Outro exemplo de matriz de projeção

RKA2G - Vamos considerar que temos um certo espaço vetorial "v", composto por todos os vetores x₁, x₂, x₃ que satisfazem o fato de que x₁ + x₂ + x₃ = 0. Observe que esse subespaço é um plano em R₃. E estamos interessados em encontrar uma matriz de transformação que nos dê a projeção de qualquer vetor "x" em R₃ sobre o espaço "v". Nós vimos em um vídeo anterior que é possível achar uma base para este subespaço e isso não é tão difícil de fazer. Para isso, vamos isolar x₁. x₁ seria, então, igual a -x₂ - x₃. E vamos parametrizar. Vamos supor que x₂ seja igual a uma certa constante c₂ e x₃ seja igual a uma certa constante (ou número real) c₃. Nós podemos reescrever o espaço vetorial "v" usando esta nova organização. "v" seria igual ao conjunto dos vetores compostos por x₁, x₂, x₃ e suas coordenadas, que são iguais a... Os parâmetros que nós temos são c₂ e c₃. Então, temos c₂ multiplicando um certo vetor, mais c₃ multiplicando outro vetor. Esta combinação gera os vetores do subespaço. Para fazer isso, vamos analisar um pouquinho aqui. x₁ é igual a -x₂ - x₃. Escrevendo usando os parâmetros, em vez de -x₂, eu tenho -c₂ e -x₃ seria -c₃. Ou seja, x₁ é menos uma vez c₂, menos uma vez c₃. Então, para compor o x₁, eu tenho: -1 vezes c₂ mais -1 vezes c₃. Para compor o x₂: x₂ é igual a c₂ (uma vez o c₂) e zero vezes o c₃. 1 vezes c₂ + 0 vezes c₃. E, finalmente, x₃ é igual a zero vez o c₂ mais uma vez o c₃, aqui está. Esta é outra maneira de definir o subespaço. Todos os vetores que satisfazem a esta igualdade satisfazem a esta condição. Isto também nos leva a poder dizer que o subespaço aqui é span, o subespaço que é gerado pelos vetores que estão aqui. Porque é o conjunto de todas as combinações lineares deste vetor e deste vetor. Então, "v" é o span dos vetores menos -1, 1, 0 e -1, 0, 1. "v" é o conjunto formado por todas as combinações lineares destes dois vetores. E nós sabemos que estes dois vetores constituem uma base porque eles são linearmente independentes Isso tudo nos permite, então, compor uma matriz cujas colunas são os dois vetores que geram o subespaço: -1, 1, 0 e -1, 0, 1. Esta matriz nos ajuda a obter a projeção de qualquer vetor "x" em R₃ sobre o espaço "v" através do cálculo já estudado, que é a matriz A multiplicando a inversa de A transposta multiplicada por A, tudo isso multiplicado pela transposta e, finalmente, tudo multiplicado pelo vetor "x". Bem, aqui nós poderíamos calcular A transposta multiplicada por A, depois obter a inversa do resultado, multiplicar novamente por A, por A transposta e ir trabalhando com isso. Entretanto, isso pode envolver algum trabalho exageradamente grande, embora seja perfeitamente factível. Mas vamos buscar um outro caminho. Vamos lembrar que, se "x" é um vetor em R₃, ele pode ser representado como uma soma de dois vetores: um vetor que eu vou chamar de "v", que pertence ao subespaço, mais um vetor chamado "w", que pertence ao complemento ortogonal do espaço. O vetor "v" pertencendo ao espaço "v" e o vetor "w" pertencendo ao complemento ortogonal de "v". E, por definição, este é a projeção de "x" sobre o espaço "v" e este é a projeção de "x" sobre o complemento ortogonal do subespaço "v". Então, nós podemos escrever que "x" é igual à projeção do vetor "x" sobre o subespaço "v" que estamos estudando, mais a projeção do vetor "x" sobre o complemento ortogonal do espaço "v". E qualquer vetor de R₃ pode ser representado desta maneira. Como nós vimos anteriormente, aqui temos uma transformação linear. Vamos definir aqui uma matriz chamada matriz B. Vamos também combinar que a projeção do vetor "x" sobre o complemento ortogonal de "v" vai ser igual a uma certa matriz, que vamos chamar de C, multiplicando o vetor "x". Tendo isto em mãos e lembrando da ideia da transformação linear, nós podemos reescrever aqui esta expressão da seguinte forma: o vetor "x", pensando na ideia de multiplicar por uma matriz, por se tratar de uma transformação linear, pode ser multiplicado pela matriz identidade de ordem 3, já que estamos em R₃. Lembre-se de que a identidade é um elemento neutro na multiplicação. Isto vai ser igual a... Vamos reescrever estas duas parcelas usando esta notação. A projeção de "x" sobre "v" pode ser trocada por B vezes "x". E aqui eu vou colocar B vezes "x". Mais... A projeção de "x" sobre o complemento ortogonal de "v", que é Cx. Vou escrever aqui a matriz C multiplicando "x". A expressão acima pode ser reescrita desta maneira. Agora, colocando "x" em evidência, nós estudamos as propriedades da multiplicação e da adição de matrizes e vimos que isso é perfeitamente possível, nós podemos reescrever a expressão anterior dizendo que a matriz identidade multiplicando "x" é igual a B + C... Estou colocando "x" em evidência... B + C multiplica "x", que era o fator comum. Isto nos permite chegar a uma outra conclusão. Se aqui nós temos o mesmo "x" nos dois lados da igualdade, aqui e aqui, podemos concluir que a matriz identidade de ordem 3 é igual a B + C. A matriz identidade de ordem 3 é igual a B + C. Mas nós queremos resolver isto para B, queremos descobrir quem é B. É isso que nós queremos descobrir. Então, subtraindo C dos dois lados, nós concluímos que B é igual à matriz identidade de ordem 3, menos a matriz C. Com isto em mente, nós podemos pensar em obter C. Vamos ver se é mais fácil isso. E sabendo o valor, conhecendo a matriz C, nós vamos rapidamente chegar à matriz B, que é quem nós procuramos. E, já que estamos pensando em trabalhar com a matriz C, vamos usar esta ideia aqui. Projeção de "x" sobre o complemento ortogonal do espaço "v" é igual a C vezes o vetor "x". "x" é um vetor qualquer em R₃. Vamos reorganizar o raciocínio aqui, reescrevendo o que é mesmo esse subespaço "v" que nós estamos analisando. Ele é o conjunto de todos os vetores de coordenadas x₁, x₂ e x₃ que satisfazem a equação x₁ + x₂ + x₃ = 0. Reescrevendo esta equação com a notação matricial, nós podemos simplesmente colocar 1, 1, 1, que multiplica a coluna x₁, x₂, x₃, a matriz coluna, isto igual a zero. Mas, se você se lembrar de vídeos anteriores, isto que temos aqui é o espaço nulo. É o espaço nulo desta matriz. Melhor dizendo: o espaço "v", com o qual nós estamos trabalhando, é o espaço nulo desta matriz, porque contém todos os vetores que satisfazem esta equação. "v" é o espaço nulo desta matriz linha que tem 1, 1, 1. É outra forma de escrevermos o mesmo espaço. Voltando aqui, onde escrevemos que "v" é o span desses dois vetores, isso acaba coincidindo com o espaço nulo de 1, 1, 1. Lembre-se de que temos que ter em mente que pode ser mais fácil trabalhar com a matriz C, que é a projeção de qualquer vetor sobre o complemento ortogonal do espaço "v", do que trabalhar com esta matriz toda aqui. Então, se temos aqui o espaço "v", o que é o complemento ortogonal de "v"? É o complemento ortogonal do espaço nulo desta matriz 1, 1, 1. É o complemento ortogonal do espaço nulo desta matriz. Mas, se você se lembrar de outros vídeos, o complemento ortogonal do espaço nulo de uma matriz A é igual ao espaço coluna da matriz A transposta. Voltando para cá, isto tudo fica sendo igual ao espaço coluna da matriz A transposta, que é 1, 1, 1. Ou seja, a transposta desta matriz, espaço coluna daquela matriz transposta. O que nos leva à conclusão de que o complemento ortogonal de "v", que é exatamente isto aqui, são os vetores gerados pelo que temos aqui. Nós temos aqui o span, o espaço gerado pelos vetores 1, 1, 1. Melhor dizendo, pelo vetor 1, 1, 1. Vamos visualizar o que temos aqui, o que é o espaço gerado, o span, deste vetor 1, 1, 1. Primeiro vamos lembrar que esta equação que gera "v", que determina "v", é um plano em R₃. Aqui temos "v" e o complemento ortogonal de "v" é o conjunto das combinações lineares deste vetor, o que é, nada mais nada menos, que uma reta. Por exemplo, aqui, uma reta que "fura" "v" neste ponto. Vamos agora construir uma matriz D, cujas colunas são compostas pelas coordenadas dos vetores que geram o complemento ortogonal do espaço "v". Nós já sabemos que quem gera o complemento ortogonal do espaço "v" é o vetor 1, 1, 1. Então, quando falamos desta matriz, falamos da matriz que tenha uma única coluna com os elementos 1, 1, 1. Isso foi estudado em vídeos anteriores, assim como o fato de que a projeção de qualquer vetor "x" sobre o complemento ortogonal de "v" é dada pela matriz D, multiplicada pela D transposta que multiplica D, tudo isso resultando em uma matriz e invertendo e, depois, multiplicando novamente por D transposta e tudo isso multiplicando o vetor "x". Assim se obtém a projeção de "x" sobre o complemento ortogonal do espaço "v". Ou seja isto que temos aqui é a matriz de transformação para esta projeção. Observe que, aqui, mesmo tendo esta expressão toda para trabalhar, a matriz envolvida é uma matriz coluna bem simples, se compararmos com a matriz A que tínhamos aqui, que seria usada para esta conta toda, para obter a projeção de "x" em relação ao espaço. Vamos trabalhar com o complemento ortogonal para facilitar e depois nós voltamos para a projeção de qualquer vetor "x" sobre o espaço "v". Reescrevendo aqui, a matriz D é esta matriz que você vê aqui acima. Nós temos aqui a matriz D, que multiplica agora a D transposta multiplicada por D. É o que você vê aqui, D transposta multiplicada por D, tudo isso invertido, depois multiplicado novamente pela D transposta e, finalmente, multiplicando "x". Vamos efetuar cuidadosamente, veja aqui. Em uma matriz com mais elementos, isto daria um trabalho bem maior. por isso, esta ideia vai nos ajudar bastante. Vamos começar pelos parênteses. Nós temos aqui uma linha por uma coluna, então, o resultado vai ser uma matriz 1 por 1, que eu vou colocar aqui. E, para obter o elemento dela, 1 vezes 1 dá 1, 1 vezes 1 dá 1, 1 vezes 1 dá 1 e 1 + 1 + 1 vai nos dar 3. Então, toda esta expressão, esta parte está resolvida aqui. Agora nós precisamos inverter esta matriz. Como nós vamos inverter a matriz de um único elemento, a matriz 1 por 1? O fato é o seguinte: você deve se lembrar de que a matriz A inversa, multiplicando a própria matriz A, resulta na matriz identidade, para qualquer ordem. Claro, matriz quadrada. Aqui, então, a matriz 3 inversa, multiplicando a própria matriz 3, tem que dar a inversa de ordem 1. Quem é a inversa de ordem 1? É aquela que tem apenas o elemento 1. E eu preciso fazer com que o elemento desta matriz, o elemento desta matriz aqui, o resultado, pensando no resultado da inversa, multiplicando a matriz unitária que tem só o 3, seja igual a 1. E para isso acontecer, eu tenho que arrumar um número que, vezes 3, resulte em 1. Quem é que, vezes 3, resulta em 1? Você já sabe que é 1/3. Então, aqui, isto aqui, vai ser substituído por 1/3. Vamos escrever. Aqui temos 1/3. Vamos agora efetuar esta multiplicação. Esta multiplicação vai resultar em uma matriz que tenha 3 linhas, porque a primeira tem 3 linhas, e apenas uma coluna, por causa da segunda. A multiplicação: primeiro, a primeira linha com a primeira coluna. 1 vezes 1/3 vai nos dar 1/3. Na segunda: 1 vezes 1/3 = 1/3. E, na terceira, a mesma coisa. Então, já temos a multiplicação efetuada. Isso ainda multiplica 1, 1, 1 e o resultado de tudo isso é a tal da matriz de transformação que multiplica "x". Efetuando, nós vamos ter uma nova matriz com 3 linhas, porque a primeira tem 3 linhas, e 3 colunas, porque a segunda tem 3 colunas. Vamos efetuar. Vamos fazer 1/3 vezes 1, primeira linha e primeira coluna, vai dar 1/3. Depois, primeira linha e segunda coluna, 1/3 vezes 1 de novo. Vai dar 1/3. Está óbvio que aqui tudo será 1/3, aqui também e, na última linha, também. E esta matriz, que é a matriz de transformação, multiplicando o vetor "x". Vamos nos localizar no que está sendo feito, voltando aqui atrás. Nós estamos procurando a matriz B E essa matriz B é a identidade de ordem 3, menos C. E quem é a matriz C? A matriz C é a matriz de transformação da projeção de um vetor "x" sobre o complemento ortogonal do espaço "v". Ou seja, a matriz C é exatamente o que nós temos aqui. Esta aqui é a original matriz C. Falta só agora obter a matriz B. Para obter a matriz B, vamos usar aquela relação que nós já tínhamos estabelecido no início, que é o fato de que a matriz B, que é quem procuramos, é a identidade de ordem 3, menos a matriz C. Então, a matriz B vai ser igual à identidade de ordem 3, ela é 1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1. 1 na diagonal principal e o resto, zero. Menos a própria matriz C, que nós temos aqui: 1/3, 1/3. Basta, agora, efetuar esta subtração, elemento a elemento. 1 inteiro menos 1/3 são 2/3. Zero menos 1/3 é -1/3. Zero menos 1/3 é -1/3. E assim por diante. Óbvio que, na diagonal principal, vamos ter 2/3 para todos os elementos e, no resto dos elementos, vamos ter -1/3. Finalizando, voltando ao início de todo o trabalho, o que nós procurávamos era isto: a projeção de "x", qualquer vetor em R₃ sobre "v". E essa projeção vai ser igual à matriz B, que acabamos de obter, multiplicando o vetor "x". Naturalmente, pode ser conveniente reescrever o que temos aqui, colocando o 1/3, que aparece em todos os elementos desta matriz, para fora dela, ou seja, colocar 1/3 multiplicando 2 aqui, -1 aqui, -1, -1, 2, -1, -1, -1, 2. E isto, naturalmente, multiplicando o vetor "x". Ou seja, com este trabalho magnífico, nós conseguimos obter a projeção de qualquer vetor em R₃ sobre este espaço vetorial "v" com o qual nós estávamos trabalhando. Até o próximo vídeo!