As matrizes ortogonais preservam ângulos e comprimentos

RKA2G - Nós vimos nos nossos últimos vídeos que, se tivermos uma matriz C de ordem "n" por "n", e as colunas dessa matriz formarem um conjunto ortonormal, então, a gente pode utilizar a seguinte propriedade: a gente pode dizer que a matriz C transposta é igual à matriz C inversa. E o nome desta matriz é "matriz ortogonal". E nós acabamos analisando, e já estamos cansados de ver este diagrama que mostramos nos últimos vídeos, que, se a gente tiver um vetor "x" em uma base padrão e aplicarmos nele uma transformação linear (ou uma matriz de mudança, vocês podem ver como preferirem aqui), podemos fazer esse mesmo vetor "x" ser representado em uma base "b". E podemos, depois, aplicar de novo uma transformação C, que faz ele voltar a ser representado na base padrão. Mas o que eu realmente quero mostrar para vocês neste vídeo é que essas transformações, quando as colunas da matriz formarem um conjunto ortogonal, preservam... Eu vou escrever por extenso. Preservam comprimentos e ângulos. Eu acho que a melhor maneira de entender isto é realmente fazendo um exemplo. Um exemplo abstrato, só para tentarmos enxergar isto que eu estou falando, sobre preservar comprimentos e ângulos. Vamos supor que eu tenha aqui um vetor. Vou desenhar aqui. E, logo aqui embaixo, eu vou ter outro vetor, desta maneira. E, entre eles, eu vou ter um ângulo. Entre eles eu vou ter um ângulo θ. Então, eu aplico uma transformação na matriz C e eu posso rotacionar estes dois ângulos, eu posso, como naquele exemplo do vídeo passado em que o espelhava em relação ao plano. Só que a característica que vai nos dizer que esta mudança é uma matriz ortogonal é que vai ter que preservar os comprimentos e ângulos. Vamos supor que fosse rotacionar, que esta transformação rotacionasse e deixasse este vetor mais ou menos assim. Só para ter uma ideia de mudança. Então, este outro vetor aqui embaixo seria algo mais ou menos assim e o ângulo entre estes dois vetores continuaria sendo este mesmo ângulo θ. E você podem se perguntar: "Tudo bem, mas existe alguma transformação que faça com que eu não preserve os ângulos, ou não preserve os tamanhos?" Sim, a gente pode até fazer um exemplo dela. Podemos dizer que existe uma transformação que faça o seguinte coisa com os vetores: aumente o tamanho deste, mais ou menos assim e também aumente, só que distorça um pouco aqui e o ângulo entre eles não vai mais ser um ângulo θ. Este vai ser outro ângulo qualquer, vamos supor que seja φ. Então, a gente pode dizer que não preserva, que não preserva ângulos. Agora, podemos, finalmente, fazer um exemplo prático para ver isto funcionando. Eu vou chamar este vetor aqui de "x". E este vetor vai ser C vezes o vetor "x". Se o comprimento deles continua igual, eu posso escrever que o comprimento do vetor "x" tem que ser igual ao comprimento do vetor Cx. Então, podemos escrever que o comprimento de Cx ao quadrado, que é somente igual... Que é, na verdade, igual ao produto de Cx com ele mesmo. E agora a gente pode só se lembrar, isto vai ser só uma lembrança, que um vetor "y" vezes o próprio vetor "y" é igual a "y" transposto vezes "y", como se fossem duas matrizes. O porquê disse é que, se a gente tiver aqui uma matriz formada de y₁, y₂, até yₙ, e multiplicar pela transposta, a gente vai ter aqui y₁, y₂, até yₙ, desta maneira. Se aqui for 1 por "n", aqui é "n" por 1. Então, o resultado vai ser uma matriz 1 por 1, ou só um número. Podemos fazer esta igualdade e dizer que isto é igual ao produto de "y" por "y". Sabendo, disso a gente pode aplicar isto nesta transformação. Então, podemos dizer, podemos reescrever isto aqui, tudo como sendo igual... Vou pegar outra