Exemplo de Gram-Schmidt com três vetores de base

RKA3JV - Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? Vamos fazer aqui mais um exemplo do processo de Gram-Schmidt. Então, para começar vamos dizer que eu tenha aqui um espaço "V" que é gerado pelos vetores, vamos lá, o primeiro é o [0, 0, 1, 1], o próximo é o [0, 1, 1, 0] e o último aqui é o [1, 1, 0, 0]. Ou seja, este aqui, pessoal, é um subespaço do R⁴ com três dimensões, ok? Aqui, um subespaço tridimensional do R⁴. O que a gente vai tentar fazer aqui é encontrar uma base ortonormal de "V". Em outras palavras, o que a gente vai fazer aqui é encontrar um substituto para estes três vetores, que sejam ortogonais entre eles e que tenha módulo 1. Então, vamos passar pela mesma ladainha que a gente já fez anteriormente. Eu vou chamar este vetor de V₁, este aqui vai ser o meu V₂ e este vai ser o meu V₃. Bom, como é que a gente começa mesmo o processo? A gente começa pegando o primeiro vetor, podia ser qualquer um destes três. A gente pega o primeiro e vai normalizar este vetor. Então, primeiro, encontro aqui o módulo, a norma deste vetor. Digamos, a norma de V₁ que é igual à raiz quadrada da soma das coordenadas ao quadrado. Ou seja, zero ao quadrado, mais zero ao quadrado, mais 1² mais 1². Ou seja, isso aqui tem norma, tem comprimento, √2. Então, nosso vetor normalizado u₁, como é que a gente acha mesmo? É 1 sobre o comprimento do v₁, vezes o vetor v₁ que no caso é [0, 0, 1, 1]. Olha só, achamos a primeira parte da nossa base ortonormal. Então, simplesmente, eu posso falar que o espaço gerado por v₁, v₂ e v₃ é a mesma coisa que o espaço gerado por u₁, v₂, v₃. Eu tenho aqui o meu u₁, posso falar que "V" é o espaço gerado por u₁, v₂, v₃. Novamente, eu troquei o meu v₁ por u₁, por quê? Porque, simplesmente, o meu v₁ é uma versão um pouco maior do vetor u₁. Então, tudo que o v₁ gera, pode ser gerado pelo u₁. Agora, vamos achar nosso segundo vetor. Então, para fazer isso, eu vou pensar no seguinte. Eu já normalizei este rapaz. Agora, nossa ideia é encontrar dois outros que são ortogonais a ele. Começando, como eu já disse, pelo V₂. Eu saio de um y₂, vetor y₂, que é nada menos do que o v₂ menos a projeção ortogonal de v₂ no subespaço que este carinha aqui zera. Nos vídeos anteriores, eu chamava de subespaço V₁. Vamos fazer essa conta. Opa, faltou uma flecha aqui. y₂ é, simplesmente, v₂, que a gente representa pelo vetor [0, 1, 1, 0], menos essa projeção ortogonal aqui. Vamos lembrar como que a gente faz a projeção ortogonal? É simplesmente o v₂, então aqui [0, 1, 1, 0] e o produto escalar com a base do meu v₁. Ou seja, o vetor que gera o v₁, que no nosso caso é u₁. Então, o produto interno com 1/√2 vezes [0, 0, 1, 1]. Agora, para concluir a gente pega o resultado deste produto escalar e multiplica pelo próprio vetor base. Então, isso vezes 1/√2 vezes [0, 0, 1, 1]. Ok! Então, esta aqui é a minha projeção ortogonal. Este negócio todo! Bom, deixe-me continuar esta conta aqui embaixo. Este asterisco para falar que eu estou continuando. Então, vai ser igual ao vetor [0, 1, 1, 0], menos, vamos fazer esta conta. Primeiro, eu posso fazer este 1/√2 vezes 1/√2. Este cara vezes este cara dá 1/2. Agora, eu vou fazer este meu produto interno. O produto interno dá zero vezes zero é igual a zero. Mais, 1 vezes zero é zero. Mais, 1 vezes 1 igual a 1. Mais, zero vezes 1 é zero. Ou seja, isso aqui dá um produto interno. O produto escalar destes dois vetores é igual a 1. Este resultado vezes este vetor [0, 0, 1, 1] Isso é igual ao meu [0, 1, 1, 0] menos, vamos fazer agora este cara vezes o vetor. 