eu fiz dele é uma localização com respeito à base B, a maneira de localizar. Agora, é o mesmo vetor se eu pensar na base padrão. Só estou modificando a maneira de escrever as suas coordenadas quando eu digo que está em respeito à base B. Observe que o vetor "a" também está no plano. O plano é infinito aqui, em todas as direções e sentidos. O vetor "a" também está no plano, já que ele é uma combinação linear dos dois vetores (v₁ e v₂). Fazendo o desenho cuidadosamente no espaço, já que nas três dimensões, nós conseguimos pelo menos uma ideia representar, nós conseguiríamos localizar perfeitamente o vetor "a", cujas coordenadas padrão seriam 3, 14 e 17. Este aqui é o vetor "a". Vamos tentar observar agora um outro exemplo. Tentar observar de uma outra forma. Vamos supor, agora, que nós temos um vetor "d" conhecido, cujas coordenadas padrão são 8, -6 e 2. E o "d" pertence a um subespaço (a um span) gerado pelos vetores v₁ e v₂, que nós já definimos acima. E a pergunta é: quais são as coordenadas do vetor "d" em relação à base B? Àquela mesma base B que nós já tínhamos, que era definida pelos vetores v₁ e v₂. Quais são as coordenadas de "d" em respeito à base B? Nós já sabemos que a matriz de mudança de base "C", multiplicada pelo vetor "d" em respeito à base B, resulta exatamente no vetor "d". A matriz de mudança de base é a mesma que nós já tínhamos anteriormente aqui, que é composta pelos vetores v₁ e v₂. Então, escrevendo-a novamente aqui, nós temos: matriz "C" é 1, 2, 3; 1, 0, 1. Multiplicando justamente "d" em respeito à base B, tem que ser igual ao vetor "d" nas coordenadas tradicionais, que nós já sabemos aqui que é 8, -6 e 2. E o que nós queremos saber é exatamente quais são as coordenadas do vetor "d" em respeito à base B, ou seja, vamos colocar aqui c₁ e c₂ como sendo as suas componentes, as suas coordenadas. O que temos aqui nada mais é que uma equação matricial que vai nos gerar um sistema de equações com duas incógnitas relativamente simples. Vamos trabalhar com ele. Eu vou, então, efetuar a multiplicação das matrizes. Lembre-se: primeira linha, todos multiplicam cada termo da segunda coluna e somamos, ou seja: 1 vezes c₁, mais 1 vezes c₂, vamos ter c₁ + c₂ igual ao primeiro elemento da outra matriz, que é 8. Depois: 2c₁ + 0c₂ igual ao segundo elemento: -6. Finalmente, 3c₁ + 1c₂ igual a 2. Bem, olhando para este sistema, não é tão difícil. Na segunda equação aqui, nós já podemos concluir facilmente que c₁ = -3. Substituindo -3 no lugar do c₁, por exemplo aqui na primeira equação, Facilmente nós concluímos que c₂ = 11. -3 no lugar do c₁: -3 + 11 = 8. c₂ é 11. Observe que a terceira equação não foi usada, mas ela tem que funcionar com estes valores, senão, há uma inconsistência aqui. E, de fato, testando: 3 vezes c₁ é 3 vezes -3, que dá -9. Mais o c₂, que é 11, isso dá igual a 2. Ok. Nosso sistema está consistente e a resolução está correta. A solução é consistente para nós. Reescrevendo, então, esta expressão, nós temos: 1, 2, 3; 1, 0, 1 multiplicando por: -3, 11 tem que ser igual ao vetor [8, -6, 2]. Assim nós conseguimos, então, obter as coordenadas do vetor "d" com respeito à base B. O vetor "d" em relação à base B, com respeito à base B, tem as coordenadas: -3, 11. E outras palavras, podemos também escrever que o vetor "d" é igual a -3 vezes v₁, mais 11 vezes v₂. O importante neste momento é você verificar que, usando esta ideia da matriz de mudança de bases, nós facilmente conseguimos transitar entre as coordenadas de um vetor em respeito a uma certa base B conhecida, e também em respeito à base padrão, às coordenadas padrão. Até o próximo vídeo!