Coordenadas com relação às bases ortonormais

RKA4JL - Ok, agora a gente sabe o que são bases ortonormais, mas aquela pergunta ainda existe: para que elas servem? Neste vídeo nós vamos explorar isso um pouco mais. As bases ortonormais formam ótimos sistemas de coordenadas. Ótimos sistemas de coordenadas. E o que significa dizer que elas formam um ótimo sistema de coordenadas? Para explicar isso, eu vou fazer o sistema de coordenadas, a base padrão de RN, que acho que é a que vocês mais estão acostumados. Então eu vou colocar aqui a base padrão em RN e essa é aquela base que vocês todos já viram, que vocês todos usam provavelmente também, ou até... Deixe-me fazer um pouco mais para baixo para ter mais espaço para escrever em cima. Vou fazê-la aqui. É aquela base que tem os vetores, por exemplo, 1, zero e vai até chegar em zero, aqui vai ter N linhas, aqui vai ter depois zero, 1 e vai até chegar em zero no último número e tem todos os termos até, finalmente, chegar a um termo com todos os números sendo zero. No caso, deixe-me fazer de outra maneira. Deixe-me colocar com pontos aqui pra não confundir você. Aqui é zero, zero, zero até chegar no último termo 1 e aqui seria o enésimo termo, e isso aqui, a nossa base padrão em RN. Caso vocês não tenham percebido ainda, é uma base ortonormal. Então deixe-me escrever aqui. Base ortonormal. E o legal de ela ser uma base ortonormal é que ela forma um ótimo sistema de coordenadas. Por exemplo, por ela ser, por essa parte orto, por ser ortogonal, todos os produtos de, por exemplo, desse vetor V1, a gente pode chamar de V1, e desse outro vetor V2, seria zero porque eles são ortogonais e dessa parte normal, todos esses vetores foram normalizados, ou todos eles têm comprimento 1. Se a gente for tirar o comprimento desse vetor aqui, a gente vai ter 1 ao quadrado mais zero ao quadrado mais zero ao quadrado e assim vai, assim vai e 1² vai ser o próprio 1. Mas vamos explorar um pouco mais essas características das bases ortonormais. Então eu vou criar aqui embaixo (deixe-me fazer com outra cor), uma base B com os vetores V1, V2, até chegar em VK, dessa maneira aqui. Eu vou dizer, vou assumir, que essa minha base B é uma base (deixe-me escrever direto) é uma base ortogonal. Então, ortonormal. Desculpe, pessoal. Ortonormal. Esses nomes confundem bastante. Então, agora, nós vamos pegar... Ou melhor, eu vou pegar um vetor X pertencente a um subespaço V... Ah, esqueci de escrever que isso aqui é uma base ortonormal que gera o subespaço V. Então a gente pega um vetor qualquer pertencente a V e a gente pode escrever esse nosso vetor X como sendo uma combinação linear de todos esses outros vetores que estão aqui. Então a gente pode escrever X, nosso vetor que a gente estava olhando, analisando, X, como sendo a combinação linear, por exemplo, uma constante vezes esse vetor V1, mais uma outra constante vezes o vetor V2 mais... E agora eu vou fazê-los aqui até chegar, por exemplo, a uma constante ⅈ, aliás, uma constante multiplicada, que multiplica o vetor Vⅈ, isso daqui até chegar no famoso CnVn, que seria a nossa última constante e último vetor, o enésimo vetor. E a gente pode manipular isso aqui um pouquinho para tentar extrair alguma informação valiosa disso daqui. E a informação valiosa que a gente pode retirar disso aqui é que se a gente multiplicar por Vⅈ nos dois lados, vamos ver o que acontece. Então, vamos pegar e multiplicar pelo vetor Vⅈ dos dois lados, estão aqui vai ficar Vⅈ vezes o vetor X (eu vou tentar fazer o máximo de cores possíveis) e aqui vai ficar multiplicado por C1V1, que também fica multiplicado por Vⅈ eu tenho que multiplicar todos os termos por Vⅈ e isso aqui mais C2V2 multiplicado por Vⅈ mais... Vai indo, bastante termos até chegar em CⅈVⅈ vezes o próprio Vⅈ (esqueci o símbolo de vetor) e agora até chegar em nosso enésimo termo, até chegar em CnVn multiplicado por Vⅈ, também multiplicado por Vⅈ. O interessante é que por isso aqui ser uma base ortonormal, B ser uma base ortonormal, a gente sabe que todos os vetores são normalizados e também são ortogonais, ou seja, quaisquer dois vetores diferentes que eu multiplicar tem que dar como resultado, o produto deles tem que dar como resultado zero, ou seja, desde que ⅈ não seja igual a 1 e nem 2 nem n, ou seja, ⅈ seja igual a ⅈ nesse nosso caso aqui, tudo isso daqui vai dar zero, isso aqui vai dar zero também, isso daqui também vai dar zero porque são vetores diferentes. E aqui onde nós temos o produto de Vⅈ com ele mesmo, Vⅈ fica 1, ou seja, a gente acaba tendo que o vetor Vⅈ multiplicado pelo nosso X, que a gente está procurando, teria que ser igual a Cⅈ, a nossa constante ⅈ. Mas a pergunta que não quer calar é: por que que isso aqui é importante? Então eu vou pegar aqui, vamos supor que a gente queira escrever esse nosso vetor X em termos de uma base B (isso aqui é só revisão). Em termos de uma base B. Para a gente fazer isso daqui, a gente poderia pegar todos esses coeficientes e colocar aqui, então ficaria, por exemplo, C1, C2 até chegar em Cⅈ, e depois todo o caminho até chegar em Cn novamente, e assim estaria representado. Mas o problema