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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 3
Lição 4: Bases ortonormais e o processo de Gram-Schmidt- Introdução a bases ortonormais
- Coordenadas com relação às bases ortonormais
- Projeções em subespaços com bases ortonormais
- Exemplo de como encontrar projeção no subespaço com base ortonormal
- Exemplo do uso de matriz de mudança de base ortogonal para encontrar a matriz de transformação
- As matrizes ortogonais preservam ângulos e comprimentos
- O processo de Gram-Schmidt
- Exemplo do processo de Gram-Schmidt
- Exemplo de Gram-Schmidt com três vetores de base
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Coordenadas com relação às bases ortonormais
Vendo o que bases ortonormais fazem para bons sistemas de coordenadas. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Ok, agora a gente sabe
o que são bases ortonormais, mas aquela pergunta ainda existe:
para que elas servem? Neste vídeo nós vamos explorar
isso um pouco mais. As bases ortonormais formam
ótimos sistemas de coordenadas. Ótimos sistemas de coordenadas. E o que significa dizer que elas formam
um ótimo sistema de coordenadas? Para explicar isso, eu vou fazer o sistema
de coordenadas, a base padrão de RN, que acho que é a que
vocês mais estão acostumados. Então eu vou colocar aqui
a base padrão em RN e essa é aquela base
que vocês todos já viram, que vocês todos usam
provavelmente também, ou até... Deixe-me fazer um pouco mais para baixo
para ter mais espaço para escrever em cima. Vou fazê-la aqui. É aquela base que tem
os vetores, por exemplo, 1, zero e vai até chegar em zero,
aqui vai ter N linhas, aqui vai ter depois zero, 1 e vai
até chegar em zero no último número e tem todos os termos até, finalmente, chegar
a um termo com todos os números sendo zero. No caso, deixe-me
fazer de outra maneira. Deixe-me colocar com pontos aqui
pra não confundir você. Aqui é zero, zero, zero
até chegar no último termo 1 e aqui seria
o enésimo termo, e isso aqui, a nossa
base padrão em RN. Caso vocês não tenham percebido ainda,
é uma base ortonormal. Então deixe-me escrever aqui.
Base ortonormal. E o legal de ela ser uma base ortonormal é que
ela forma um ótimo sistema de coordenadas. Por exemplo, por ela ser, por essa
parte orto, por ser ortogonal, todos os produtos de, por exemplo,
desse vetor V1, a gente pode chamar de V1, e desse outro vetor V2, seria
zero porque eles são ortogonais e dessa parte normal, todos
esses vetores foram normalizados, ou todos eles
têm comprimento 1. Se a gente for tirar o comprimento
desse vetor aqui, a gente vai ter 1 ao quadrado mais
zero ao quadrado mais zero ao quadrado e assim vai, assim vai
e 1² vai ser o próprio 1. Mas vamos explorar um pouco mais essas
características das bases ortonormais. Então eu vou criar aqui embaixo
(deixe-me fazer com outra cor), uma base B com
os vetores V1, V2, até chegar em VK,
dessa maneira aqui. Eu vou dizer,
vou assumir, que essa minha base B é uma base
(deixe-me escrever direto) é uma base ortogonal. Então, ortonormal.
