Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Coordenadas com relação às bases ortonormais

Vendo o que bases ortonormais fazem para bons sistemas de coordenadas. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA4JL - Ok, agora a gente sabe o que são bases ortonormais, mas aquela pergunta ainda existe: para que elas servem? Neste vídeo nós vamos explorar isso um pouco mais. As bases ortonormais formam ótimos sistemas de coordenadas. Ótimos sistemas de coordenadas. E o que significa dizer que elas formam um ótimo sistema de coordenadas? Para explicar isso, eu vou fazer o sistema de coordenadas, a base padrão de RN, que acho que é a que vocês mais estão acostumados. Então eu vou colocar aqui a base padrão em RN e essa é aquela base que vocês todos já viram, que vocês todos usam provavelmente também, ou até... Deixe-me fazer um pouco mais para baixo para ter mais espaço para escrever em cima. Vou fazê-la aqui. É aquela base que tem os vetores, por exemplo, 1, zero e vai até chegar em zero, aqui vai ter N linhas, aqui vai ter depois zero, 1 e vai até chegar em zero no último número e tem todos os termos até, finalmente, chegar a um termo com todos os números sendo zero. No caso, deixe-me fazer de outra maneira. Deixe-me colocar com pontos aqui pra não confundir você. Aqui é zero, zero, zero até chegar no último termo 1 e aqui seria o enésimo termo, e isso aqui, a nossa base padrão em RN. Caso vocês não tenham percebido ainda, é uma base ortonormal. Então deixe-me escrever aqui. Base ortonormal. E o legal de ela ser uma base ortonormal é que ela forma um ótimo sistema de coordenadas. Por exemplo, por ela ser, por essa parte orto, por ser ortogonal, todos os produtos de, por exemplo, desse vetor V1, a gente pode chamar de V1, e desse outro vetor V2, seria zero porque eles são ortogonais e dessa parte normal, todos esses vetores foram normalizados, ou todos eles têm comprimento 1. Se a gente for tirar o comprimento desse vetor aqui, a gente vai ter 1 ao quadrado mais zero ao quadrado mais zero ao quadrado e assim vai, assim vai e 1² vai ser o próprio 1. Mas vamos explorar um pouco mais essas características das bases ortonormais. Então eu vou criar aqui embaixo (deixe-me fazer com outra cor), uma base B com os vetores V1, V2, até chegar em VK, dessa maneira aqui. Eu vou dizer, vou assumir, que essa minha base B é uma base (deixe-me escrever direto) é uma base ortogonal. Então, ortonormal. Desculpe, pessoal. Ortonormal. Esses nomes confundem bastante. Então, agora, nós vamos pegar... Ou melhor, eu vou pegar um vetor X pertencente a um subespaço V... Ah, esqueci de escrever que isso aqui é uma base ortonormal que gera o subespaço V. Então a gente pega um vetor qualquer pertencente a V e a gente pode escrever esse nosso vetor X como sendo uma combinação linear de todos esses outros vetores que estão aqui. Então a gente pode escrever X, nosso vetor que a gente estava olhando, analisando, X, como sendo a combinação linear, por exemplo, uma constante vezes esse vetor V1, mais uma outra constante vezes o vetor V2 mais... E agora eu vou fazê-los aqui até chegar, por exemplo, a uma constante ⅈ, aliás, uma constante multiplicada, que multiplica o vetor Vⅈ, isso daqui até chegar no famoso CnVn, que seria a nossa última constante e último vetor, o enésimo vetor. E a gente pode manipular isso aqui um pouquinho para tentar extrair alguma informação valiosa disso daqui. E a informação valiosa que a gente pode retirar disso aqui