Autovetores e autoespaços para uma matriz 3x3

RKA8JV - No último vídeo, nós procuramos autovalores para esta matriz "A". Autovalores seriam valores de λ, de tal maneira que a matriz "A" multiplicada por um certo vetor não nulo resultaria no mesmo que multiplicar o λ por esse vetor não nulo. Para encontrar o autovalor λ, nós observamos que é necessário que esta multiplicação de (λIₙ - A), que é uma matriz, pelo vetor "v", seja igual ao vetor nulo. E para que isso aconteça, já que "v" é não nulo, aqui nós precisamos ter um espaço nulo da matriz não trivial, ou seja, somente matrizes não invertíveis têm o espaço nulo não trivial. Isso quer dizer que o determinante desta matriz teria que ser igual a zero. Resolvemos uma equação e chegamos à conclusão que o λ teria que ser 3 ou -3, os dois números que permitem com que a matriz "A", multiplicando um certo vetor nulo qualquer desse espaço seja igual ao λ multiplicado pelo mesmo vetor. Vamos lembrar que esta matriz era esta aqui, vou reproduzi-la. Está aqui. Esta matriz aqui, multiplicada pelo seu autovetor, tem que ser igual a zero para qualquer um de seus autovalores. Vamos pegar esta matriz para cada um de seus autovalores, que são 3 ou -3, resolver para obter os seus autovetores e consequentemente, autoespaços. Vamos começar para λ = 3. Substituindo o λ por 3 aqui, 3 + 1 serão 4, então, eu vou trocar por 4. Aqui o λ menos 2, 3 menos 2, vai dar 1, e aqui de novo, 3 menos 2 vai dar 1. Observe que aqui e aqui, nos outros elementos não temos λ, então, não precisamos mexer. Esta matriz, multiplicando um vetor "v", tem que resultar no vetor nulo. E isso quer dizer, também, que o autoespaço para o autovalor 3 é o espaço nulo desta matriz, que é, justamente, o espaço que contém todos estes vetores que, multiplicados por esta matriz, resultam em zero. E estes são os autovetores para quando o autovalor é 3. Vou, agora, resolver esta equação, mas, para facilitar, vou fazer uma pequena modificação na matriz, que mantém a velocidade do sistema. Vou copiar a primeira linha, a primeira linha eu vou manter, 4, -2, -2. Esta primeira linha estou mantendo. Agora, a segunda linha eu vou multiplicar por 2 e adicionar à primeira linha. -2 vezes 2, -4, com mais 4, zero. 1 vezes 2 dá 2, soma com -2, zero. A mesma coisa aqui, zero. A terceira linha, vou fazer a mesma coisa, multiplicar por 2 e adicionar à primeira. Isso vai me dar igualmente zero, zero, zero. Isto, multiplicado pelo vetor "v" que eu vou identificar aqui, como estamos em ordem 3, por v₁, v₂ e v₃, as suas coordenadas, isso tem que ser igual ao vetor zero, vetor nulo, zero, zero, zero. E o que isso nos dá? Bom, o que significa esta multiplicação? 4 vezes o v₁, -2 vezes o v₂ e -2 vezes o v₃, tem que ser igual a zero. Eu vou agora dividir todos da equação por 4. Dividindo por 4 vou ter "v₁ - 1/2v₂ - 1/2v₃ = 0", o que me dá v₁, é igual a, adicionando 1/2v₂ e 1/2v₃, os dois lados, fico com v₁ = 1/2v₂ + 1/2v₃. Dizendo que v₂ é igual a uma certa constante "a", e v₃ é igual a uma certa constante "p", nós temos, então, que v₁ = 1/2a + 1/2b. Após esta parametrização, chegamos ao autoespaço quando o λ vale 3, que é o conjunto de todos os vetores com coordenadas v₁, v₂ e v₃, de tal modo que sejam iguais ao "a" e "b", que são os parâmetros que eu vou usar. "a" multiplicando um certo vetor, ou seja, a combinação linear disso aí, mais o "b" multiplicando um outro vetor. Para obter isto aqui, veja só. O v₂ é igual ao "a", é 1 vez o "a". 1 vez o "a" vai dar o v₂, e zero vezes "b". Para o v₃, v₃ = b, então, ele tem zero vezes "a", e 1 vez "b". E o v₁ é 1/2 vezes "a" + 1/2 vezes "b", então, nós temos aqui 1/2 e aqui também temos 1/2. Isso com "a" e "b" pertencentes ao conjunto dos números reais. Qualquer vetor que esteja nesse conjunto, ou seja, que satisfaça tudo isso, é um autovetor quando o λ, quando o autovalor, é 3. É um autovetor daquela matriz "A", inicialmente, quando o autovalor é 3. Aqui podemos também dizer de outra forma, que o autoespaço "e" de quando o λ é 3, é igual ao span, ou seja, o espaço gerado pelos vetores 1/2, 1, zero, e 1/2, zero, 1. Todas as possíveis combinações lineares destes 2 vetores gera um subespaço, que é o autoespaço para aquela matriz quando o autovalor é 3. Aqui nós chegamos ao autoespaço, e consequentemente aos autovetores, para aquela matriz "A" inicial quando temos o autovalor 3. Agora vamos refazer o trabalho considerando o autovalor -3. Vamos começar copiando a matriz e trocando λ por -3. Então aqui, -3 + 1 resulta em -2. Aqui é "λ - 2", então -3 - 2 vai dar -5, a mesma coisa aqui. Nos outros elementos o λ não aparece, então esta é a matriz com a qual vamos trabalhar agora. E esta matriz, multiplicando um certo vetor "v", que vai ser o autovetor, serão os autovetores, representa os autovetores, tem