é que nem sempre fica tão fácil assim de fazer. Vamos supor que eu tivesse, vamos supor que eu quisesse representar esse vetor X em termos de uma base B e tudo o que tivessem me dado fosse o vetor X. Eu teria que aplicar uma matriz de transformação nesse lado aqui e aí eu teria, por exemplo, se eu tivesse esse vetor, se eu tivesse a representação do vetor X em B eu poderia, com essa matriz, descobrir o vetor X ou, então, se eu tivesse só esse meu X eu poderia descobrir a representação dele em B aplicando a inversa dessa matriz transformação nesse lado, mas o problema é que isso aqui só vale quando C for inversível. Então vocês conseguem perceber a dificuldade que ficaria descobrir a representação do vetor X em B se a gente tivesse que descobrir essa matriz de transformação aqui e a gente precisaria dessa matriz e depois passar para esse lado aqui para tentar usar esse nosso X para descobrir a representação dele em B, e isso ficaria bem complicado. Então uma alternativa a tudo isso é simplesmente isso aqui que a gente acabou de descobrir antes, manipulando um pouco essas nossas linhas algébricas aqui. Então a gente tem que Cⅈ é igual a Vⅈ vezes, o produto do vetor Vⅈ, com X. Então a gente pode reescrever esse aqui, como aqui tem C1, a gente pode reescrever isso como sendo o produto de V1 com X, V1 vezes X, aqui ficaria V2 vezes X, aqui eu iria até chegar em Vⅈ vezes X, e até chegar em Vn vezes X, dessa maneira aqui. Então, agora, chega de teoria e vamos fazer um exemplo concreto. Deixe-me colocar aqui para baixo, quero deixar aqueles resultados aparecendo aqui. Acho que assim está bom. Eu vou criar dois vetores aqui. Eu vou fazer dois vetores V1 e eu vou... Deixe-me pensar nos números para colocar aqui. Vou colocar ⅗ e ⅘ e um vetor V2 igual a... Vamos colocar -⅘ e ⅗. Eu também vou criar um conjunto B formado pelos vetores V1 e V2, e vamos verificar se isso aqui é um conjunto ortonormal ou não. Como a gente faz isso? A gente vai ter que calcular o comprimento de V1, então o comprimento de V1 vai ser igual a (⅗)², que é 9/25, mais (⅘)², que é 16/25, isso aqui vai dar 25/25, que é igual a 1. Agora o comprimento de V2², que vai ser igual a (⅘)², que vai dar 16/25, mais (⅗)², que é 9/25, isso também dá 25/25, que é igual a 1. Ok, então esses dois vetores foram normalizados e agora a gente precisa verificar se eles são linearmente independentes. Então, o produto de V1 com V2, e vamos ver se isso daqui dá zero ou não. Então ⅗ vezes -⅘ dá... 3 vezes 12 é 12, 3 vezes 4, desculpa, é 12, dividido por 5 vezes 5, 25, só que é negativo, então vai ficar -12/25, e agora mais, porque não tem nenhum sinal negativo, é positivo aqui, 4 vezes 3 é 12, sobre 5 vezes 5 é 25, então +12/25. Então isso aqui é zero. Então esse nosso conjunto é definitivamente um conjunto ortonormal. E agora vamos também assumir que B é uma base para R2. B é uma base para R2 porque tem dois vetores linearmente independentes que geram um conjunto que realmente fica em R2, então a gente pode assumir que B é uma base para R2. Eu posso pegar um vetor qualquer, X, e eu pegar números aleatórios, agora. Vou colocar 9 e -2, e eu quero descobrir as coordenadas de X em relação à nossa base B. Então uma maneira de fazer isso seria pegando a matriz de transformação linear, montando-a, que no caso ficaria [⅗, ⅘, -⅘, ⅗], multiplicando isso pelo nosso valor de X na base B, e isso daqui teria que ser igual ao nosso vetor X que a gente já tem, que é 9, que tem 9 e -2. A gente teria que calcular a inversa dessa matriz aqui e passá-la para esse lado, sendo multiplicada pelo nosso valor de X e então a gente descobriria a condenada de X em relação a B. Mas existe um jeito muito mais fácil, que é usando essa propriedade que a gente descobriu anteriormente, e utilizando-a, a gente fica com... Deixe-me fazer de outra cor. A gente fica com o vetor X em relação a B é igual a V1, o produto de V1 com X, e o produto de V2 com X. É esse que está aqui em cima, VⅈX. E continuando a calcular isso aqui... Acho melhor colocar mais para baixo, e vou... Acho que eu mexi na gravação, deixe-me voltar ao normal. Eu vou colocar mais para baixo e vou fazer um pouco mais para baixo porque vai ficar melhor para ver, para ter mais espaço pra escrever. Então isso aqui fica igual ao meu vetor V1, ⅗, multiplicado pelo meu vetor X. Então fica ⅗ vezes 9, o que vai dar 27/5, mais ⅘ vezes -2, que vai dar -8/5. Agora aqui vai dar meu V2. -⅘ vezes 9, isso vai dar -36/5, e isso aqui, -⅗ vezes 2, vai dar -6/5. Eu sei que isso aqui ficou feio, mas é isso que nós estávamos procurando, que é justamente o nosso valor do vetor X na base B. Só simplificando, terminando aqui, vamos ver quanto vai ficar. Vai ficar, isso aqui vai ser 19/5, e aqui, -36 com -6 vai dar -42, -42/5. Então essas aqui são as coordenadas do nosso vetor X na base B. E eu garanto que seria muito mais difícil ter calculado a inversa dessa matriz aqui e depois multiplicado nesse lado aqui pela inversa dessa matriz, a matriz de mudança de base. Eu garanto que isso daria muito trabalho, então ainda bem que nós temos essa fórmula aqui. Muito obrigado, pessoal, e até a próxima!