Projeções em subespaços

RKA4JL - Há muitos vídeos, nós introduzimos a ideia de projeções, só que essas projeções que a gente fazia geralmente eram projeções que passavam pela origem. Vamos dizer que nós tivéssemos uma linha L e que essa linha L fosse o espaço gerado, vamos dizer, pelo vetor v. Eu poderia ainda dizer que L é igual a c, uma constante qualquer arbitrária, c vezes v, de forma que c é o número pertencente ao conjunto dos números reais. Então isso aqui é uma linha que passa pela origem. Nós podemos projetar qualquer vetor dentro dessa linha aqui. Vamos dizer que eu tenha meus eixos, então tenho meus eixos, os dois eixos aqui e vamos dizer que aqui eu tenha a linha que passa pela origem. Então essa linha aqui é a linha L. Se nós tivermos um vetor x aqui, vamos dizer que seja o nosso vetor x, o que nós vamos fazer? É como se já a gente estivesse empurrando isso para baixo. O que vai acontecer? Eu vou ter uma projeção bem aqui, vou ter uma projeção bem em cima da reta L. Isso aqui eu vou chamar de projeção de x na reta L. Nós definimos isso aqui de uma maneira um pouco mais formal dizendo que x menos a projeção de x na reta L daria um outro vetor que seria perpendicular à reta L, ou ainda perpendicular a qualquer vetor que estivesse na reta L, tanto faz. Isso aqui é bem fácil de ver, basta você pegar x e projetar aqui em cima da reta L. Sem sombra de dúvida o que você pode ver é que essa reta L, essa linha L vai ser um subespaço válido uma vez que, por exemplo, ele já tem aqui o vetor nulo, ele é fechado para a multiplicação de escalar e quaisquer dois vetores que eu somar dentro dessa linha L vão continuar a cair dentro dessa linha L. Então ele também é fechado para a soma de vetores. Sem sombra de dúvidas, isso aqui é um subespaço porque é assim que a gente define um subespaço. Então posso fazer a projeção de x pensando no meu vetor v. Posso pegar meu vetor v e pensar na projeção de x. Então posso escrever assim: a projeção na reta L, do meu vetor x vai igual ao quê? Isso será igual a x, a gente já viu isso, (x vezes v) sobre v vezes v, então aqui eu tenho o comprimento do v². Aqui vou ter um número, mas de um vetor que vai estar dentro da minha reta L. Eu não sei o tamanho exatamente desse vetor, então aqui eu vou multiplicar por v, já que ele vai ser uma ampliação do vetor v. Vamos dizer, por exemplo, que meu vetor v pudesse ser isso aqui, o vetor que expande toda minha reta, minha linha L. E aqui poderia ser qualquer vetor, qualquer vetor que não fosse nulo expandiria toda essa linha L para um lado ou para o outro. Então isso aqui é um subespaço válido e característico neste caso. Mas agora o que nós vamos fazer é ampliar essa ideia de projeção para qualquer subespaço. Vamos fazer isso aqui, deixe-me só colocar uma linha para dividir isso. Vamos dizer que eu saiba que v é um subespaço de Rⁿ. v é um subespaço de Rⁿ. Agora eu tenho que se v é um subespaço de Rⁿ, então aqui o complemento ortogonal de v também é um subespaço. Então esse aqui também é um subespaço. A gente já viu isso aqui em vídeos anteriores. E o que nós já sabemos é que se eu pegar um vetor qualquer pertencente ao Rⁿ, o que vai acontecer? x pode ser escrito como sendo a soma de um vetor v mais um vetor w, onde v pertence a v e w pertence ao complemento ortogonal de v. Apenas isso. Nós vimos isso vários vídeos atrás e provamos isso para qualquer x pertencente ao Rⁿ. Agora, dado isso, a gente pode fazer a projeção de x em nosso subespaço v. Aqui gente tem que x é igual a v mais w, só que eu vou pegar apenas a parte que não é ortogonal, ou seja, apenas v. Isso vai ser igual ao meu vetor v. De forma alternativa, você pode dizer que a projeção de x em v, só que no complemento ortogonal de v, isso aqui, agora, vai ser w justamente pelo mesmo motivo