Matriz de mudança de base inversível

assim como nós fizemos em vários vídeos anteriores vamos considerar o conjunto b uma base composta pelos vetores v1 e v2 3 até o ficar com ver um v2 todos esses vetores em rn nós sabemos também que existe uma matriz e de mudança de base cujas colunas são compostas pelas coordenadas de cada um desses vetores do v1 então na primeira coluna as coordenadas do vetor v1 na segunda coluna as coordenadas do vetor v 2 e assim por diante e aqui nós vamos ter até o v k de maneira que nós teríamos car colunas porque são captores e n linhas porque cada vetor tem n coordenadas já que estamos em rn temos então n linhas por cá colunas nessa matriz mudança de base vimos também que se temos um certo vetor a em rn a estando no sub-paço gerado pelos vetores da base b nós podemos escrever o ar como resultado da multiplicação da matriz mudança de bases e que esta aqui pelas coordenadas do vetor a na base bem respeito à base b de maneira que se eu tivesse coordenadas do vetor a na base b ao multiplicar pela matriz de mudança de base eu consigo saber as coordenadas do vetor a na base padrã vamos estudar um caso especial vamos assumir que a matriz c de mudança de base é invertir viveu assumir que se é inversis viveu ou inverti viveu isso nos leva a duas informações importantes uma é que a matriz e é uma matriz quadrada uma matriz quadrada e outra informação importante que temos ali é que as colunas são linearmente independente esta última informação é de fato redundante dado que a base já nos garante a alienar idade independente das colunas da matriz que são os vetores db mas um fato muito importante é que se a matriz é quadrada então voltando aqui nós sabemos que o ca deve ser igual ao n eu teria então uma matriz n por n ora se será quadrada e portanto caiga n isso significa que a base tem e vetores linearmente independentes e qual é o conjunto gerado pela base b vamos pensar a respeito se nós temos ele vetores linearmente independentes em rn o spam gb é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis feitas a partir dos elementos de b ou seja dos vetores v1 até ficar sendo caiu ao n isso significa que nós podemos gerar o próprio rn isso significa que b é uma base é uma base para r nós conseguimos gerar todos os vetores de rn sendo escritos como combinações lineares dos vetores da base b no último vídeo nós precisávamos ter certeza de que este vetor pertence ao spam dos vetores da base b agora nós não precisamos mais porque se a está em rn ea base b gera rn então naturalmente oa está nesse espaço nós podemos dizer então que se a matriz e é invertir viveu ou inversis viveu então o spam db passo conjunto gerado por b é o próprio rn observe que também podemos escrever que se o expandir b se a base b gera rn então a matriz e é invertido eu sou invencível por um motivo muito simples se b gera rn então b tem n vetores linearmente independentes isso garante a invencibilidade da matriz c e esta informação é muito importante muito útil porque nesta equação se nós temos essa informação nós pela matriz e chegamos a esta e sabendo que existe em ver se é inversa de ser neste caso que estamos estudando fica mais fácil de fazer a volta de dado o vetor com as coordenadas padrão voltar ou escrever as coordenadas deste mesmo vetor na base b e nós podemos escrever isso fazendo algo bem objectivamente eu vou multiplicar os dois lados dessa igualdade era inversa da matriz e teríamos c inversa - uma diversa multiplicando toda essa expressão se multiplica o vitor a com as coordenadas na base b vai ser igual a matriz inversa dc multiplicando o vetor a mas nós sabemos que ser menos uns é inversa de ser multiplicadas e resulta na matriz identidade que é elemento neutro na multiplicação de matrizes qual é a conclusão que do lado esquerdo da igualdade nós temos simplesmente as coordenadas já na base b igual a inversa da matriz e multiplicando vetor a ou seja nós conseguimos rapidamente fazer a volta para as coordenadas de a na base b sabendo as coordenadas de a na base padrão vamos fazer então alguns exemplos para estudar e aplicar essas informações vamos supor que eu tenho aqui dois vetores v1 e v2 v1 com as coordenadas 13 e o v2 com as coordenadas 21 ea base b definida por v1 em v2 veja que vê um e dois são linearmente independentes então nós podemos definir essa base e por ser uma base formada por dois vetores linearmente independentes nós podemos garantir que a bp é uma base para r 2 nesta situação a matriz de mudança de base é ser composta pelas nas colunas pelas coordenadas dos vetores então 13 21 e vamos já