Desculpe, pessoal. Ortonormal. Esses nomes
confundem bastante. Então, agora,
nós vamos pegar... Ou melhor, eu vou pegar um vetor X
pertencente a um subespaço V... Ah, esqueci de escrever que isso aqui
é uma base ortonormal que gera o subespaço V. Então a gente pega um vetor
qualquer pertencente a V e a gente pode escrever esse nosso vetor X
como sendo uma combinação linear de todos esses outros vetores que
estão aqui. Então a gente pode escrever X, nosso vetor que a gente
estava olhando, analisando, X, como sendo a combinação linear, por
exemplo, uma constante vezes esse vetor V1, mais uma outra constante
vezes o vetor V2 mais... E agora eu vou fazê-los aqui até
chegar, por exemplo, a uma constante ⅈ, aliás, uma constante multiplicada,
que multiplica o vetor Vⅈ, isso daqui até chegar
no famoso CnVn, que seria a nossa última constante
e último vetor, o enésimo vetor. E a gente pode manipular
isso aqui um pouquinho para tentar extrair alguma
informação valiosa disso daqui. E a informação valiosa que
a gente pode retirar disso aqui é que se a gente multiplicar por Vⅈ
nos dois lados, vamos ver o que acontece. Então, vamos pegar e multiplicar
pelo vetor Vⅈ dos dois lados, estão aqui vai ficar
Vⅈ vezes o vetor X (eu vou tentar fazer
o máximo de cores possíveis) e aqui vai ficar multiplicado por C1V1,
que também fica multiplicado por Vⅈ eu tenho que multiplicar
todos os termos por Vⅈ e isso aqui mais C2V2
multiplicado por Vⅈ mais... Vai indo, bastante termos até chegar
em CⅈVⅈ vezes o próprio Vⅈ (esqueci o símbolo de vetor) e agora
até chegar em nosso enésimo termo, até chegar em CnVn multiplicado por Vⅈ,
também multiplicado por Vⅈ. O interessante é que por isso aqui ser uma base
ortonormal, B ser uma base ortonormal, a gente sabe que todos os vetores são
normalizados e também são ortogonais, ou seja, quaisquer dois vetores diferentes que
eu multiplicar tem que dar como resultado, o produto deles tem que
dar como resultado zero, ou seja, desde que ⅈ não seja
igual a 1 e nem 2 nem n, ou seja, ⅈ seja igual a ⅈ
nesse nosso caso aqui, tudo isso daqui vai dar zero,
isso aqui vai dar zero também, isso daqui também vai dar zero
porque são vetores diferentes. E aqui onde nós temos o produto de Vⅈ
com ele mesmo, Vⅈ fica 1, ou seja, a gente acaba tendo que o vetor Vⅈ multiplicado
pelo nosso X, que a gente está procurando, teria que ser igual a Cⅈ,
a nossa constante ⅈ. Mas a pergunta que não quer calar é:
por que que isso aqui é importante? Então eu vou pegar aqui, vamos supor que
a gente queira escrever esse nosso vetor X em termos de uma base B
(isso aqui é só revisão). Em termos de uma base B.
Para a gente fazer isso daqui, a gente poderia pegar
todos esses coeficientes e colocar aqui, então ficaria,
por exemplo, C1, C2 até chegar em Cⅈ, e depois todo o caminho até chegar em Cn
novamente, e assim estaria representado. Mas o problema é que nem sempre
fica tão fácil assim de fazer. Vamos supor
que eu tivesse, vamos supor que eu quisesse representar
esse vetor X em termos de uma base B e tudo o que tivessem
me dado fosse o vetor X. Eu teria que aplicar uma matriz
de transformação nesse lado aqui e aí eu teria, por exemplo,
se eu tivesse esse vetor, se eu tivesse a representação do vetor X em B
eu poderia, com essa matriz, descobrir o vetor X ou, então, se eu tivesse só esse meu X
eu poderia descobrir a representação dele em B aplicando a inversa dessa matriz
transformação nesse lado, mas o problema
é que isso aqui só vale quando
C for inversível. Então vocês conseguem perceber a dificuldade que
ficaria descobrir a representação do vetor X em B se a gente tivesse que descobrir
essa matriz de transformação aqui e a gente precisaria dessa matriz
e depois passar para esse lado aqui para tentar usar esse nosso X para
descobrir a representação dele em B, e isso ficaria
bem complicado. Então uma alternativa a tudo isso é simplesmente
isso aqui que a gente acabou de descobrir antes, manipulando um pouco
essas nossas linhas algébricas aqui. Então a gente tem que Cⅈ é igual a Vⅈ
vezes, o produto do vetor Vⅈ, com X. Então a gente pode reescrever
esse aqui, como aqui tem C1, a gente pode reescrever isso como sendo
o produto de V1 com X, V1 vezes X, aqui ficaria V2 vezes X, aqui
eu iria até chegar em Vⅈ vezes X, e até chegar em Vn vezes X,
dessa maneira aqui. Então, agora, chega de teoria
e vamos fazer um exemplo concreto. Deixe-me colocar
aqui para baixo, quero deixar aqueles resultados
aparecendo aqui. Acho que assim está bom. Eu vou criar
dois vetores aqui. Eu vou fazer dois vetores V1
e eu vou... Deixe-me pensar nos números
para colocar aqui. Vou colocar ⅗ e ⅘ e um vetor V2 igual a... Vamos colocar -⅘ e ⅗. Eu também vou criar um conjunto B
formado pelos vetores V1 e V2, e vamos verificar se isso aqui
é um conjunto ortonormal ou não. Como a gente faz isso? A gente vai ter
que calcular o comprimento de V1, então o comprimento de V1
vai ser igual a (⅗)², que é 9/25, mais (⅘)²,
que é 16/25, isso aqui vai dar 25/25,
que é igual a 1. Agora o comprimento de V2², que vai
ser igual a (⅘)², que vai dar 16/25, mais (⅗)²,
que é 9/25, isso também dá 25/25,
que é igual a 1. Ok, então esses dois vetores
foram normalizados e agora a gente precisa verificar
se eles são linearmente independentes. Então, o produto de V1 com V2,
e vamos ver se isso daqui dá zero ou não. Então ⅗ vezes -⅘ dá... 3 vezes 12 é 12,
3 vezes 4, desculpa, é 12, dividido por 5 vezes 5, 25, só que
é negativo, então vai ficar -12/25, e agora mais, porque não tem
nenhum sinal negativo, é positivo aqui, 4 vezes 3 é 12, sobre 5 vezes 5 é 25,
então +12/25. Então isso aqui é zero. Então esse nosso conjunto
é definitivamente um conjunto ortonormal. E agora vamos também assumir
que B é uma base para R2. B é uma base para R2 porque tem
dois vetores linearmente independentes que geram um conjunto
que realmente fica em R2, então a gente pode assumir
que B é uma base para R2. Eu posso pegar
um vetor qualquer, X, e eu pegar números aleatórios, agora.
Vou colocar 9 e -2, e eu quero descobrir as coordenadas
de X em relação à nossa base B. Então uma maneira de fazer isso seria pegando
a matriz de transformação linear, montando-a, que no caso ficaria
[⅗, ⅘, -⅘, ⅗], multiplicando isso pelo
nosso valor de X na base B, e isso daqui teria que ser igual
ao nosso vetor X que a gente já tem, que é 9,
que tem 9 e -2. A gente teria que calcular
a inversa dessa matriz aqui e passá-la para esse lado, sendo
multiplicada pelo nosso valor de X e então a gente descobriria
a condenada de X em relação a B. Mas existe um jeito
muito mais fácil, que é usando essa propriedade
que a gente descobriu anteriormente, e utilizando-a, a gente fica com...
Deixe-me fazer de outra cor. A gente fica com o vetor X
em relação a B é igual a V1,
o produto de V1 com X, e o produto de V2 com X.
É esse que está aqui em cima, VⅈX. E continuando a
calcular isso aqui... Acho melhor colocar
mais para baixo, e vou... Acho que eu mexi na gravação,
deixe-me voltar ao normal. Eu vou colocar mais para baixo
e vou fazer um pouco mais para baixo porque vai ficar melhor para ver,
para ter mais espaço pra escrever. Então isso aqui fica igual ao meu vetor V1, ⅗,
multiplicado pelo meu vetor X. Então fica ⅗ vezes 9,
o que vai dar 27/5, mais ⅘ vezes -2,
que vai dar -8/5. Agora aqui vai dar meu V2.
-⅘ vezes 9, isso vai dar -36/5, e isso aqui, -⅗ vezes 2,
vai dar -6/5. Eu sei que isso aqui ficou feio, mas é
isso que nós estávamos procurando, que é justamente o nosso valor
do vetor X na base B. Só simplificando, terminando aqui,
vamos ver quanto vai ficar. Vai ficar, isso aqui
vai ser 19/5, e aqui, -36 com -6
vai dar -42, -42/5. Então essas aqui são as coordenadas
do nosso vetor X na base B. E eu garanto que seria muito mais difícil
ter calculado a inversa dessa matriz aqui e depois multiplicado nesse lado aqui
pela inversa dessa matriz, a matriz de
mudança de base. Eu garanto que isso daria muito trabalho, então
ainda bem que nós temos essa fórmula aqui. Muito obrigado, pessoal,
e até a próxima!