anterior. Então essa é uma projeção em relação a v e isso aqui é uma projeção em relação ao complemento ortogonal de v. Então o que eu quero mostrar é que esses subespaços vão ser igualmente válidos, então nessa sentença são equivalentes, quando a gente faz a nossa linha nesse subespaço aqui, que é uma linha L. Então isso vai valer tanto aqui quanto aqui, nesse subespaço v. Lógico que nem todos os subespaços vão ser uma linha. Neste caso aqui o subespaço é uma linha, mas nem sempre o subespaço vai ser uma linha. Vou achar que isso vale para qualquer subespaço. Para resolver isso podemos revisitar um exemplo que nós vimos alguns vídeos atrás. Então vamos fazer isso. Aqui a gente tem uma matriz A dois por dois, um vetor b e aqui a gente queria solução para o problema Ax igual a b. A gente queria a solução para esse problema, Ax igual a b. A gente fez isso tudo para mostrar que essa solução aqui era a única que era a menor solução possível. Eu espero que você consiga lembrar um pouquinho disso que nós fizemos nos outros vídeos. Então deixe-me fazer um gráfico disso aqui. Você talvez até lembre o que nós fizemos nos outros vídeos. Vou fazer aqui meu outro eixo. Aqui o que eu vou fazer? A primeira coisa que vou colocar é meu espaço nulo de A. Eu não vou fazer a conta de novo porque já ensinei como que faz. Então o que quero fazer aqui é colocar o espaço nulo de A dentro desse gráfico, mas eu sei que esse espaço nulo de A vai ser gerado por esse vetor aqui, pelo vetor [2,3]. Então aqui a gente vai marcar [2,3], então vamos marcar um, dois e aqui marcar três. Um, dois, três. Então o nosso ponto vai ser mais ou menos esse ponto aqui e a gente vai desenhar o nosso vetor de acordo com esse ponto. Vai ficar algo assim o vetor [2,3]. Mas a gente sabe que esse vetor aqui vai se expandir, então ele pode se expandir tanto para cá quanto para cá e ele terá todo esse espaço aqui, o espaço nulo de A. Então vale tanto os vetores para cá quanto para cá, basta multiplicar esse vetor por um escalar, positivo ou negativo. A gente está usando o vetor [2,3], mas qualquer vetor que caia aqui dentro pertence ao espaço nulo de A. Então isso aqui é o espaço nulo da matriz A, espaço nulo dessa matriz aqui. Agora nós vamos fazer a mesma coisa com nosso espaço linha. Repare que a gente vai utilizar só a primeira linha, a segunda linha, na verdade, acabou sendo uma combinação linear da primeira, então a gente vai pegar e traçar esse vetor aqui, [3,-2]. Aqui já tem um, dois, e aqui três. Então um, dois, três. E aqui -1, -2. Vai estar mais ou menos assim nosso ponto, e aqui vai ser o nosso vetor. Eu estou desenhando esse vetor aqui na posição padrão. Esse vetor novamente está desenhado na posição padrão. Porém, o que acontece é que toda a linha para cá, toda a linha para essa direção (é difícil desenhar sem deixar isso curvo) e aqui também toda a linha nesta direção. Então toda essa linha faz parte do meu espaço linha de A. Então isso aqui é o espaço linha de A, que é a mesma coisa que o espaço coluna da matriz A transposta, tanto faz, e você pode ver que esses dois eixos aqui são totalmente ortogonais. Portanto nós sabemos que o espaço nulo de A é igual ao complemento ortogonal do espaço linha de A, e nós sabemos também que o complemento ortogonal do espaço nulo de A é igual ao espaço linha de A. Então isso aqui significa a mesma coisa. Isso é igual a isso, e isso aqui também é igual a isso. Portanto espaço nulo de A é ortogonal ao espaço linha de A assim como espaço linha de A é ortogonal ao espaço nulo de A. Logo, neste caso, essas duas retas são ortogonais. Na verdade qualquer vetor aqui dentro dessas duas pode montar qualquer vetor dentro do R² porque neste caso a gente está no R². Vamos dizer, por exemplo, que eu quisesse um vetor aqui, assim. Como