começar calculando a inversa dc por que ela é irreversível invertido para começar aqui vamos obter o determinante da matriz c o determinante da matriz e igual por caso de ordem 21 vezes um dá um menos três vezes duas das seis nós multiplicamos a diagonal principal diagonal secundário subtraímos chegamos a - sim o determinante dc é menos cinco então isso permite obter a matriz inversa de c c - um para obter semeano sun estamos falando de ordem 2 nós fazemos um sobre o determinante da matriz e um sobre menos cinco já vou anotar aqui como -1 5º multiplicando aquela matriz chamada matriz dos 14 x de si neste caso quando é a ordem é 2 ela é mais rapidamente obtida de maneira que temos aqui um aqui um também e aqui nós trocamos o sinal do elemento menos dois aqui - três aqui esta por este caminho nós obtemos a matriz inversa de ser eu vou deixar escrita desta forma mesmo porque os elementos dentro da matriz fica mais simples se não estiverem com na forma de infração para fazer os próximos cálculos vamos agora supor que nós temos um certo vetor a em r 2 e nós sabemos que as coordenadas padrão de a são 7 e 2 neste caso nós queremos saber quais são as coordenadas do vetor a em respeito à base b voltando aqui eu conheço a conheço os semi nus uma inversa da matriz mudança de base então está muito fácil para obter as coordenadas de um certo vetor na base da daqui vamos fazer as contas a matriz a com coordenadas na base b é igual a inversa dc multiplicando o vetor a vamos fazer as devidas substituições a inversa descer nós já sabemos está aqui e o vetor a foi dado está aqui o que nós temos é que efetuar esta multiplicação vou começar multiplicando as duas matrizes e o resultado multiplicam pelo menos um quinto em branco primeira linha com a primeira e única coluna e assim por diante 11 vezes sete das sete menos 2 vezes dois a menos quatro adicionando nós vamos ter primeiro elemento aqui três na segunda linha agora menos três vezes 7 - 21 vezes 22 somando temos menos 19 o vetor a com as coordenadas em respeito à base b o na base b vai ser igual resultado dessa multiplicação -1 5º vezes três menos três quintos -1 5º vezes menos 19 fica positivo 19 quintos lembre se de que isto significa que o vitor a é igual a menos três quintos vezes o primeiro vetor da base de um mas 19 500 vezes o segundo vetor da base que houve dois vamos verificar se isso confere menos três quintos vezes o ver um menos três quintos vezes o v 1 e a13 mais 19 500 vezes o v2 que é 21 esta multiplicação aqui primeiro nos vai dar menos três quintos vezes 1 - 3 500 e se menos três quintos vezes 3 - nove quintos mas agora segundo a multiplicação 19 500 vezes 2 da 38 quintos e 19 500 vez um 19 quintos efetuando a adição destes dois vetores menos três quintos com mais 38 quintos isso nos vai dar 35 quintos menos nove quintos adicionando com mais 19 quintos isso nos vai dar 10 quintos simplificando nós vamos ter aqui no primeiro elemento 7 no segundo elemento 2 o que já esperávamos tinha que ser o próprio setor a que foi dado aqui é mais um exemplo vamos supor que eu tenho aqui um certo vetor w cujas coordenadas na base b são 111 ea pergunta é quais são as coordenadas de w na base padrão bem a mudança de base nós estamos vendo que pode ser feita por esta ideia basicamente vamos utilizá la neste caso aqui o vetor w nas coordenadas tradicionais é igual à matriz e de mudança de base multiplicando as coordenadas do vetor w na base b reescrevendo o vetor w então vai ser igual à da matriz e de mudança de base está aqui acima é esta que estamos na mesma base o 3 2 1 vamos revelar aqui e ela multiplica as coordenadas de bebê na dw na base b que também estão aqui prontas 1 vamos efetuar esta multiplicação então o vetor w vai ser igual a multiplicação de matrizes mais uma vez a primeira linha com a coluna um vezes um a 12 meses honda 2 somando temos três depois segunda linha três vezes um da 31 vez 1 da 1 somando temos quatro estas são as coordenadas do vetor w na base tradicional veja que sendo a matriz e de mudança de base e ver se viveu ou inverti viveu nós podemos transitar facilmente entre as coordenadas tradicionais ou as coordenadas de um vetor na base be dada veja novamente aqui coordenadas na base da dá coordenadas na base padrão e citar é feito facilmente usando estas duas informações se você conhece as coordenadas uma certa base você chega facilmente as coordenadas na base padrão e ao contrário aqui você chega nas coordenadas da base que você quer com a qual você quer trabalhar sabendo partindo das coordenadas na base padrão por ora é isso aí até o próximo vídeo