Mostrando que uma autobase serve para bons sistemas de coordenadas

nós já estudamos é bases diferentes bases com a partir de vetores elas transformações lineares vamos imaginar uma transformação de rn em rn e que essa transformação possa ser escrita como tdx igual a uma certa matrizes a eni por n multiplicando o vetor x vamos assumir assumir que a matriz a tem n alto vetores linearmente independentes o que são v1 em v2 etc até tn o que eu quero mostrar neste vídeo é que estes vetores constituem em particular uma base muito boa para esta transformação vamos explorar isso um pouco vamos começar aqui examinando a transformação aplicada ao vitor de um transformador sanção aplicada ao vitor vê um é a matriz a multiplicando o vetor viu mas já que o vetor ver um auto vetor isso tem que ser igual ao alto valor lambda um multiplicando o vetor de um a mesma coisa na transformação aplicada ao vitor vê dois é igual à matriz a multiplicando vetor v2 que tem que ser já que o v2 é um outro vetor tem que ser igual ao alto valor multiplicando o vetor e 2 e assim sucessivamente até a transformação ter aplicada ao vetor n vai ser igual a matriz a multiplicando vn que tem que ser igual ao alto valor lambda n multiplicando vn bem agora que parece bastante óbvio uma coisa mais ao escrever vamos observar outras coisas importantes aparecendo quando nós falamos que o vetor a a transformação aplicada ao vetor ver um é igual ao longo da úvea um nós podemos dizer que ela é isso pode ser descrita como lambda um v 1 + 0 v 2 + 0 23 e assim sucessivamente até 10 veni do mesmo modo se aqui temos lambda 2002 podemos escrever 0v um mais lânguida 2 v 2 mas r 30 e 40 v ele aqui a mesma coisa teremos 10 ver um mais r 2 mas serve três e terá até chegar no lambda n multiplicando vn observe que se estamos definindo uma certa base b gerada por estes vetores já que são nenê linearmente independentes o que temos aqui é para todas estas linhas é o uso de coordenadas na base p vamos lembrar aqui que se eu tenho um certo vetor x eu aplico a transformação nele multiplicando pelo ar eu vou chegar a tx ou seja a transformação aplicado o vetor x eu posso mudar de base posso pegar o vetor x que ter um sistema padrão na nas coordenadas padrão e multiplicando pela inversa da matriz mudança de base chamadas e eu vou obter o vetor x representado na nova base que por exemplo pode ser chamada de bebê que é justamente o que eu estou usando aqui para fazer a volta ou seja se eu tenho as coordenadas na base b para voltar para o sistema padrão de coordenadas ou multiplico pela matriz c a matriz e que a matriz mudança de base é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores que compõem a base e ao aplicar a transformação em um vetor x que está representado com as bar com as coordenadas na base b e eu eu vou obter uma transformação aplicada ao vetor x porém representada com as coordenadas na base b e para ir direto daqui pra cá eu vou multiplicá lo por uma outra matriz chamada de nós já vimos isso em outros vídeos e na continuação nós podemos também transitar entre o tx no sistema padrão eo tmx na base b multiplicando por ser menos um para ir do sistema padrão das coordenadas padrão para a outra base e para voltar multiplicar pela matriz e e quando nós temos neste como neste caso uma base composta por n alto vetores que são evidentemente linearmente independentes constituindo esta base esta matriz de é uma matriz muito interessante porque ela fica muito fácil de ser trabalhada então vamos lá eu quero escrever agora a transformação aplicada ao vetor v1 representada a fase b veja que aqui nós já temos uma representação na base b os vetores e um v2 a tvn constituem a base b da transformação e ver um aplicado na base b vai se vai ter como resultado o lambda um que multiplica v1 mais 10 vezes o v2 e assim por diante até 0 multiplicando o v m mas a transformação aplicada ao ver um é a tal matriz de multiplicando o vetor x apresentado na base b a matriz de é uma matriz estamos também rn tão n por n composta pelos cujas colunas são compostas pelos vetores de um t2 e t3 é ter até o dn multiplicando o vetor 21 cujas coordenadas estejam representadas na base b mas quem é o 21o eu vi um é uma vez o v 1 uma vez ver um mais 10 vezes o v2 mas era o peso de 3 até 0 vezes o vn o v12 vetores da base então é uma vez ele mas eram vezes cada um dos outros ora e qual é o resultado dessa multiplicação de um vezes um mais de 20 e assim por diante de maneira que esta multiplicação resulta simplesmente de um vamos continuar da mesma forma então a transformada aplicado victor v2 representada na base b cujas coordenadas nós já podemos observar aqui acima temos 10 vezes o ver um mais lambida 2 vezes o v2 mas era obeso v3 e terá até 10 vezes o n&iacute que ser igual a matriz de que da transformação nena nas coordenadas da base b multiplicando o vetor e 2 quem é o vetor e 20 vezes o ver um mais uma vez o v2 etc terá até 0 vezes o vn efetuando mais uma vez a multiplicação dessas duas matrizes nós vamos ter então aqui o de 2 da mesma maneira para o fim e 3 v 4 até o vn no qual transformado aplicada ao ver e nós temos aqui nas coordenadas da base b vai ser zero vezes o ver umas 10 vezes o v2 etc terá até lambda n vezes o vn que tem que ser igual a matriz de multiplicada pelo vetor dn que é zero resolveu umas 10 vezes o p2 etc terá até uma vez o vpn e efetuando a multiplicação dessas matrizes nós vamos ter quem aqui o dm usando tudo isto nós vamos conseguir definir o que é esta procurada matriz de veja a primeira coluna da matriz de são as coordenadas do vetor de um vetor de um que é igual a isso aqui então na primeira coluna nós temos o lambda 1 e depois o resto com zeros na segunda coluna o d2 e isto é o zero 10 lambida 2 e continua com zeros e assim podemos notar que nós vamos ter na diagonal principal os lambidas lambda 3 ac continuando até zero e aqui continua até o lambda n e o resto aqui tudo de zeros esta é a matriz de de transformação linear aplicada aos vetores representados na base b bem voltando aqui então se nós temos aqui uma certa matriz a que é composta por n alto vetores linearmente independentes naturalmente e nós compomos uma base a partir deles vamos chamar de auto base então a matriz da transformação linear com as coordenadas na base b é uma matriz muito muito interessante muito fácil de ser trabalhada porque ela matriz diagonal nela todos os elementos de seta diagonal principal a 0 são zeros e é com uma matriz assim é muito fácil de multiplicar de inverter de obter determinante ou seja de fazer qualquer ética trabalho que envolveu essa matriz mesmo que seja uma sequência é de várias vezes usando essa matriz álgebra linear fica muito envolvida com vetores bases espaços etc isso é bastante abstrato mas os vetores na verdade são representações abstratas de coisas do mundo real aqui podemos ter aplicações na estatística podemos ter aplicações em padrões da meteorologia podemos ter aplicações das engenharias e essas matrizes são usadas muitas muitas muitas vezes então sempre que nós conseguimos facilitar o uso das matrizes computacionalmente nosso problema é resolvido de maneira mais fácil álgebra linear é uma maneira muito generalizada de resolver é problemas de uma gama muito muito extensa ea idéia de estudar os altos valores e os autores é justamente ver que você tem agora uma ferramenta que facilita bastante a resolução de problemas que podem ser mais complexos embora isso aqui seja neste momento bastante abstrato você tem uma ferramenta que pode ser aplicado em coisas do mundo real até o próximo vídeo