Projeção é o vetor mais próximo no subespaço

RKA3JV - Vamos supor que temos um subespaço vetorial "V" em R3, que seja um plano aqui, um plano em R3. Este plano é o subespaço "V". Vamos considerar agora que temos um vetor "x" qualquer em R3. Este aqui seria o vetor "x". Vamos supor que temos aqui o vetor zero, e o que eu quero mostrar, com este vídeo, é que a projeção do vetor "x" sobre o subespaço "V" é o vetor mais próximo possível de "x". Vamos desenhar para poder entender um pouco melhor. A projeção do vetor "x" sobre o espaço "V", seria algo como isto, projeção de "x" sobre o subespaço "V". Vamos agora desenhar aqui um outro vetor qualquer no nosso subespaço. Por exemplo, aqui um vetor, vamos chamar este vetor de vetor "v", ele está no plano que é o nosso subespaço. O que eu quero mostrar a você é que a distância de "x" até a sua projeção sobre "v" é menor que a distância de "x" até qualquer outro vetor do subespaço. De fato, aqui você pode ver que esta linha é maior que esta, mas aqui é uma situação particular. Um exemplo, vamos provar que essa ideia é geral. A distância entre "x" e a sua projeção é justamente esta distância aqui, "x" menos a projeção de "x" sobre "v". A norma disto é a norma da distância, ou seja, a distância de "x" até a sua projeção no subespaço "V". E esta definição coincide exatamente com este vetor aqui que eu vou chamar de "a". E esse vetor "a" está claramente no complemento ortogonal de "V". Aliás, isso se refere à definição de projeção. E o que eu quero mostrar, neste vídeo, é que o vetor "a", a distância, a norma dele, esta distância é menor que ou igual a qualquer outra distância de "x" a um vetor do espaço vetorial. Por exemplo, a distância entre "x" e o vetor "v", qualquer que eu marquei aqui, poderia ser indicada por este vetor em vermelho. Aqui eu tenho o vetor "x - v". Se você fizer o contrário, ou seja, o vetor "v" mais o vetor "x - v", o resultado é o vetor "x". O que nós queremos mostrar é que o vetor "a", o comprimento do vetor "a" é menor que o comprimento do vetor "x - v". Voltando, então, o vetor "a" que é este aqui, cujo comprimento é este aqui, o comprimento de "a" é menor que, queremos mostrar que é menor que ou igual ao comprimento da distância. Ou seja, a distância entre "x" e qualquer vetor do subespaço vetorial que estamos estudando. Para fazer este estudo, primeiro eu vou marcar aqui um novo vetor. Eu vou chamar este vetor aqui de vetor "b", e aqui nós podemos ver que o vetor "b" mais o vetor "a" resulta neste vetor vermelho "x - v", b + a = x - v. Bem, vamos trabalhar com isso. Se eu pegar a distância entre "x" e "v", ou seja, a norma de "x - v" e elevar ao quadrado, isto tem que ser igual à norma, veja, o "x - v" que era este aqui, é igual ao "b" mais o "a". Então, a norma de |(x - v)|² tem que ser igual à norma de |(b + a)|². Agora é hora de lembrar uma outra informação, que a norma de um vetor ao quadrado é o produto escalar dele por ele mesmo. Então, aqui nós temos "b + a", que é um vetor, produto escalar com ele mesmo que é o "b + a". E nós sabemos que aqui vale a propriedade distributiva para o produto escalar. Continuando, então, nós teríamos que isto vai ser igual ao produto escalar de "b" por "b", mais o produto escalar de "a" por "b" e, depois, de "b" por "a". Então, 2 vezes o produto escalar de "a" por "b". Lembre-se de que produto escalar é um número, mais o produto escalar de "a" por "a". Vamos lembrar que o "b" pertence ao subespaço, e o "a" é notadamente ortogonal a qualquer vetor do subespaço. E o produto escalar de dois vetores ortogonais é zero. Então, este trecho aqui do cálculo é zero. Então, esta expressão pode ser simplificada da seguinte forma. "b" escalar com "b" é igual à norma, o comprimento, de b², mais, a mesma coisa aqui para o "a", norma de a². Organizando aqui, então. O que nós queremos dizer é que a distância entre "x" e um vetor qualquer do subespaço ao quadrado é igual ao comprimento de b² mais o comprimento de a². Mas aqui nós podemos observar outra coisa, este número é notadamente maior que ou igual a zero, de forma que nós podemos garantir que esta expressão toda é maior que ou igual ao módulo, à norma, de a². Em outras palavras, a distância entre "x" e um vetor qualquer "v" do espaço vetorial que estamos estudando, ao quadrado, é maior que o módulo, a magnitude de a². O que nos permite concluir, já que a norma, o módulo é sempre positivo, então eu posso extrair a raiz quadrada dos dois lados sem problemas com o sinal. O módulo de "x - v", que é a distância entre "x" e "v", é maior que ou igual ao módulo de "a". Ora, mas o que é o vetor "a"? O vetor "a" é a distância entre "x" e a projeção de "x" no subespaço "v". E o que nós temos aqui de conclusão a partir de todo esse trabalho? Temos que o módulo de "x - v", a distância entre "x" e um vetor "v" qualquer dos subespaços estudado é sempre maior que ou igual ao "a". E o "a" é a distância entre o "x" e a sua projeção sobre o espaço vetorial "v". Isto mostra justamente o que nós havíamos proposto no início do vídeo. A distância entre um vetor e a sua projeção no espaço vetorial, que é esta distância, é esta projeção, esta distância aqui, é sempre menor que a distância ou igual à distância entre "x" e qualquer outro vetor do espaço vetorial que, neste caso, é o plano. Esta distância que está em vermelho é sempre maior que esta distância que está em verde. Como nós queríamos demonstrar. É isso, demonstração simples! Até o próximo vídeo!