que ser igual ao vetor nulo. Novamente, para resolver esta equação, vamos modificar um pouco a matriz, de maneira a ter algo mais favorável. Vou começar dividindo a primeira linha por -2, eu vou obter então, 1, 1, 1. Eu vou efetuar a primeira linha menos a segunda para colocar no lugar da segunda. Então, -2 - (-2) dá zero, -2 - (-5) dá 3. -2 - 1 = -3. E para a terceira linha, eu vou fazer a primeira menos a terceira. -2 - (-2) dá zero, -2 - 1 resulta em -3 e -2 - (-5) é -2 + 5 que dá 3. Isso multiplicando um autovetor resulta no vetor nulo. Vou manter agora a primeira linha. Para a terceira eu vou adicionar a segunda e a terceira. Zero mais zero dá zero, 3 + (-3) dá zero e -3 + 3 dá zero. E a segunda linha, eu vou dividir todos por 3. Ficarei com "0, 1, -1". Na próxima passagem, eu vou substituir a primeira linha pela primeira menos a segunda. 1 menos zero dá 1, 1 - 1, dá zero, 1 - (-1) = 2. As outras, eu vou deixar inalteradas. Vou agora substituir o "v", vetor nulo, escritos na forma matricial. Agora nós temos, então, que achar v₁, v₂ e v₃, que satisfazem esta equação. Observe que estes 3 zeros aqui na última linha, nos darão uma equação "0v₁ + 0v₂ + 0v₃ = 0" então, nós podemos estipular um parâmetro para uma das incógnitas. Vamos supor que o v₃ seja igual a "t". Voltando na segunda linha, nós vamos ter: "0v₁ + 1v₂ - 1v₃ = 0". Ora, isto é fácil, aqui é zero. Teremos aqui o v₂ igual, -1v₃ para o lado de lá, fica 1v₃, que é igual a ''t". Se o v₃ é "t", o v₂ é igual ao v₃, que também é igual a "t". Finalmente, falta o v₁. Vamos usar a primeira linha aqui, na qual nós temos: "1v₁ + 0v₂ + 2v₃ = 0". Ora, temos então v₁, 2v₃ para lá, menos 2v₃, então v₁ é -2t. Agora já podemos escrever o autoespaço que achamos aqui. Neste caso, o autoespaço "E" para λ = -3 é o conjunto de todos os vetores com as coordenadas v₁, v₂, v₃ iguais a "t", que multiplica, veja só, v₃ é igual a simplesmente "t", então, aqui temos 1, uma vez o "t" é o v₃. v₂ também, então aqui temos 1. E o v₁? O v₁ é -2t, então, aqui temos -2. Estamos falando do conjunto de todos os vetores que são formados desta forma com "t", um número real. De maneira mais simples, podemos dizer que o autoespaço para matriz "A", quando λ = -3, é simplesmente o span no espaço gerado pelo vetor -2, 1, 1. Algo interessante que acontece aqui, é que, se você efetuar o produto escalar deste vetor por qualquer um destes dois, você vai obter zero. Então, existe ortogonalidade ali. Veja só, por exemplo, este com este. -2 vezes 1/2 é -1, 1 vezes 1 é 1, somando dá zero, 1 multiplicado por zero vai dar zero, o que garante que o produto escalar entre eles seja zero. Em outras palavras, o plano gerado e a reta gerada aqui são ortogonais. Vamos analisar graficamente, só para entender o que vamos fazer e interpretar melhor. Nós temos uma matriz "A" 3x3, que representa uma transformação em R³. Esta matriz tem dois autovalores que são λ = 3 e λ = -3, cada um gerando um autoespaço. Um dos autoespaços é um plano em R³ e o outro é uma reta, e o plano gerado aqui é ortogonal à reta gerada aqui. Vamos representar aqui um plano que representa, este aqui representa o "E" quando o λ = 3, é um plano em R³, ele é gerado por 2 vetores que nós temos aqui. Por exemplo, vamos supor que seja um vetor aqui e um outro vetor aqui, e o autoespaço gerado quando o λ = -3 é uma reta perpendicular ao plano. Este aqui é o autoespaço quando λ = -3, perpendicular ao plano, perpendicular, portanto, aos dois vetores aqui, por isso, o produto escalar era zero. E o vetor que gera esta reta é este que está aqui, que seria este aqui. Nós podemos interpretar isto da seguinte forma: se eu estiver pensando neste autoespaço do plano, que é o plano, se eu tiver um certo vetor aqui, ao aplicar a matriz "A" de transformação linear, vai ser equivalente a multiplicar este vetor por 3, ou seja, eu teria um novo vetor que tem o triplo do comprimento do vetor anterior e permanece neste autoespaço. Isto seria a aplicação da transformação linear definida pela matriz "A" a um certo vetor, vamos supor que este vetor era um vetor "x", então, aqui eu tenho "Ax". De maneira análoga, eu tenho aqui, se eu tomar qualquer vetor neste autoespaço que é definido por esta reta, e aplicar a transformação definida pela matriz "A" nele, eu vou multiplicar o seu comprimento por 3 mas eu vou ter o sentido oposto. Por exemplo, se este aqui fosse um certo vetor "x", ao aplicar a transformação definida pela matriz "A", eu vou ter o triplo do seu comprimento, porém, com o sentido oposto, que seria "para baixo", e este aqui seria o "Ax". Neste vídeo, pudemos olhar um pouco para os autovetores, que são gerados a partir dos autovalores definidos por uma matriz de transformação de ordem 3x3 e os correspondentes autoespaços. Nós nos vemos no próximo vídeo!