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Uma projeção em um subespaço é uma transformação linear

Mostrando que uma projeção em um subespaço é uma transformação linear. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

nós já vimos como é que nós podemos fazer uma projeção subiu espaço linear mas o que eu não gostei pra você ainda é que essa projeção sobre o espaço linear província uma transformação linear eo também não mostrei você que se você tem uma base para isso o espaço como é que você pode calcular com essa projeção bom então vamos ver se a gente consegue fazer algum progresso sobre isso aqui pra isso vamos pegar nosso espaço aqui vamos dizer ver vamos dizer que ele é um sub espécie isso vamos dizer que não subir passo do rn então vê é um sub espécie isso do rn certo ver é um substituto do rn e pra compor e subir passo eu tenho que meus vetores b1 não tenhas vetores b um dos vetores p2 e assim por diante vamos dizer que eu vá até vai até o bk até de cá tudo aqui é uma base para o meu subir passo então vamos escrever isso aqui a base base para a base para ver o que é que isso aqui significa bom vamos dizer que tem aqui um vetor um vetor ar e que esse vetor a que pertence a mim eu subi espaço ver então poderia dizer o seguinte eu poderia fazer uma combinação linear de todos esses vetores de forma que eu tivesse aqui o meu ver torá netão y de um mas y2 b2 que é para que yy 2 e assim por diante são constantes arbitrárias né e os bens são os meus vetores né vetor de um vetor de 2 até o vetor bk e isso é o que significa ser uma base é você pode pegar todos esses vetores e expandir esses vetores a partir do momento que você pode gerar todo o espaço ver então se a pertença o espaço ver obviamente vai poder ser inscrito a partir da expansão dos escritores e se eu quisesse fazer aqui minha matriz a então vamos dizer que eu quero fazer é matriz a eni por cá então que matriz vai ser essa bom eu vou até aqui ó todos os meus vetores na verdade alinhados na eb1 depois b2 e assim por diante até até meu vetor bk o bk isso porque porque são kaká colunas né são kaká coluna c n linhas estão aqui ó tanto para cima quanto para baixo no total o tn linhas e dizendo que a pertence dizendo que a pertença meu subir passo ver nós podemos dizer mais que além disso nós podemos dizer que há que avise psi long é a vez um vetor y isso aki vai ser igual vai ser igual ao meu ver torá e isso aqui vai ocorrer para algum y então para algum y para algum y pertencente àquele espaço pertencente ao espaço rca não repara aquilo que está acontecendo a gente está multiplicando a matriz a pelo vetor y isso aqui vai ser a matriz a mesmo vetor y que vai ser composto por y y2 isso aqui até o y até yk né já que esse vetor aqui ele pertence ao rk isso aqui olha você não vai resultar o que inibe long xb12ss long 2 vezes b2 né mas assim por diante até yk vezes bk que foi exatamente o resultado que nós tivemos aqui em cima nesse caso você pode pegar seu substrato pegar baixos eo espaço e multiplicar por um vetor esse vetor aqui né ele tem que ter a dimensão igual número de elementos da sua base e quando você multiplicar você vai encontrar um novo vetor e esse vetor vai pertencer a quem ele vai pertencer ao seu substrato aço né ao subir espaço do qual você tem a base para esse espaço então nosso vetor ar pode ser representado pela matriz a vezes y e o que acontece nesse caso aqui é que nós não sabemos muito sobre esse y aqui né que esse nosso vetor aqui em r k então agora vamos dizer que nós temos aqui o x1 x que pertenço aqui no nosso caso a ufrn não vamos dizer x pertence ao rn e portanto a projeção a projeção de x no nosso sub espaço ver tal projeção do vetor x no nosso espaço v vai ser um vetor com certeza vai pertence a ver é que vai satisfazer tudo isso aqui ou ainda nós podemos dizer o seguinte ó que a projeção que a projeção do nosso vetor x nossos hubs passo ver vai ser igual a quem ela vai ser igual a a y né a epsilon então para algum vetor para algum vetor então para o vetor y é esse vetor vetor y em r cartão y em r cá né se nós soubéssemos quem é esse leitor y aqui né mas na verdade temos uma fórmula para descobrir por exemplo quem seria a nossa projeção mas nós não temos essa fórmula ainda o que nós sabemos é que qualquer vetor do nosso sub espaço ver pode ser gerada através dessa matriz aqui ó por que essa matriz aqui tem os leitores que são uma base para o nosso espaço ver como nós sabíamos que a projeção de x pertence ao nosso espaço ver logo é o vetor do nosso espaço ver ela pode ser escrito dessa maneira que ou seja através de uma combinação de nerd todos esses vetores agora qual é a nossa definição