cor... Como sendo igual a Cx transposto, multiplicado por C vezes o vetor "x". E isto aqui, agora, vai precisar de outra propriedade, que só vou fazer uma lembrança, já que a gente viu há muito tempo, mas precisamos saber. Que A vezes B, transposta, é igual a B transposta vezes A transposta. Então, isto vai ser igual a "x" transposta, vezes C transposta, vezes C, vezes "x". Desta maneira. E este C transposta vezes C vai nos dar a própria identidade. Eu nem preciso reescrever isto. Podemos, então, simplificar simplesmente para: "x" transposta vezes "x", que é igual ao que a gente acabou de ver, que é igual a "x" vezes "x", que é também o comprimento de x². Nós acabamos de comprovar que o comprimento de Cx² continua sendo igual ao comprimento de x². Nós comprovamos que essa transformação da matriz ortogonal preserva o comprimento. Mas vamos verificar se ela também preserva ângulos. Para isso, nós vamos ter que definir o que é um ângulo. No nosso curso de álgebra linear... Vou colocar aqui para cima... Acho que aqui já está bom. No nosso curso de álgebra linear e de geometria analítica, a gente sempre viu que um ângulo, quando eu tenho, por exemplo, o produto, a gente define o ângulo em função do produto de dois vetores. Então, se eu tenho, por exemplo, o produto de "v" com "w", isso vai ser igual ao comprimento de "v" vezes o comprimento de "w" vezes o cosseno do ângulo entre eles, o cosseno de θ. O cosseno de θ vai ser igual ao produto de "v" com "w", dividido pelo comprimento de "v" vezes o comprimento de "w". E agora vamos que manipular isto um pouquinho para ver se também se aplica quando a gente quer preservar ângulos na matriz ortogonal. Então, eu vou escrever aqui de novo o cosseno e agora vou colocar um θC aqui, para representar que a gente multiplicou pela matriz de transformação C. E isto vai ser igual ao comprimento. O comprimento vai ser Cw... Cv primeiro, na verdade, vezes Cw, isto dividido pelo comprimento de Cv vezes Cw, desta maneira. Então, o cosseno de θC vai ser igual... A gente pode usar esta propriedade aqui de cima, esta propriedade geral de transpostas, como se isto fossem dois vetores iguais. Então, eu vou ter... Vou montar em outra cor para não confundir. Cw transposta, vezes... Vou colocar entre parênteses... Vezes Cv, lembrando que a gente usou esta propriedade aqui, como se fossem dois vetores iguais, nestes dois vetores diferentes. Então, Cw transposto vezes Cv e isto dividido pelo comprimento de "v" multiplicado pelo comprimento de "w". Agora, podemos usar, nessa parte, neste Cw transposta, podemos usar esta propriedade aqui e isto vai ficar igual a: W transposta vezes C transposta (esta é a propriedade daqui, que estamos usando), isto ainda multiplicado por C e multiplicado por "v", dividido pelo comprimento de "v" multiplicado pelo comprimento de "w". Sei que isto está ficando complicado, mas estamos muito perto do final. Agora, então, isto cancela, isto é a própria identidade e a gente sobra com o que sobra aqui em cima, que é "w" transposto vezes "v", que, se usarmos de novo esta propriedade, podemos voltar ao normal. E vamos ter "v" vezes "w"... Eu acho que estou fazendo um "w" muito bizarro, vou voltar. Dividido pelo comprimento de "v" vezes o comprimento de "w". Acabamos de comprovar que o cosseno de θC, quando mudamos o ângulo, quando aplicamos essa transformação, é igual ao cosseno, ao ângulo, de quando começamos essa transformação, de quando não tínhamos aplicado a matriz ainda. Então, agora, nós conseguimos comprovar que matrizes ortogonais, quando a gente aplica uma transformação em uma matriz ortogonal, ela preserva o comprimento e também preserva o ângulo. Espero que tenha ajudado vocês e até a próxima!