Conteúdo principal
Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 3
Lição 5: Auto-tudo- Introdução a autovalores e autovetores
- Demonstração de fórmula para determinação de autovalores
- Exemplo de resolução para os autovalores de uma matriz 2x2
- Exemplos de como encontrar autovetores e autoespaços
- Autovalores de uma matriz 3x3
- Autovetores e autoespaços para uma matriz 3x3
- Mostrando que uma autobase serve para bons sistemas de coordenadas
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Exemplo de resolução para os autovalores de uma matriz 2x2
Exemplo de resolução para os autovalores de uma matriz 2x2. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá,
pessoal! No vídeo passado nós vimos
que para qualquer λ [lambda] que satisfaça essa equação,
para vetores V não nulos, temos também, como propriedade,
que o determinante desse λ vezes a identidade menos A
vai ter que ser igual a zero. Olha só, um outro meio de escrever
essa frasezinha aqui é o seguinte: λ é um autovalor se, e somente se, o determinante de λ vezes
a identidade menos A é igual a zero. Então, se é assim, vamos aqui tentar pegar
uma matriz, algum exemplo concreto, para descobrir os autovalores
dessa matriz, ok? Vamos começar por algo simples,
uma matriz 2 por 2. Digamos aqui que a minha matriz A
é a matriz [1, 2, 4, 3] e eu quero encontrar os autovalores
dessa minha matriz A. Então vamos lá, pessoal.
Se eu tenho um λ, esse λ é um autovalor
da minha matriz A, então λ é autovalor de A, então isso aqui vai
acontecer, não é? Vamos lá. Então. o determinante de λ
vezes a identidade, no caso 2 por 2,
que é [1, 0, 0, 1] menos A, ou seja,
menos A matriz [1, 2, 4, 3], vai ser igual a zero. Ok, mas o que isso aqui vai virar?
Isso aqui vai virar o determinante de... Bom, fazer λ vezes essa matriz é
multiplicar λ por todos os elementos aqui, então λ vezes 1 é λ, λ vezes zero é zero,
λ vezes zero é zero novamente, λ vezes 1 é λ, menos
a nossa matriz A, [1, 2, 4, 3] e isso aqui é igual a zero. E o determinante do que, agora?
Vamos fazer essa operação. λ menos 1 é λ menos 1,
zero menos 2, -2, zero menos 4, -4,
λ menos 3 é λ -3. Isso tem que ser igual a zero. E agora está na hora de calcular
esse determinante, não é? Então vou fazer aqui. Esse rapaz vezes esse, então
(λ menos 1) vezes (λ menos 3), eu vou pegar o oposto
do produto desses caras aqui, então -2 vezes -4 dá 8,
ligando o oposto é -8. E o resultado disso
tem que ser igual a zero. Lembrando que esse resultado aqui
é o determinante dessa matriz, não é? Determinante dessa matriz que acaba,
depois de construída, sendo essa matriz
verde aqui. Então voltando aqui
à nossa equação, não é? Determinante da matriz
igual a zero. Mas lembra porque, mesmo, que
esse determinante tem que ser igual a zero? Bom, vem daqui. Lembra que esse aqui tem
que ser um espaço nulo não trivial? E para ser um espaço nulo não trivial,
essa matriz não pode ser invertível. E para uma matriz
não ser invertível, o seu determinante
tem que ser igual a zero. Voltando aqui
à nossa equação. Olha só, pessoal, é só
uma equação polinomial. Vamos distribuir aqui
os nossos valores e resolvê-la. λ vezes λ é λ²,
-3 vezes λ, menos λ, mais 3 menos 8
é igual a zero. Isso aqui é igual a λ² menos 4λ
menos 5 igual a zero. E se você tiver interessado
em um pouco das terminologias aqui, essa equação aqui a gente
vai chamar de polinômio característico. Então, polinômio característico, ok? Ok, agora é só resolver isso aqui, que
é uma equação de segundo grau, não é? Você vê que é facinho de fatorar se a gente
usar a famosa técnica da soma e produto. Tem que achar dois números
que o produto é -5 e a soma é 4, ou seja, esses números
são 5 e -1, -1 mais 5 dá 4,
-1 vez 5 dá -5, então nossa equação fica λ menos
uma das raízes, ou seja, λ menos 5, e λ menos -1, ou seja,
λ mais 1 igual a zero. Então aqui no
nosso polinômio fatorado dá para saber que as raízes
são λ igual a 5 ou λ igual a -1, como a gente já tinha até
falado aqui na soma e produto. Portanto, esses dois valores aqui são
os autovalores da minha matriz da A. É λ igual a 5
e λ igual a -1. É claro que aqui a gente
só fez parte do trabalho, encontramos quem são
os autovalores, mas é interessante quando
a gente tem essa nossa equação encontrar tanto os autovalores
quanto os autovetores da nossa matriz A. Então os nossos autovetores a gente
vai encontrar no próximo vídeo. Tchau, tchau,
pessoal!