eu poderia fazer uma combinação linear de um membro do espaço linha e de um membro do espaço nulo para que eu caísse exatamente nesse vetor? Então nesse caso poderia pegar esse vetor aqui, que vai bater exatamente em cima, e esse outro aqui, mais ou menos aqui mesmo. Então esse outro vetor aqui. Então esses dois vetores vão ser capazes de gerar esse ponto aqui, a soma desses dois vetores vai gerar esse ponto aqui, ou seja, eles vão gerar o vetor que vai de [0,0] até esse ponto. Então aqui bastaria pegar esse vetor e adicionar ao final. Então adiciono esse vetor aqui no final e eu vou ter exatamente esse ponto aqui e eu poderia traçar um outro vetor aqui. Agora vamos ver o que significa isso aqui, o que significa a solução desse problema. Então nós temos aqui [3,0] mais esse outro vetor. Neste caso aqui, essa solução é homogênea. Então tenho aqui o vetor [3,0] e ele vai ter a mesma inclinação do espaço nulo de A, repare aqui, só que deslocado três casas. Então [3,0] está aqui, a gente andou até aqui e daqui o que a gente vai fazer? A gente vai fazer nosso vetor [2,3], que está mais ou menos aqui, assim. Mas aqui é c vezes [2,3], então toda a reta será uma solução, toda essa reta aqui vai ser uma solução para Ax igual a b. Portanto isso aqui é o nosso conjunto solução. Então é o conjunto solução dessa nossa equação aqui. Talvez você se lembre do que eu falei. Eu disse a você o seguinte, que você pode ter aqui um membro que faça parte desse conjunto solução e que ao mesmo tempo faça parte do espaço linha de A. Neste caso aqui ele vai ser o vetor mais curto que resolve esse problema, ele vai ser o menor vetor e o único vetor que está nessa situação de pertencer ao espaço linha de A e ser parte do conjunto solução desse problema. Você pode acabar vendo esse vetor bem aqui. Esse é o vetor que tem essa propriedade, ele faz parte do meu espaço linha e ao mesmo tempo ele é uma solução desse sistema. Você pode ver também que ele é a menor solução. Qualquer outra vai ser maior do que ele. Então pensando em projeções, você poderia, por exemplo (deixe-me só trocar a cor aqui), você poderia ter um vetor aqui assim... Vamos dizer que você tivesse um vetor aqui, assim, então a gente tem esse vetor aqui e a gente sabe que qualquer vetor no espaço R² (vai ter um ponto aqui) ele pode ser composto por outros dois vetores. Um vetor aqui do meu espaço linha e meu vetor do meu espaço nulo. Então aqui eu já tenho o espaço linha aqui embaixo, aqui é meu vetor do espaço linha, e eu posso utilizar aqui um vetor do espaço nulo. Então a soma desses dois vetores, vetor do espaço linha mais esse vetor do espaço nulo, dá exatamente esse outro vetor aqui. Claramente esse vetor aqui é um vetor que pertence ao meu espaço nulo de A. Ele só está deslocado, não está na posição padrão original. Então basta que você o desloque para pertencer ao espaço nulo de A. Ele tem a mesma inclinação. Então aqui nós temos um ponto. Este ponto aqui é a solução, qualquer vetor que saia daqui e chegue a esse ponto é a solução porque caí em cima do conjunto solução. Então a gente tem aqui ainda, a gente conseguiu uma solução, que é esse vetor aqui composto por esses dois outros vetores, um do espaço linha e um do espaço nulo. Esse outro vetor aqui é uma solução para o nosso problema e aqui eu posso escrever que esse vetor, na verdade, pode ser considerado como uma projeção desse vetor rosa aqui. Deixe-me escrever isso. s vai ser o quê? s vai ser algum vetor do meu espaço linha mais algum outro vetor, no caso do meu espaço nulo de A. Então é a soma desses dois vetores. Então aqui eu vou fazer a projeção s. Onde? Vou fazer a projeção de s aqui no meu espaço linha de A. Então isso vai ser igual a r. Neste caso n não vai aparecer porque a projeção que daria aqui no n é a projeção do espaço nulo, e aqui eu quero a projeção do espaço linha de A. Nesse caso eu quero mostrar para você que essa nossa definição é idêntica à definição que nós já fizemos antes, e justamente por quê? Porque esse cara aqui é um espaço linha, então isso é uma linha e vale a mesma coisa do que a gente já viu antes. Portanto vamos encontrar aqui um conjunto de soluções para isso aqui. Então a mais fácil solução, a solução mais simples que a gente pode ter, é colocar esse c aqui e fazer ele ser igual a zero. Então a minha solução vai ser o quê? Vai ser o vetor [3,0]. Deixe-me escrever isso aqui. Vou escrever que x igual a [3,0] é uma solução para esse problema. É isso que vou escrever. É uma solução para esse problema aqui, Ax igual a b. Aqui ele está representado por esse vetor, o vetor [3,0], o que também é uma solução para a gente. Mas o que nós queremos é encontrar a solução mais curta. Nós queremos fazer a projeção de qualquer um desses vetores aqui no nosso espaço linha. Por outro lado, bastaria que a gente fizesse a projeção nessa linha aqui, e essa linha é exatamente nosso espaço linha. Então quando eu trato da projeção de um espaço linha isso aqui vai ser idêntico àquela projeção que eu fiz para a linha porque neste caso o meu subespaço é uma linha. Não necessariamente precisa ser uma linha, mas nesse caso aqui é. Então vai ser idêntico. Neste caso a gente vai escrever que a projeção do nosso vetor [3,0] aqui no nosso espaço linha vai ser igual a... Então aqui eu vou colocar um vetor [3,0] e aqui eu vou fazer vezes... Agora eu preciso do vetor que gera o espaço linha. Qual é o vetor que gera o espaço linha? Vamos ver aqui em cima. Então aqui é o vetor [3,-2]. Deixe-me voltar aqui no vetor [3,-2]. Posso colocar aqui [3,-2] e aqui embaixo é ele vezes ele mesmo, então [3,-2] vezes [3,-2]. O resultado disso tudo aqui vai ser multiplicado pelo vetor [3,-2]. Então vamos lá. O que está acontecendo aqui? A gente vai calcular a projeção do vetor [3,0] no nosso espaço linha. Então a gente vai pegar esse vetor aqui e a projeção dele vai bater exatamente aqui nesta reta. Então é isso que a gente está calculando quando utiliza aqui o nosso espaço linha. Então vamos lá, vamos resolver isso aqui agora. Então a gente tem que aqui vai ter 3 vezes 3 mais zero vez -2. Isso aqui var dar zero e isso tudo vai dar 9. Então aqui eu tenho 3 vezes 3, que dá 9, -2 vezes -2 dá 4, 9 mais 4 vai dar 13. Então aqui vai ser igual a 9 sobre 13 vezes esse vetor aqui, vezes o vetor [3,-2] E qual será o resultado disso? O resultado disso vai ser um novo vetor, que vai ser o 27, pois 3 vezes 9 dá 27 sobre 13 e aqui embaixo -2 vezes 9, 18, então -18 sobre sobre 13. Então esse é o meu vetor [27/13] menos [18/13]. Nesse caso, esse vetor é exatamente isso aqui. É a solução mais curta. Então isso aqui são as coordenadas desse vetor aqui. E aqui a gente tem exatamente a mesma resposta que a gente achou em outros vídeos, embora nesses outros vídeos a gente não tenha feito utilizando essa ideia de projeção. Neste caso a gente viu que funciona a nossa definição, que é mais ampla. Então nossa definição mais ampla funciona bem nesse caso. A gente fez aqui em cima de uma linha mas a nossa definição ficou perfeita nesse ponto. Agora aqui em cima eu defino isso de uma maneira bem geral. Então repare aqui que eu falei que essa projeção vai servir em qualquer subespaço. Então aqui eu dei uma boa pista para você de quem você vai ter que descobrir, vai ter que descobrir este v aqui, então nesse caso ainda não mostrei como é que vou fazer isso porque na verdade eu vou jogar isso aqui uma linha e pegar isso aqui para fazer uma transformação linear nesse nosso subespaço aqui. Isso eu vou fazer no próximo vídeo. Então espero que vocês tenham gostado e assistam ao próximo vídeo!