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Transcrição de vídeo

há muitos vídeos atrás nós introduzimos a idéia de projeções só que essas projeções que a gente fazia geralmente eram projeções que passavam pela origem e vamos dizer que nós tivéssemos uma linha l que essa linha é lhe fosse o espaço gerado no que ela fosse o espaço gerado vamos dizer pelo vetor ver eu poderia ainda dizer que ele é igual a ser c é uma constante qualquer arbitrárias servir esses ver de forma que ser é o número pertencente ao conjunto dos números reais né então isso aqui é uma linha que passa pela origem então nós podemos projetar qualquer vetor dentro dessa linha aqui então vamos dizer que eu tenho meus eixos tanque o tema e os eixos nettheim os dois bichos aqui temos dois eixos e vamos dizer que aqui tem a linha que passa pela origem traz a linha aqui é a linha l então se nós tivermos um vetor xis aqui né vamos dizer que seja o nosso vetor x que nós vamos fazer é como se já estivessem empurrando aqui para baixo né e é o que vai acontecer eu vou ter uma projeção bem aqui ó vou ter uma projeção bem aqui em cima também em cima da reta l e isso aqui ó eu vou chamar de projeção tanto chamar de projeção né dx na reta era então produção de x na reta l e nós definimos aqui de uma maneira um pouco mais formal dizendo que x - a projeção de xis na reta é lhe daria um outro vetor que se é perpendicular à reta l ou ainda perpendicular à qualquer vetor que estivesse na reta l tanto faz isso aqui é bem fácil de ver né basta você pegar o xis aqui ó o projeto aqui em cima da reta ele é bom e sem sombra de dúvida que você pode ver é que essa reta é que essa linha l vai ser um substrato válido uma vez que por exemplo ele já tem aqui ó ele já tem aqui o vetor nulo ele é fechado para a multiplicação de escalar e quaisquer dos vetores que eu sou mas dentro dessa linha e que vai continuar a cair dessa dentro dessa linha l então ele também é fechado para a soma de vetores então sem sombra de dúvidas aqui um substrato porque é assim que a gente definir o substituo aço então posso fazer aqui a projeção de x pensando aqui e no meu vetor ver né posso pegar um vetor ver e pensar na projeção de x não posso escrever assim a projeção a projeção na reta l neto aqui do meu vetor do meu vetor xixi aqui do evento a china é igual que só que será igual à x a gente já viu isso aqui xv x vezes vez sobre sobre ver vezes vê então aqui eu tenho cumprimento de do dove ao quadrado então aqui eu vou ter um número mas de um vetor que vai tá dentro da minha é da minha reta l mas eu não sei o tamanho exatamente desse vetor então aqui eu vou multiplicar por ver né já que ele vai ser uma ampliação do vetor ver vamos dizer por exemplo que o vetor ver pudesse ser isso aqui ó é o vetor que expande aqui toda minha reta minha linha l e que poderia ser qualquer retorno e qualquer retorno fosse o nulo expandir toda essa linha l aquila é por um lado para o outro então isso aqui é um subtipo passo válido é característica que nesse caso mas agora o que nós vamos fazer é ampliar essa idéia de projeção para a qual quer subir passo e vamos fazer isso aqui é só colocar uma linha aqui para dividir isso vamos dizer que eu saiba que o que vê é um sub espécie então vê é um sub espécie aço vê é um sub espaço de rn não viram subir passo de rn tá e aí eu tenho que se viam subir passo de rn então aqui o complemento ortogonal dever também também os hubs passo então também também é um sub passo então esse aqui também os hubs passo a gente já viu isso aqui em vídeos anteriores e aí o que nós já sabemos é que se eu pegar um vetor qualquer pertencente ao rn então pega um vetor x ac pertencente ao rn o que vai acontecer x pode ser inscrito como sendo a soma de um vetor ver mais um vetor w onde ver onde vê pertence onde ver pertence a ver e w é w pertence ao complemento ortogonal dever apenas isso nós vimos aqui há vários vídeos atrás e nós provamos isso kerche pertencente ao rn agora dando isso a gente pode fazer a projeção a projeção de x né aqui no nosso sub espaço ver bom aqui gente tem é x governo mas w só que eu vou pegar apenas a parte que não é ortogonal seja apenas aqui o v é isso aqui vai ser igual ao meu vetor ver de forma