é que se a gente multiplicar por Vⅈ nos dois lados, vamos ver o que acontece. Então, vamos pegar e multiplicar pelo vetor Vⅈ dos dois lados, estão aqui vai ficar Vⅈ vezes o vetor X (eu vou tentar fazer o máximo de cores possíveis) e aqui vai ficar multiplicado por C1V1, que também fica multiplicado por Vⅈ eu tenho que multiplicar todos os termos por Vⅈ e isso aqui mais C2V2 multiplicado por Vⅈ mais... Vai indo, bastante termos até chegar em CⅈVⅈ vezes o próprio Vⅈ (esqueci o símbolo de vetor) e agora até chegar em nosso enésimo termo, até chegar em CnVn multiplicado por Vⅈ, também multiplicado por Vⅈ. O interessante é que por isso aqui ser uma base ortonormal, B ser uma base ortonormal, a gente sabe que todos os vetores são normalizados e também são ortogonais, ou seja, quaisquer dois vetores diferentes que eu multiplicar tem que dar como resultado, o produto deles tem que dar como resultado zero, ou seja, desde que ⅈ não seja igual a 1 e nem 2 nem n, ou seja, ⅈ seja igual a ⅈ nesse nosso caso aqui, tudo isso daqui vai dar zero, isso aqui vai dar zero também, isso daqui também vai dar zero porque são vetores diferentes. E aqui onde nós temos o produto de Vⅈ com ele mesmo, Vⅈ fica 1, ou seja, a gente acaba tendo que o vetor Vⅈ multiplicado pelo nosso X, que a gente está procurando, teria que ser igual a Cⅈ, a nossa constante ⅈ. Mas a pergunta que não quer calar é: por que que isso aqui é importante? Então eu vou pegar aqui, vamos supor que a gente queira escrever esse nosso vetor X em termos de uma base B (isso aqui é só revisão). Em termos de uma base B. Para a gente fazer isso daqui, a gente poderia pegar todos esses coeficientes e colocar aqui, então ficaria, por exemplo, C1, C2 até chegar em Cⅈ, e depois todo o caminho até chegar em Cn novamente, e assim estaria representado. Mas o problema é que nem sempre fica tão fácil assim de fazer. Vamos supor que eu tivesse, vamos supor que eu quisesse representar esse vetor X em termos de uma base B e tudo o que tivessem me dado fosse o vetor X. Eu teria que aplicar uma matriz de transformação nesse lado aqui e aí eu teria, por exemplo, se eu tivesse esse vetor, se eu tivesse a representação do vetor X em B eu poderia, com essa matriz, descobrir o vetor X ou, então, se eu tivesse só esse meu X eu poderia descobrir a representação dele em B aplicando a inversa dessa matriz transformação nesse lado, mas o problema é que isso aqui só vale quando C for inversível. Então vocês conseguem perceber a dificuldade que ficaria descobrir a representação do vetor X em B se a gente tivesse que descobrir essa matriz de transformação aqui e a gente precisaria dessa matriz e depois passar para esse lado aqui para tentar usar esse nosso X para descobrir a representação dele em B, e isso ficaria bem complicado. Então uma alternativa a tudo isso é simplesmente isso aqui que a gente acabou de descobrir antes, manipulando um pouco essas nossas linhas algébricas aqui. Então a gente tem que Cⅈ é igual a Vⅈ vezes, o produto do vetor Vⅈ, com X. Então a gente pode reescrever esse aqui, como aqui tem C1, a gente pode reescrever isso como sendo o produto de V1 com X, V1 vezes X, aqui ficaria V2 vezes X, aqui eu iria até chegar em Vⅈ vezes X, e até chegar em Vn vezes X, dessa maneira aqui. Então, agora, chega de teoria e vamos fazer um exemplo concreto. Deixe-me colocar aqui para baixo, quero deixar aqueles resultados aparecendo aqui. Acho que assim está bom. Eu vou criar dois vetores aqui. Eu vou fazer dois vetores V1 e eu vou... Deixe-me pensar nos números para colocar aqui. Vou colocar ⅗ e ⅘ e um vetor V2 igual a... Vamos colocar -⅘ e ⅗. Eu também vou criar um conjunto B formado pelos vetores V1 e V2, e vamos verificar se isso aqui é um conjunto ortonormal ou não. Como a gente faz isso? A gente vai ter que calcular o comprimento de V1, então o comprimento de V1 vai ser igual a (⅗)², que é 9/25, mais (⅘)², que é 16/25, isso aqui vai dar 25/25, que é igual a 1. Agora o comprimento de V2², que vai ser igual a (⅘)², que vai dar 16/25, mais (⅗)², que é 9/25, isso também dá 25/25, que é igual a 1. Ok, então esses dois vetores foram normalizados e agora a gente precisa verificar se eles são linearmente independentes. Então, o produto de V1 com V2, e vamos ver se isso daqui dá zero ou não. Então ⅗ vezes -⅘ dá... 3 vezes 12 é 12, 3 vezes 4, desculpa, é 12, dividido por 5 vezes 5, 25, só que é negativo, então vai ficar -12/25, e agora mais, porque não tem nenhum sinal negativo, é positivo aqui, 4 vezes 3 é 12, sobre 5 vezes 5 é 25, então +12/25. Então isso aqui é zero. Então esse nosso conjunto é definitivamente um conjunto ortonormal. E agora vamos também assumir que B é uma base para R2. B é uma base para R2 porque tem dois vetores linearmente independentes que geram um conjunto que realmente fica em R2, então a gente pode assumir que B é uma base para R2. Eu posso pegar um vetor qualquer, X, e eu pegar números aleatórios, agora. Vou colocar 9 e -2, e eu quero descobrir as coordenadas de X em relação à nossa base B. Então uma maneira de fazer isso seria pegando a matriz de transformação linear, montando-a, que no caso ficaria [⅗, ⅘, -⅘, ⅗], multiplicando isso pelo nosso valor de X na base B, e isso daqui teria que ser igual ao nosso vetor X que a gente já tem, que é 9, que tem 9 e -2. A gente teria que calcular a inversa dessa matriz aqui e passá-la para esse lado, sendo multiplicada pelo nosso valor de X e então a gente descobriria a condenada de X em relação a B. Mas existe um jeito muito mais fácil, que é usando essa propriedade que a gente descobriu anteriormente, e utilizando-a, a gente fica com... Deixe-me fazer de outra cor. A gente fica com o vetor X em relação a B é igual a V1, o produto de V1 com X, e o produto de V2 com X. É esse que está aqui em cima, VⅈX. E continuando a calcular isso aqui... Acho melhor colocar mais para baixo, e vou... Acho que eu mexi na gravação, deixe-me voltar ao normal. Eu vou colocar mais para baixo e vou fazer um pouco mais para baixo porque vai ficar melhor para ver, para ter mais espaço pra escrever. Então isso aqui fica igual ao meu vetor V1, ⅗, multiplicado pelo meu vetor X. Então fica ⅗ vezes 9, o que vai dar 27/5, mais ⅘ vezes -2, que vai dar -8/5. Agora aqui vai dar meu V2. -⅘ vezes 9, isso vai dar -36/5, e isso aqui, -⅗ vezes 2, vai dar -6/5. Eu sei que isso aqui ficou feio, mas é isso que nós estávamos procurando, que é justamente o nosso valor do vetor X na base B. Só simplificando, terminando aqui, vamos ver quanto vai ficar. Vai ficar, isso aqui vai ser 19/5, e aqui, -36 com -6 vai dar -42, -42/5. Então essas aqui são as coordenadas do nosso vetor X na base B. E eu garanto que seria muito mais difícil ter calculado a inversa dessa matriz aqui e depois multiplicado nesse lado aqui pela inversa dessa matriz, a matriz de mudança de base. Eu garanto que isso daria muito trabalho, então ainda bem que nós temos essa fórmula aqui. Muito obrigado, pessoal, e até a próxima!