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Demonstração de fórmula para determinação de autovalores

Demonstração de fórmula para determinação de autovalores. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

vamos retomar uma certa transformação linear de r n em rn essa transformação linear definida por uma certa matrizes a então ter aplicado um vetor x é igual à matriz a multiplicando victor x algo interessante que vimos no último vídeo era conseguir desenvolver e trabalhar com a transformação que simplesmente ampliar ou reduzir o comprimento dos vetores e podem eventualmente mudar o seu sentido ou seja estamos falando da transformação aplicada um certo victor ver que seria naturalmente uma matriz a multiplicando vtv mas que coincide com o número real lambida multiplicando esse vetor vi quando nós conseguimos isso nós estamos encontrando aqui um para o certo lambida nós estamos encontrando que chamamos de alto valor e no vetor aqui nós temos o que chamamos de auto vetor ou auto vetores dependendo de como for definido dependendo do que acontecer com os valores envolvidos são os altos valores e auto vetores associados a esta transformação que estamos definindo aqui para obter aos valores e auto vetores nós precisamos resolver a equação a multiplicando uns o vetor vê igual ao lambida multiplicando vitor vê bem existe uma solução trivial para esta equação que é o vetor ver ser igual ao vetor nulo entretanto vamos procurar as soluções que não são triviais ou seja quando o vetor ver não é o vetor nulo neste caso podemos reescrever essa equação da seguinte forma o vetor lulu igual a lambda v - a ver entre eu e subtrair lambda ver dos dois lados da igualdade neste momento vale a pena você se lembrar de uma informação o vetor fi o vetor ver é igual à matriz identidade de ordem n multiplicada pelo próprio setor vê porque a matriz identidade é o elemento neutro na multiplicação de matrizes e de ordem n porque nós estamos tratando em rn vou escrever então esta equação trocando aqui o fi o matriz identidade multiplicando v ou seja teríamos lambda multiplicando a matriz identidade de ordem que multiplica v - aqui multiplica vê igual a 0 colocando ver em evidência já vimos que é perfeitamente possível temos então que já que existe a destrutividade na multiplicação de matrizes podemos usar aquela idéia de colocar em evidência o v ou seja teríamos lambida que multiplica matriz identidade ordem ele - a tudo isso multiplicando o vetor ver que era o fator comum em que eu coloquei em evidência isso tudo tem que ser igual ao vitor nulo mas nós já sabemos que o vetor ver não é o vetor nulo então vamos ter que tratar com este trecho da expressão sabemos é claro que o que está entre parentes aqui é uma outra matriz isso é uma matriz e vamos chamar de matriz b esta igualdade significa que o v é um membro ou pertence ao espaço nulo da matriz que eu chamei de b o vetor ver pertence ao espaço no dessa matriz por quê porque b multiplicando ver tem que dar o vetor nulo 0 como resultado é justamente o que define o fato de ver todos os vetores ver que satisfizerem essa igualdade forma o espaço nulo da matriz b observe que o véu membro do espaço no da matriz b mas não é o trivial porque silver for igual a zero toda vez que tiveram victor nulo ele é membro do espaço nulo de uma certa matriz nesse caso estamos tratando com v diferente de zero bem tratando desse tema vamos nos lembrar de uma coisa se eu tiver uma certa matriz de as colunas as colunas da matriz t são linearmente independentes se e somente se o espaço nulo dd só tiver o vetor nulo trazendo essa informação para cá fica claro então que na matriz b as colunas de b as colunas de b são linearmente dependentes o fato delas serem linearmente independentes quer dizer que o determinante da matriz b tem que ser igual a zero lembre se que se as colunas de uma matriz são linearmente dependentes ela não é invertir viveu e não é invertir viveu-se be não é invertir viveu então o determinante dp tem que ser zero e nessas condições com determinante da matriz b100 do zero nós vamos ter aqui situações em que não envolve a a solução trivial ou melhor dizendo o espaço nulo trivial para a matriz b e aí nós vamos poder desenvolver cálculos para obter lambida que são os altos valores que procuramos só voltando aqui o determinante então de lambida que multiplica a matriz identidade de ordem e nem menos a tem que ser igual a zero para funções acima sejam satisfeitas e possamos calcular o os altos valores lambida resumindo a fé é igual a lambida ver para ver flores ou vetores ver não nulos c e somente c o determinante de lambida multiplicando a matriz identidade de ordem - a for igual a zero após visitar a idéia de espaço nulo e outras tantas importantes chegamos a esta conclusão que permite com que o que permite que você obtenha o lambda que você procura que é o alto valor ou se formasse um salto os valores para uma certa matrizaria de transformação conhecida e assim simplesmente com essa fórmula você consegue calcular o lambda procurado aplicaremos mas em vídeos futuros até lá