Exemplo do uso de matriz de mudança de base ortogonal para encontrar a matriz de transformação

RKA4JL - Vamos supor que eu tenha uma matriz C representada pelas seguintes colunas que são vetores. Então vou ter C₁, C₂, até chegar em Cₖ, dessa maneira aqui. Essa matriz é de ordem n por k e todas essas colunas aqui, esses vetores, são parte de um conjunto ortonormal. A gente viu nos últimos vídeos que se a gente pegar essa matriz C transposta e multiplicar pela nossa matriz C, a gente vai ter como resultado a identidade de ordem k, porque eu tenho a matriz aqui que no caso vai ser k por n, porque é transposta, e aqui vai ser n por k porque é normal. A minha identidade vai ser de ordem, meu resultado vai ser de ordem k por k ou a identidade de ordem k. Mas agora quero que vocês pensem em um caso um pouco particular. O que acontece se o meu k for igual ao meu n? Neste caso nós vamos ter uma matriz quadrada em que todas as colunas são linearmente independentes. Desta maneira, se se eu tiver uma matriz em que k é igual a n e for uma matriz quadrada, então a gente sabe que C é inversível. A gente sabe que C é inversível. E se sabe que C é inversível, então eu posso pegar a inversa de C, multiplicar pela minha matriz C e isso aqui vai ter que dar como resultado a minha identidade de ordem n. Mas, da mesma maneira, a identidade é de ordem n aqui porque k vai ser igual a n, então seria identidade de ordem k se meu k fosse diferente de n. Da mesma maneira a gente acabou de ver aqui em cima que se eu pegar a minha C transposta e multiplicar pela matriz C eu também vou ter uma identidade de ordem k. Então quero vocês pensem um pouco sobre isso. O que estamos dizendo aqui é que se a gente pegar alguma coisa e multiplicar pela matriz C, a gente vai ter a identidade de ordem n. E aqui também é a identidade de ordem n, me confundi. Aqui também é a identidade de ordem n. E se eu pegar uma outra coisa e multiplicar pela matriz C, eu também vou ter a identidade de ordem n, ou seja, essas nossas mesmas coisas, (quer dizer, essas nossas coisas diferentes) são iguais. Então a gente pode assumir que C transposta é igual à inversa de C quando eu tiver uma matriz n por n cujas colunas formarem um conjunto ortonormal. Então deixe-me escrever isso por extenso, pois nós vamos precisar mais para frente. Então se eu tiver uma matriz n por n em que que as colunas formam um conjunto ortonormal, então a gente sabe que C inversa é igual a C transposta. A gente pode assumir isso aqui. e a gente sabe que geralmente é muito difícil, é muito trabalhoso, achar a inversa de uma matriz. Mas é transposta não, a transposta é muito mais fácil. É só trocar a linha por coluna e a gente já sai com uma matriz transposta. Por isso que isso aqui vai ser muito útil daqui para a frente e vou usar isso neste vídeo. Então eu vou fazer três vetores aqui. Deixe-me pegar um vetor V₁ composto por... Vou colocar aqui [⅔, -⅔, ⅓]. Vou pegar um vetor V₂: [⅔, ⅓, -⅔]. E também um vetor V₃ [⅓, ⅔, ⅔]. O que a gente vai fazer neste vídeo são algumas transformações lineares bacanas em r₃. No entanto, essa seria uma ótima hora para tentar desenhar, deixe-me pegar espaço para desenhar, o plano formado, o plano gerado pelos vetores V₁ e V₂. Então eu vou tentar desenhar aqui, vou fazer uma representação, lembrando que eu não estou desenhando como eles realmente são. Estou apenas desenhando uma representação. Então vamos supor que aqui eu teria meu V₁, aqui V₂ e o plano gerado por eles seria infinito, obviamente, e compreenderia mais ou menos isso aqui. Acho vocês conseguem enxergar que ele está meio de lado, como uma folha de papel meio virada, e esse plano eu posso chamar de... (escrevi "plano" errado, espere eu arrumar) posso chamar de V, vamos supor que seja V, e ele é o espaço gerado pelos vetores V₁ e V₂. Talvez, só por diversão, eu pudesse desenhar o vetor V₃. Ele é ortogonal, então aqui teria por exemplo um ângulo de 90 graus, já que são ortogonais, e o vetor V₃ é