aqui para projeção onde escrevendo aqui dessa forma ficou faltando uma setinha aquino x bom ea gente sabe o seguinte oxi x pertence ao rn então a gente pode dizer o seguinte que x chivas igual a quem a china vai ser igual à projeção a projeção de xis aqui no nosso espaço ver mas a projeção a projeção de x no nosso espaço complemento ortogonal de ver bom talvez assim fique mais complicado né talvez ele seja melhor colocar um w aqui tanto faz eu posso colocar aqui o vetor w onde esse vetor w pertence ao complemento ortogonal de vir se eu colocar do outro jeito que talvez fique mais fácil assim vai ficar com muita projeção então vamos colocar aqui o w onde onde w tom conti tabio é um único membro é único é único é um único membro único membro esse conjunto né de complemento ortogonal de ver ou então você ainda poderia dizer subtraindo a projeção de x no sub-paço vida dos dois lados você teria que x - a projeção a projeção de x no nosso sub espaço ver isso aqui seria igual a quem pensa que ser igual a w nessa que ser igual a w e isso significa dizer que esse negócio aqui o pertence ao complemento ortogonal de ver uma vez que isso é exatamente igual à w agora o que o complemento ortogonal de ver então nós podemos ver aqui olhar para a nossa matriz né e aqui nós temos o que nós temos que essa matriz aqui a gente pode ter aqui que isso aqui o espaço coluna da matriz a e portanto aqui o nosso sub espaço ver agora o que eu quero eu quero complemento ortogonal e sub espaço ver então voltei aqui ó eu quero complemento ortogonal mesmo espaço ver se vai ser aqui o complemento ortogonal é disso aqui do meu espaço coluna de ar então isso aqui vai ser o que é seu espaço no da minha matriz a resposta o domínio a triste transposição lá e isso tudo aqui nós vimos há muitos e muitos vídeos atrás bom então deixa eu voltar aqui para baixo para poder escrever isso aqui em baixo portanto eu poderia dizer é que x - a projeção de xisto nossos hubs passo ver né projeção de x no nosso espaço ver isso aqui tudo pertence a quem pertence no caso é isso aqui ó ao espaço no da minha matriz a transposta e isso porque o espaço nulo da minha matriz a transporta significa a mesma coisa que o complemento ortogonal de ver mas que só que de fato significa então vamos ver aqui embaixo isso é que significa o seguinte eu pegar minha matriz a transposta e multiplicar por isso aqui ó vamos explicar por isso aqui eu vou ter o que vamos explicar por x - a projeção a projeção de x no meu submerso ver e com isso eu vou encontrar o que vou encontrar o vetor nulo porque isso a definição do espaço lula se eu quero meu espaço no músculo por um vetor adão que a 0 mas antes de continuar isso aqui vamos tentar manipular isso aqui um pouquinho pra melhorar pra gente vamos lá vamos fazer aqui uma manipulação só distribuiu isso aqui não vou ter a matriz a transposta vez meu ver torches - a matriz a transposta vezes essa projeção aqui uma vez a projeção onde eu fazer isso aqui não só faz isso de uma maneira um pouco diferente a gente viu aqui em cima ea gente tem que a projeção de xixi no meu subir passo verde vetor x no sub-paço pode ser dada por isso que ó né pô pela matriz a vezes y estão aqui no lugar da projeção de x no meu espaço vou utilizar o que vou utilizar vezes y utilizáveis y então aqui a gente pode utilizar a matriz a y bom mas você pode me perguntar mas quem é y né e aí ó y é esse vetor aqui com a gente pela matriz a música ficou pelo vetor y né é um vetor que a gente usava para encontrar no caso que nosso vetor há aqui a gente vai fazer a mesma coisa nesse caso aqui eu posso dizer que a projeção de x no mesmo espaço deu a isso aqui vai ser a mesma coisa que à vezes y né então aqui em baixo em vez de escrever a projeção de shinosuke espaço ver eu vou escrever a vez do vetor y então isso aqui ó e isso aqui são coisas semelhantes bom e tudo isso vai ser igual a quem estuda aqui vai ser igual a zero e se somarmos isso aqui dos dois lados nós teremos o seguinte o que teremos que a transporta vez meu ver torches vai ser igual a transposta vezes a matriz a vez do vetor y e lembre se que a gente tem uma coisa interessante a gente começou fazendo aqui a projeção do meu ver torches no meu subir passo ver aonde só que dava a vezes y esse y aqui é um vetor do tipo que y pertence no espaço rca e o que nós queríamos era chá y para que nós tivéssemos a solução do problema agora é possível resolver essa equação aqui em função de y então nesse caso que basta que a gente pega essa matriz aqui o multiplique uma pela outra o resultado dessa chris aqui nós multiplicamos nos dois lados pela sua inversa e nós temos a solução para o nosso problema bom eu