alternativa você pode dizer que a projeção que a projeção de xixi né aqui em v só que no complemento ortogonal dever ortogonal isso aqui agora vai ser w né justamente pelo mesmo motivo anterior então essa é uma projeção em relação a ver isso aqui uma projeção em relação a ver isso aqui é uma projeção em relação ao complemento ortogonal de ver então eu quero mostrar aqui que subisse passos aqui ó eles vão ser e joão se igualmente válidos né na sentença o equivalente quando a gente fez aqui a nossa linha nesse espaço que é uma linha l então isso vai valer tanto aqui como aqui nesse espaço ver aqui o lógico nem todos os hubs passo não ser uma linha esse caso que eu subisse passo é uma linha mas nem sempre a subir espaço vai ser uma linha vão achar que isso vale para qualquer substância isso e para resolver isso podemos revisitar um exemplo que nós vimos alguns vídeos atrás então vamos fazer isso aqui a gente tem uma matriz a dois por dois um vetor b e aqui a gente queria solução para esse problema que a china guabi né a gente queria solução pra esse programa que é x globe que a gente fez isso tudo para mostrar que essa solução aqui ó era o único que era menor solução possível eu espero que você consiga lembrar um pouquinho aí que nós fizemos nos outros vídeos então deixe me fazer um gráfico isso aqui você talvez até lembre o que nós fizemos nos outros vídeos vou fazer aqui outro eixo bom e aqui o que eu vou fazer a primeira coisa que eu vou colocar o meu espaço no dia eu não vou fazer a conta de novo porque a gente nem como é que faz então eu quero fazer aqui é colocar o espaço no jack dentro de si gráfico mas eu sei que esse espaço número de aerial vai ser gerado por quem por esse feito aqui pelo vetor 23 estão aqui a gente vai marcar 23 nec 12 vamos marcar 3 a 2 e 3 então o nosso ponto vai ser mais ou menos esse ponto aqui a gente vai desenhar o nosso vetor de acordo com esse ponto vai ficar algo assim vetor 23 mas a gente sabe que esse vetor aqui ele vai se expandir então ele pode expandir tanto pra cá com pra cá ele vai ter todo o espaço aqui né o espaço no día estão avaliando tanto os vetores pra cá quanto pra cá né basta multiplicar esse esse vetor ali por um escalar o positivo ou negativo a gente está usando o vetor 23 mas qualquer vetor que aqui dentro pertence ao espaço no the atom isso aqui ó esse aqui é o espaço no espaço no da matriz acho passo dessa matriz aqui agora nós vamos fazer a mesma coisa que o nosso espaço linha repare que a gente vai utilizar só a primeira linha aqui né a segunda linha na verdade acabou sendo uma combinação de merda primeira então a gente vai pegar aqui ó e vai traçar o esse vetor aqui 3 - 2 tô aqui já tem 12 ac3 netão 123 aqui - 1 - 2 vai estar mais ou menos aqui assim é o nosso ponto mais ou menos aqui é assim ea gente vai que vai ser o nosso vetor eu estou desenhando esse vetor aqui na posição padre um extintor novamente está desenhado na posição padrão porém o que acontece toda linha pra cá né toda a linha que para essa direção é difícil desenhar aqui né sem deixar curvo isso e aqui também a turma da linha que nessa direção então toda essa linha que faz parte do meu espaço linha de área então isso aqui o espaço linha de arnesto aqui o espaço linha de ar que é a mesma coisa que o espaço coluna da matriz a transposta tanto faz e você pode ver o que esses dois eixos aqui eles são totalmente ortogonais portanto nós sabemos aqui o espaço no día espaço no día é igual ao complemento ortogonal do espaço linha de a né só que eu comprometo ortogonal de espaço linha de água e nós sabemos também que o complemento ortogonal do espaço no dia a igual ao espaço linha de a neta isso aqui é só que significa a mesma coisa isso é igual a isso e isso aqui também inglês portanto espaço no mundial ortogonal espaço linha de assim como espaço linha já é ortogonal espaço no día logo nesse caso aqui essas duas retas a versão ortogonais e na verdade qualquer vetor aqui dentro dessas duas eles podem montar qualquer vetor dentro do r2 porque nesse caso aqui ó a gente está no r 2 nesse caso aqui a gente está no r 2 vamos dizer por exemplo que eu quisesse um vetor aqui assim ó eu quisesse um vetor aqui assim como eu poderia fazer uma combinação linear aqui de um membro do espaço linha e de um membro do espaço nulo para que eu caísse exatamente nesse setor então nesse caso poderia pegar esse vetor aqui ó diretoria esse vetor aqui esse vetor aqui exatamente em cima e esse outro aqui o que mais ou menos aqui mesmo nesse outro vetor aqui então esses dois vetores a esses dois vetores vão ser capazes dia chegar a esse ponto aqui a soma desses dois vetores vão gerar esse ponto aqui ou seja vão gerar o vetor né que vai de zero zero até esse ponto então aqui bastaria pegar esse vetor e adicionar aquilo afinal não adiciona esse vetor aqui no final aí eu voltei exatamente o que exatamente é esse ponto aqui eu poderia traçar um outro vetor aqui e agora vamos ver o que significa isso aqui né porque significa a solução desse problema então nós temos aqui o 30 mas esse outro vetor aqui nesse caso aqui olha só homogênea né não tenho aqui o vetor 30 ele vai ter a mesma inclinação do espaço no diana reparo aqui ó só que deslocado três casas então a 30 tá aqui ó 30 tá aqui a gente andou até aqui e tá aqui o que a gente vai fazer a gente vai fazer aqui o nosso vetor 23 então daqui a gente vai fazer o nosso vetor 23 que está mais ou menos aqui assim mas aqui é ser vezes 23 então toda reta toda a reta é ser uma solução toda essa reta aqui ó vai ser uma solução para a x biguá berton toda essa reta é uma solução para a x guabi portanto aqui o importante aqui é o nosso conjunto conjunto solução é que o conjunto solução a que eu com solução dessa nossa equação aqui talvez você se lembra do que eu falei eu disse a você o seguinte que você pode ter aqui um membro que faça parte desse conjunto solução e que ao mesmo tempo faça parte do espaço linha de ar neste caso aqui ele vai ser o victor mais curto que resolve esse problema ele vai ser o menor vetor e o único vetor que está nessa situação que pertencer ao espaço linha de a e ser parte do conjunto solução desse problema você pode acabar vendo né e se esse vetor bem aqui ó esse aqui é o victor que têm essa propriedade ele faz parte aqui do meu espaço linha e ao mesmo tempo ele é uma solução de sistema você pode ver que também é que ele é menor solução nem qualquer outra que vai ser maior do que ele então pensando aqui em projeções você poderia por exemplo diz jorge só trocar a cor aqui você poderia ter um vetor aqui assim então vamos dizer que você tivesse um vetor aqui é assim né então a gente tem esse vetor aqui ea gente sabe qualquer vetor não é qualquer aventura que no espaço r2 não vai ter um ponto aqui ele pode ser ele pode ser composta por outros dois vetores é um vetor aqui do meu espaço linha eo victor do meu espaço no então aqui ó eu já tenho o espaço linha aqui embaixo é que o meu retorno do espaço linha e eu posso utilizar aqui ó um vetor o vetor do espaço nulo então a soma desses dois vetores never todo o espaço linha mas a estrutura do espaço no da exatamente esse outro vetor aqui claramente esse vetor aqui ele é um vetor que pertence ao espaço no día ele só está deslocado não está na posição padrão original então basta que você desloca até aqui ele vai perder seu espaço no ceará ele tem a mesma inclinação então aqui nós temos um ponto nesse ponto aqui a solução não qualquer vetor que saia daqui cheguei a esse ponto é solução porque caí em cima do conjunto solução então a gente tem aqui ainda ó agente conseguiu aqui uma solução neta que a gente tenha uma solução esse vetor aqui que é composto por esses dois outros vetores 1 do espaço linha 1 do espaço no esse outro vetor aqui ele é uma solução para o nosso problema e aqui ó eu posso escrever aqui o extintor aqui na verdade ele pode ser considerado como uma projeção desse vetor rosa que o tanto de escrever isso é se vai ser o que é se vai ser aqui algum vetor a algum vetor do meu espaço linha mas algum outro vetor aqui no caso do meu espaço no dia a então é a soma desses dois vetores então aqui eu vou fazer a projeção então vou fazer projeção s na projeção de s aonde fazer projeção de s aqui ó meu espaço linha de artur fazer projeção ds no espaço linha de área então isso aki vai ser igual a r aqui igual a r nesse caso ele não vai aparecer porque a projeção aqui ó que daria aquino n é projeção do espaço nulo e aqui eu tô querendo a projeção do espaço linha de área bom e nesse caso aqui eu quero mostrar a você que essa nossa definição é idêntica a definição que nós já fizemos antes e justamente porque porque esse cara aqui ó é um espaço linha só que é uma linha então vale a mesma coisa do que a gente já viu antes e portanto vamos encontrar aqui um conjunto de soluções para isso aqui tá bom então a mais fácil solução não é a solução mais simples que a gente pode t é colocando esse aqui ó exame ser igual a zero então a minha solução vai ser o que vai ser o vetor 30 então decidi escrever isso aqui vou escrever que x é igual a 30 é uma solução é uma solução para esse problema então é uma é uma solução é isso que eu vou escrever é uma solução para esse problema aqui né ashes igual a b e aqui olha está representado por esse setor nessa que o vetor 30 que também é uma solução aqui pra gente mas o que nós queremos encontrar a solução mais curta nós queremos fazer a projeção de qualquer um desses vetores aqui no nosso espaço linha por outro lado gostaria que a gente fizesse projeção nessa linha aqui né e essa linha que exatamente nosso espaço linha então aqui ó quando trata da projeção de um espaço linha no trato da projeção de um espaço linha isso aqui vai se idêntico aquela projeção que eu fiz para linha porque nesse caso aqui o meu subir passo é uma linha não necessariamente precisa ser uma linha mas nesse caso aqui é então vai ser idêntico então nesse caso aqui a gente vai escrever que a projeção do que a projeção do nosso vetor 30 aqui no nosso espaço linha então aqui no nosso espaço linha vai ser igual à então aqui eu vou colocar um vetor 30 e aqui eu vou fazer vezes agora eu preciso do vetor que gera o espaço linha tão bom qual o vetor que gere o espaço linha vamos ver aqui em cima então aqui o vetor 3 - 2 então que voltar aqui toque o vetor 3 - 2 posso colocar aqui 3 - 2 e aqui em baixo é ele vezes ele mesmo então 3 - 23 - 2 vezes e fez 3 - 2 e o resultado disso tudo aqui vai ser multiplicado ao vetor 3 - 2 é isso então vamos lá aqui o que está acontecendo a gente vai calcular a projeção do vetor 30 no nosso espaço linha então a gente vai pegar esse vetor aqui ea projeção dele vai bater exatamente aqui ó nessa reta aqui então é isso que a gente está calculando quando a gente utiliza aqui o nosso espaço linha então vamos lá vamos resolver isso aqui agora então a gente tem aqui ó aqui vai ter três vezes três então a gente tem três vezes três maseru vezes menos dois é isso aqui vai dar certo aqui tudo isso aqui tudo vai dar estudo que vai dar 9 então aqui eu tenho três vezes trecho da 9 - duas vezes - dois a mais quatro nós mais quatro só que vai dar disse que vai dar 13 então aqui vai ser igual e chegou a 9 sobre 13 vezes esse setor aqui vezes o vetor 3 - 2 e aí convencer o resultado disso foi o resultado de saque vai ser um novo vetor que vai ser o 27 três juízes 9 27 sobre 13 e aqui em baixo - menos duas vezes 9 18 então -18 sobre -18 sobre 13 então esse é o meu vetor 27 13 anos - 18 13 anos e nesse caso esse vetor é exatamente isso aqui ó é a solução mais curta então isso aqui são as coordenadas desse vetor aqui e aqui a gente tem exatamente a mesma resposta que a gente achou em outros vídeos embora nesses outros vídeos a gente não tenha feito utilizando essa idéia de projeção e neste caso aqui a gente viu que funciona a nossa definição que é mais ampla da nossa definição mais ampla funciona bem nesse caso a gente fez aqui em cima de uma linha mas a nossa definição ficou perfeita nesse ponto agora aqui em cima aqui em cima define isso aqui de uma maneira bem geral então aqui em cima está definido de uma maneira bem geral tenham recuado aqui ó é para aqui que eu falei que essa projeção ela vai servir em qualquer substrato então aqui eu dei uma boa pista para você né de quem você vai ter que descobrir vai ter que descobrir quem se vê aqui então nesse caso ainda não mostrei como é que vou fazer isso porque na verdade eu vou jogar isso aqui numa linha na verdade eu peguei isso aqui eu vou fazer uma transformação linear nesse nosso espaço aqui e isso eu vou fazer no próximo vídeo então espero que vocês tenham gostado e assista o próximo vídeo