ortogonal a esses dois vetores também, então poderia desenhá-lo para baixo, mas eu vou desenhá-lo para cima aqui. Então mais ou menos aqui estaria o vetor de V₃. Agora vamos começar a brincar com as nossas transformações lineares em r₃. A transformação que eu quero fazer (deixe-me tentar fazer, desenhar aqui) seria pegar um vetor (deixe-me pegar, por exemplo, este aqui). Ele está saindo do plano e a transformação que eu quero, de certa forma, é pegar essa imagem dele aqui e traçá-lo como se fosse um inverso dele abaixo do plano. Deixe-me desenhar um outro vetor para ficar mais fácil de visualizar. Deixe-me pegar uma outra cor. Na verdade, uma que eu não peguei ainda. Vamos supor que eu pegasse esse vetor aqui e aplicasse nele uma transformação para que ele me desse esse vetor ali de baixo, como se fosse uma versão, de certa forma, de espelho. Acho que vocês conseguiram enxergar isso aqui. A princípio essa transformação parece difícil de fazer, mas vamos supor que a gente pegasse e aplicasse essa transformação ao nosso vetor V₁. Como ele está no plano, como o nosso vetor V₁ está no plano que a gente está olhando, como se fosse nosso espelho, de certa forma, o nosso vetor, nossa imagem espelhada de V₁ seria o próprio vetor V₁. A nossa transformação de V₂, que também está no plano, seria o próprio vetor V₂. Já V₃, nossa transformação de V₃ seria o inverso... Seria, no caso, o sinal oposto de V porque ele ficaria aqui para baixo enquanto o V está lá para cima. Então isso aqui seria igual a menos o vetor 3, ou seja, trocou, inverteu o sinal do vetor V₃. Se a gente fosse, nos últimos vídeos, procurar... Vamos supor que a gente tivesse nossa base padrão, (deixe-me escrever assim, ops, errei uma letra), que nós tivéssemos nossa base padrão x, um vetor x, por exemplo, a gente gostaria de aplicar nele, descobrir uma matriz de transformação linear que fizesse a gente chegar até a nossa transformação desejada, que é a transformação que a gente está querendo fazer. A gente quer descobrir essa matriz de transformação aqui. Mas nós já vimos nos últimos vídeos que essa matriz pode ser bem difícil de encontrar. Então quero apresentar para vocês neste vídeo uma alternativa. Vamos supor que a gente consiga achar, consiga multiplicar esse nosso vetor x pela matriz inversa de C. Então a gente acabaria caindo em nossa representação do vetor x na base B e então a gente poderia aplicar uma outra matriz D para fazer a representação da transformação linear em x na base B, e assim a gente poderia aplicar uma outra matriz C novamente para voltar, de certa forma, para voltar ao normal e chegar até a nossa transformação de x que é o que a gente está procurando: nossa matriz de transformação. Talvez isso aqui possa ser muito mais fácil do que fazer essa matriz aqui. Então vamos supor que a gente tivesse nossa transformação de x e a gente pode escrevê-la como sendo igual à matriz de transformação vezes o vetor x. Essa matriz pode ser difícil de encontrar. Então o que eu estou sugerindo é que nós peguemos aqui (deixe-me colocar aqui), nós vamos pegar nosso vetor x, vamos aplicar uma matriz inversa, a "C inversa", depois uma matriz D e ainda depois novamente uma matriz C e essa aqui vai ser a nossa matriz de transformação, que tem que ser igual a essa matriz de transformação aqui de cima, ou seja, A vai ter que ser igual a (C vezes D vezes C)⁻¹. Mas a gente sabe que B é uma base ortonormal, então, se é uma base ortonormal, a gente acabou de falar aqui em cima que a inversa de C vai ser equivalente à transposta de C. Ou seja, a gente pode reescrever isso como sendo igual a C vezes D vezes a transposta de C, que vai ficar muito mais simples de encontrar nossa matriz de transformação. Então, agora, um bom começo é escolher uma base. Acho que a escolha mais lógica seria pegar uma base gerada por esses três vetores aqui, V₁, V₂ e V₃. Então a gente pode escrever nossa base B formada por V₁, V₂ e V₃, dessa maneira aqui. Então só para ter certeza que