não sei se você lembra mais disso aqui alguns vídeos atrás eu disse o seguinte ó eu disse que a cujas colunas cujas colunas cujas colunas são são lineares mente independente são linearmente independente o que acontece com esse tipo de matriz não posso dizer o seguinte então então então a transposta vezes a é sempre é sempre é sempre o que investi viveu né ou seja o resultado disso aqui sempre possui inversa então sempre investi viveu toda a razão pela qual fiz esse vídeo até então foi para mostrar esse momento aqui ó e neste caso aqui o que nós temos aí a gente foi aqui em cima né a nossa matriz a ela é com certeza linearmente independente porque esses vetores aqui os gestores coluna eles formam uma base para a nossa matriz estão todos esses vetores coluna que são linearmente independente então aqui ó é isso porque eles formam a base para o nosso espaço ver aqui a gente vai poder escreveu o seguinte ó a gente vai poder tomar o inverso no caso dessa matriz aqui a gente vai escrever assim ó a transposta a transposta vezes a é eu vou pegar o inverso disso é elevada - 1 então isso aqui vai ser x que vai ser x a transposta vezes x isso vai ser igual agora de novo vou utilizar inversa aqui ó a transposta vezes a só que elevada - um vai ser multiplicado por isso aqui ó pela transposta vezes a mesmo vetor y e aqui nesse caso quando a gente multiplica inversa é pelas matrizes o que vai dar o que vai dar matriz identidade então a gente vai poder escrever isso aqui é o da seguinte maneira então aqui ó esse meu vetor y aki vai ser igual aqui e se victor y vai ser igual à então a gente pode pegar isso tudo aqui então voltei aqui esta vezes a estudar aqui elevada - 11 vezes a resposta isso aqui vezes shishin intenso aqui vai ser uma zona de quem o valor de y estudar que surgiu porque a gente tinha projeção de x no mesmo espaço ver isso aqui era a vezes y nesse caso eu posso escrever a projeção de x no meu subir passo ver né como a exibição e ao já conheço e aqui também eu sei que y vai ser o que vai será transposta vezaro eu conheço tudo aqui porque eu conheço quem a eac vezes o meu ver torch então agora ficou bem mais fácil já que eu conheço todos os valores que eu tenho aqui ó então aqui a gente pode escreveu o seguinte a projeção a projeção de x no meu subir passo ver essa é igual a quem vai ser a visita aqui o mês ea epsilon isso aqui ó então basta basta repetir isso que o y é isso aqui então eu repetindo esse negócio aqui ó eu tenho a visibilidade então vamos fazer aqui ó avisar transposta meses a elevada - um vezes a transposta vez meu vetor x então ó eu tenho que isso aqui isso aqui com certeza é alguma triste é isso aqui é alguma alguma matriz essa matriz sempre vai existir né porque porque eu sei que aqui ó transposta precisar elevada - um sempre vai existir é uma vez que os vetores coluna lá eles são linearmente independente e nesse caso cabe mostrar você outra coisa se eu tenho um vetor esse vetor é multiplicado por várias matrizes que estou fazendo estou fazendo nesse futuro aqui aplicando nele uma transformação é uma transformação linear então é isso que está acontecendo no caso desse vetor ele está sofrendo uma transformação linear então eu estou falando aqui é que se você me 10 sub espaço veio tiver a base para substituir se vê logo já sei que a minha matriz a sabendo que me material posso calcular a matriz a transposta posso calcular uma matriz a transposta vez a minha matriz a posso calcular o inverso disso aqui fica todo mundo por xixi eu vou ter exatamente quem é essa projeção então eu consigo descobrir exatamente com essa projeção aqui bom isso talvez possa ser meio complicado fazer isso na mão assim né ou talvez você tenha achado sul meio difícil de fazer mas bom isso é muito utilizado na programação tridimensional só para dar uma idéia de como isso funciona vamos ver aqui embaixo imagina que eu tenho aqui por exemplo o objeto tridimensional vamos dizer que a gente tem aqui um no cubo então tem aqui um cubo e aí esse cubo aqui ó ele vai ser projetado nesse plano aqui tem um observador é olhando esse kubiak desse plano aqui ó o observador olha para esse clube o que ele vai ver ele vai ver isso aqui ó zé tem um plano aqui ele vai ver o que ele vai ver esses pontos aqui ó então qual é a visão que ele vai ter a partir desses pontes então vou ter que vários vetores que vão estar o que está se projetando nesse plano aqui então com isso aplicando essas transformações ele vai conseguir determinar que figura vai aparecer aqui nesse plano ou seja vou saber qual o ponto de vista desse observador e isso é um resultado muito útil bom eu espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo