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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 3
Lição 2: Projeções ortogonais- Projeções em subespaços
- Visualização de uma projeção em um plano
- Uma projeção em um subespaço é uma transformação linear
- Exemplo de matriz de projeção de subespaço
- Outro exemplo de matriz de projeção
- Projeção é o vetor mais próximo no subespaço
- Aproximação de mínimos quadrados
- Exemplos de mínimos quadrados
- Outro exemplo de mínimos quadrados
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Projeção é o vetor mais próximo no subespaço
Mostrando que a projeção de x em um subespaço é o vetor mais próximo no subespaço para x. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Vamos supor que temos
um subespaço vetorial "V" em R3, que seja um plano aqui,
um plano em R3. Este plano é o
subespaço "V". Vamos considerar agora que
temos um vetor "x" qualquer em R3. Este aqui seria
o vetor "x". Vamos supor que temos
aqui o vetor zero, e o que eu quero mostrar,
com este vídeo, é que a projeção do vetor "x"
sobre o subespaço "V" é o vetor mais próximo
possível de "x". Vamos desenhar para poder
entender um pouco melhor. A projeção do vetor "x"
sobre o espaço "V", seria algo
como isto, projeção de "x"
sobre o subespaço "V". Vamos agora desenhar aqui um outro
vetor qualquer no nosso subespaço. Por exemplo,
aqui um vetor, vamos chamar este
vetor de vetor "v", ele está no plano que é
o nosso subespaço. O que eu quero mostrar a você
é que a distância de "x" até a sua
projeção sobre "v" é menor que a distância de "x"
até qualquer outro vetor do subespaço. De fato, aqui você pode ver que
esta linha é maior que esta, mas aqui é uma
situação particular. Um exemplo, vamos provar
que essa ideia é geral. A distância entre "x" e a sua projeção
é justamente esta distância aqui, "x" menos a projeção
de "x" sobre "v". A norma disto
é a norma da distância, ou seja, a distância de "x"
até a sua projeção no subespaço "V". E esta definição coincide exatamente com
este vetor aqui que eu vou chamar de "a". E esse vetor "a" está claramente
no complemento ortogonal de "V". Aliás, isso se refere
à definição de projeção. E o que eu quero
mostrar, neste vídeo, é que o vetor "a",
a distância, a norma dele, esta distância
é menor que ou igual a qualquer outra distância de "x"
a um vetor do espaço vetorial. Por exemplo,
a distância entre "x" e o vetor "v", qualquer
que eu marquei aqui, poderia ser indicada por
este vetor em vermelho. Aqui eu tenho
o vetor "x - v". Se você fizer
o contrário, ou seja, o vetor "v"
mais o vetor "x - v", o resultado
é o vetor "x". O que nós queremos mostrar
é que o vetor "a", o comprimento do vetor "a" é menor que
o comprimento do vetor "x - v". Voltando, então, o vetor "a"
que é este aqui, cujo comprimento
é este aqui, o comprimento de "a"
é menor que, queremos mostrar que é menor que
ou igual ao comprimento da distância. Ou seja, a distância
entre "x" e qualquer vetor do subespaço
vetorial que estamos estudando. Para fazer este estudo, primeiro
eu vou marcar aqui um novo vetor. Eu vou chamar este
vetor aqui de vetor "b", e aqui nós podemos ver que
o vetor "b" mais o vetor "a" resulta neste vetor vermelho "x - v",
b + a = x - v. Bem, vamos
trabalhar com isso. Se eu pegar a distância
entre "x" e "v", ou seja, a norma de "x - v"
e elevar ao quadrado, isto tem que ser
igual à norma, veja, o "x - v"
que era este aqui, é igual ao "b"
mais o "a". Então, a norma de |(x - v)|²
tem que ser igual à norma de |(b + a)|². Agora é hora de lembrar
uma outra informação, que a norma de um vetor ao quadrado
é o produto escalar dele por ele mesmo. Então, aqui nós temos
"b + a", que é um vetor, produto escalar com
ele mesmo que é o "b + a". E nós sabemos que aqui vale a propriedade
distributiva para o produto escalar. Continuando, então, nós teríamos que isto vai ser igual
ao produto escalar de "b" por "b", mais o produto
escalar de "a" por "b" e, depois,
de "b" por "a". Então, 2 vezes o produto
escalar de "a" por "b". Lembre-se de que produto
escalar é um número, mais o produto escalar
de "a" por "a". Vamos lembrar que o "b"
pertence ao subespaço, e o "a" é notadamente ortogonal
a qualquer vetor do subespaço. E o produto escalar de dois
vetores ortogonais é zero. Então, este trecho aqui
do cálculo é zero. Então, esta expressão pode
ser simplificada da seguinte forma. "b" escalar com "b" é igual
à norma, o comprimento, de b², mais, a mesma coisa
aqui para o "a", norma de a². Organizando
aqui, então. O que nós queremos
dizer é que a distância entre "x" e um vetor
qualquer do subespaço ao quadrado é igual ao comprimento de b²
mais o comprimento de a². Mas aqui nós podemos
observar outra coisa, este número é notadamente
maior que ou igual a zero, de forma que nós podemos
garantir que esta expressão toda é maior que ou igual
ao módulo, à norma, de a². Em outras palavras, a distância
entre "x" e um vetor qualquer "v" do espaço vetorial que estamos
estudando, ao quadrado, é maior que o módulo,
a magnitude de a². O que nos permite concluir, já que
a norma, o módulo é sempre positivo, então eu posso extrair a raiz quadrada
dos dois lados sem problemas com o sinal. O módulo de "x - v",
que é a distância entre "x" e "v", é maior que ou igual
ao módulo de "a". Ora, mas o que
é o vetor "a"? O vetor "a" é a distância entre "x"
e a projeção de "x" no subespaço "v". E o que nós temos aqui de conclusão
a partir de todo esse trabalho? Temos que
o módulo de "x - v", a distância entre "x" e um vetor "v"
qualquer dos subespaços estudado é sempre maior que
ou igual ao "a". E o "a" é a distância entre
o "x" e a sua projeção sobre o espaço
vetorial "v". Isto mostra justamente o que nós
havíamos proposto no início do vídeo. A distância entre um vetor e
a sua projeção no espaço vetorial, que é esta distância,
é esta projeção, esta distância aqui, é sempre menor que a distância
ou igual à distância entre "x" e qualquer outro vetor
do espaço vetorial que, neste caso,
é o plano. Esta distância
que está em vermelho é sempre maior que esta
distância que está em verde. Como nós
queríamos demonstrar. É isso, demonstração simples!
Até o próximo vídeo!