a gente não está se perdendo, vamos pensar como é V₁, como é o vetor V₁ e os três vetores, na nossa representação da nova base B. Isso aqui vai ser igual a 1 vez V₁ mais zero vez V₂ mais zero vez V₃, que vai ser igual à representação de V₁ na nossa nova base B, que vai ser igual à matriz [1, 0, 0]. Isso aqui é só a revisão. A gente já viu isso nos últimos vídeos. Então o nosso vetor V₂... Na verdade acho que nem preciso escrever aqui; acho que vocês já pegaram a ideia. Deixe-me continuar direto aqui, vou escrever direto. Então a nossa representação de V₂ na nossa nova base B vai ser igual à matriz... E aqui vai ser zero vez V₁ mais 1 vez V₂ mais zero vez V₃, ou [0, 1, 0], dessa maneira aqui, e a representação de V₃ na base B vai ser representada pela matriz [0,0,1] dessa maneira aqui. Então agora a gente precisa achar essa matriz D que seria, por exemplo, que teria os termos nas colunas, os vetores d₁, d₂, d₃, dessa maneira aqui. A gente tem que tentar descobrir quais são esses d₁, d₂ e d₃. Se a gente olhar para nossa transformação do nosso vetor x, a gente pode escrever que a representação (deixe-me escrever mais para cima) a representação da transformação de T em V₁ na nossa base B é igual a D, essa nossa matriz, vezes a representação de V₁ em B. Isso aqui seria igual (deixe-me colocar mais para o lado porque estou ficando sem espaço), isso seria igual à multiplicação da matriz D, ou seja, d₁, d₂, d₃, pela matriz [1,0,0], que é a representação de V₁ em B que a gente achou aqui. Isso aqui vai ser igual a d₁, o vetor d₁, que a gente está procurando. Da mesma maneira eu posso fazer, posso procurar a representação de V₂ na minha base B e isso vai ser igual também à matriz [d₁, d₂, d₃], a matriz D, multiplicada pela matriz [0,1,0] e isso aqui seria igual somente ao termo d₂. Se a gente fizesse... Vocês podem fazer essa multiplicação, isso aqui vai dar d₁, isso vai dar d₂, e aqui a representação da transformação de V₃ na base B também seria a multiplicação dessa mesma matriz [d₁, d₂, d₃] por [0,0,1] e isso aqui seria igual ao meu d₃, que é o que nós estamos procurando, ou seja, nossa matriz D vai ser igual, as colunas vão ser iguais, nosso [d₁, d₂, d₃] vão ser iguais à transformação de V₁, a representação da transformação de V₁ na base B, a representação da transformação de V₂ também na base B e a representação da transformação de V₃ em B. A gente já tinha ali em cima, aqui em cima, que T, a transformação de V₁ igual ao vetor V₁, (eu vou copiar isso aqui embaixo, pois vamos precisar disso) então a transformação de V₁ vai ser igual ao próprio V₁, a transformação de V₂ vai ser igual ao próprio V₂ e a transformação de V₃ vai ser igual a -V₃. Nada de novo aqui, é só o que estava escrito lá em cima. Então qual vai ser a representação da transformação de V₁ na base B? Vai ser o próprio V₁ na base B, que é igual à matriz [1,0,0]. Então a gente acabou de descobrir a primeira coluna da nossa matriz D, que é [1,0,0]. Qual vai ser a representação da transformação de V₂ na base B? Está aqui, vai ser o próprio V₂ (esqueci a setinha) vai ser o próprio V₂ na base B, que vai ser igual a matriz [0,1,0]. Acho que vocês já estão pegando a ideia. Agora o último vetor, que é mais interessante, que não estava no plano, o V₃, a transformação desse V₃ na base B vai ser igual a -V₃ na base B, então a gente vai inverter e vai ficar [0,0,-1] porque vai ser zero vez V₁ mais zero vez V₂ menos 1 vez o próprio V₃. Então a nossa terceira coluna é [0, 0, -1]. Agora a gente descobriu a nossa matriz D e nós, finalmente, podemos calcular nossa matriz A (onde está nossa matriz A... Está aqui em cima, eu anotei em algum lugar. Como vamos achá-la? Está aqui). Nossa matriz A vai ser igual à matriz C vezes a matriz D, nossa matriz A vai ser igual à nossa matriz... (A matriz A é a que estamos procurando, só para vocês não se perderem) vai ser igual à matriz C vezes a matriz D vezes a inversa de C. Então agora vou começar a trocar os valores. Já tem a nossa matriz C... Nossa matriz C, lembrem-se, é aquela formada pelos três vetores aqui em cima, o V₁, V₂ e V₃. Onde estão esses vetores? Estão em algum lugar por aqui. Estão aqui: [⅔, -⅔, ⅓]. Então [⅔, -⅔, ⅓] e também... Ou melhor, vou escrever todos eles. Já vou colocar ⅓ na frente dessa matriz. Então já vou colocar aqui um "A igual" e colocar um ⅓ na frente para não ter que escrever todos esses números. Aqui era [2, -2, 1], depois minha coluna com V₂ era [2, 1, -2] e minha próxima coluna é [1, 2, 2]. Isso aqui vezes a minha matriz D, que está aqui, que é quase uma matriz identidade: [1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, -1]. E isso ainda multiplicado pela nossa matriz C inversa, só que a gente já sabe que nossa matriz C inversa é igual, neste caso, à nossa matriz C transposta porque é uma matriz quadrada cujas colunas são um conjunto ortonormal. Então é só a gente faz a transposta disso aqui. Então [2, 2, 1] vai ficar [2, 2, 1] , aqui vai ficar [-2, 1, 2] e aqui [1, -2, 2]. Agora é só começar a multiplicação. Só para a gente não se perder, isso aqui é nosso C, isso é nosso D e isso é nosso C transposto. Então vou começar fazendo o produto dessas duas para a gente sair e começar de alguma maneira. Então nosso A vai ser... Ah, quase que eu vou me esquecendo disso, ainda bem que eu percebi. Essa matriz aqui, essa última matriz, ainda tá multiplicada por ⅓, assim como a primeira. Então nosso A vai ser igual a ⅑ porque vou multiplicar esse ⅓ por esse ⅓, e agora a gente pode começar a fazer essa multiplicação. Começarei multiplicando essa matriz C pela matriz D. Então vamos fazer isso vezes isso, vai dar 2 mais zero mais zero, que vai dar o próprio 2 (deixe-me fazer de outra cor). É como se somente o primeiro termo sobrevivesse aqui. Agora 2 vezes zero dá zero, mais 2 mais zero também vai dar 2 e aqui vai dar (tem que tomar cuidado porque esse termo é -1) isso aqui vai dar -1. Agora -2 vezes 1 vai dar -2, mais zero mais zero porque aqui tem dois zeros, -2 vezes zero dá zero, 1 vez 1 dá 1, mais zero vai dar zero, então vai ficar 1. Agora -2 vezes zero mais 1 vez zero, -2 e 1 mais zero mais zero vai dar 1. (1 vez zero) menos (2 vezes 1) mais (2 vezes zero) vai dar -2 e aqui vai dar -2 também. Eu espero que eu não tenha cometido nenhum erro nesse caminho e isso aqui ainda multiplicado pela nossa matriz transposta [2, -2, 1], então [2, 1, -2, 1, 2, 2], dessa maneira aqui. Agora é só fazer essa última multiplicação e a gente vai descobrir nossa matriz A. Então nossa matriz A vai ser igual a... Não pode esquecer de multiplicar por ⅑. Nossa matriz A vai ser igual a 2 vezes 2, dá 4, mais 4 menos 1, dá 7. Agora -4 mais 2 dá -2, -2 menos 2 dá -4, isso aqui vai dar -4, agora 2 vezes 1, 2, -4 menos 2 vai dar -4 também, agora -4 mais 2 menos 2, isso vai dar -6 mais 2, vai dar -4 também e agora menos com menos vai dar mais 4, e 4 mais 1 menos 4, isso vai dar 1 e -2 vezes -2 vezes -2, isso vai dar -8, 1 vez 2 vai dar 2, -4 menos 2 vai dar -6, mais 2 vai dar -4. Eu sei que isso pode está parecendo muito confuso, mas nós estamos quase lá. É muito fácil se perder e errar agora, mas nós estamos muito perto. Aqui vai dar -2 com -2, -4, vai dar -8, e por último, nossa última linha e última coluna, 1 menos, como ele vai dar 1 mais 4 menos 4, aqui vai dar 1. Então meus parabéns a quem assistiu até aqui! Nós achamos a matriz de transformação A que a gente estava procurando lá em cima. Essa matriz aqui. Nós acabamos de achá-la e descobrimos a nossa transformação do vetor x em que a gente pega essa matriz A e multiplica pelo nosso vetor x. É esta aqui a nossa transformação que a gente viu aqui em cima e que, de certa forma, espelha os nossos vetores. Então eu espero que esse vídeo possa ser útil a vocês. Ele foi um pouco confuso aqui no final, principalmente com essa multiplicação de matrizes, mas eu garanto a vocês que isso aqui vai ser muito útil no curso de álgebra linear de vocês. Então até a próxima, pessoal!