1/2 vezes zero é zero, 1/2 vezes zero é zero, 1/2 vezes 1 é 1/2, 1/2 vezes 1 é 1/2. Assim, o meu y₂ vai ser zero menos zero, igual a zero, 1 menos zero, é igual a 1, 1 - 1/2 = 1/2 e zero menos 1/2 é -1/2. Aqui está o nosso vetor. Daqui eu tenho que o meu "V" é o espaço gerado por u₁, y₂ e v₃. O que já está ficando uma coisa bastante legal para a gente! Afinal, o meu o u₁ já é um vetor normalizado e o y₂ é ortogonal ao u₁. Só falta a gente normalizar o y₂. Então, para isso, vamos calcular a norma de y₂ que é justamente fazer a raiz quadrada de zero ao quadrado, que é zero, mais 1² que é 1, mais 1/2² que é 1/4, mais -1/2² que também é 1/4. Se eu fizer esta soma eu vou ter 1/2. Então, aqui eu vou ter √3/2 que dá 1/2, dá 1,5. Então, pessoal, vou ganhar um pouco de espaço aqui e vou ver quem é o meu u₂. O meu u₂ vai ser a versão normalizada de y₂, que vai ser 1 sobre a norma de y₂. E 1/ √3/2 vai ser √2/3, não é? É só pegar a raiz do inverso. Vezes o meu próprio y₂. Ou seja, vezes [0, 1, 1/2, -1/2]. Ok, eu achei quem é o u₂. Agora, eu posso falar que o "V" é o espaço gerado pelo u₁, u₂ e v₃. Ok! Encontramos aqui então o segundo vetor para a nossa base ortonormal. Já fizemos bastante progresso aqui. Eu tenho o u₁ e u₂, que são ortogonais entre si. E ambos têm norma 1, ambos têm tamanho 1. Falta só a gente descobrir, fazer alguma coisa com o nosso vetor v₃. Bom, pessoal, para eu achar aqui o nosso v₃, eu vou fazer o mesmo processo. Eu vou pegar um y₃ que vai ser o meu v₃, menos a projeção do v₃ no espaço gerado por estes dois vetores. Eu vou até escrever aqui por uma questão de notação. Eu vou chamar o espaço gerado por u₁ e u₂, de v₂. Então, vai ser aqui a minha projeção de v₃, do vetor v₃, no subespaço V₂. Então, em outras palavras, vai ser o meu v₃, menos, bom, expandindo aqui o cálculo da projeção, a gente pode falar que vai ser o v₃ produto escalar com o u₁, vezes u₁, mais o v₃ produto escalar com u₂ vezes u₂. Fecha parênteses. Eu fiz esta conta aqui, porque é como a gente calcula uma projeção ortogonal, em uma base ortonormal. Que é uma propriedade que a gente viu a alguns vídeos atrás, que é fazer a projeção ortogonal em uma base ortonormal, que é um pouco mais simples do que quando a gente faz em outras bases quaisquer. Então, vamos lá! Vamos ao trabalho braçal! Vamos calcular este meu y₃. O y₃ é o v₃, então, vamos lembrar quem é este v₃. Vai estar aqui [1, 1, 0, 0] menos v₃, produto escalar com u₁. Então, fica v₃ produto escalar com u₁ que é 1/√2, multiplicado por [0, 0, 1, 1]. Este resultado vezes 1/√2, [0, 0, 1, 1]. Agora, como este menos distribui aqui, vai ficar aqui também, menos o v₃ que é igual a [1, 1, 0, 0], produto escalar com o u₂. u₂ que a gente acabou de calcular, é √2/3 vezes [0, 1, 1/2, -1/2]. O resultado deste produto escalar a gente multiplica pelo vetor u₂, que é a √2/3 vezes [0, 1, 1/2, -1/2]. Continuando com nosso trabalho braçal, eu vou pegar um pouco mais de espaço, isto aqui é igual a [1, 1, 0, 0], menos, agora, preste atenção no seguinte. Se eu fizer o produto interno desse vetor vai ficar 1 vezes zero, igual a zero, 1 vezes zero, igual a zero, zero vezes 1 igual a zero. O produto interno aqui já está dando zero. Então, vai ficar a zero vezes esta parte, que vai dar zero. Lembrando, que quando o produto interno, produto escalar, entre dois vetores é zero, significa que estes vetores são ortogonais. Este vetor, menos zero, menos, se eu fizer √2/3 vezes √2/3 aqui, vai dar 2/3. Agora, vamos fazer este produto escalar, este produto interno. 1 vezes zero é igual a zero, mais 1 vezes 1 igual a 1, zero vezes 1/2 igual a zero, zero vezes -1/2 também é zero. Vezes este vetor aqui [0, 1, 1/2, -1/2]. Ótimo! E o que isso vira? Isso vai ficar o meu [1, 1, 0, 0], menos, como este parêntese aqui está dando 1, vai ficar, na verdade, 2/3 vezes 1, vezes isso. Ou seja, 2/3 vezes o vetor. Portanto, 2/3 vezes zero é igual a zero. 2/3 vezes 1 = 2/3. 2/3 vezes 1/2 = 1/3 e 2/3 vezes -1/2 = -1/3. Então, ficou essa diferença aqui de vetores. E para concluir, eu tenho 1 menos zero, é 1. 1 - 2/3 = 1/3, zero menos 1/3 é igual a -1/3, e zero menos -1/3, dá 1/3 positivo. Então, o resultado, o meu y₃ é este vetor aqui. O que é bem bacana, que é bonito, porque este meu y₃ é ortogonal ao u₁ e u₂ , só que ainda não foi normalizado. Então, vamos normalizá-lo. Então, vamos normalizar este vetor y₃, porque aí a gente já vai terminar. A gente já vai ter a base ortonormal do nosso espaço "V". Para normalizar este vetor y₃, eu vou te dar uma dica para facilitar as contas. Em vez de normalizar o y₃, eu vou pegar um vetor y'₃. Este y'₃ vai ser um vetor 3 vezes maior do que o meu y₃. Por que eu estou fazendo isso? Para tirar estas frações. Então vou fazer 3 vezes o vetor y₃, vai ficar [3, 1, -1, 1] aqui. Veja que eu tenho um vetor paralelo ao y₃, não é? Então, tudo bem eu trabalhar com ele. Vamos agora normalizar este cara que é uma conta muito mais fácil. Então, quem é a norma de y'₃? Vai ser a raiz quadrada desta coordenada ao quadrado, que é 9, mais esta coordenada ao quadrado, que é 1, mais -1² que também é 1, mais esta última coordenada ao quadrado que também dá 1. Ou seja, é √12. Porém, 12 é 3 vezes 4, 4 sai da raiz. Então, vai ficar 2√3. Então, eu posso falar que eu tenho o meu vetor u₃, que vai ser 1 sobre a norma do meu y'₃. Ou seja, 1 sobre 2√3. Vezes o vetor y'₃ que é [3, 1, -1, 1] Pronto, a gente tem, agora, a base ortonormal de "V". E essa base é formada por este "rapaz" aqui e estes dois "rapazes" aqui. Estes outros dois vetores, que eu vou levar aqui para baixo para ficar mais fácil para a gente ver. Olha só, pessoal! Eu tenho que estes três vetores, que são ortogonais entre eles, e todos os três têm tamanho 1, têm norma 1. E, além do mais, eles geram o "V". Portanto, esta aqui é uma base ortonormal daquele meu subespaço "V", que eu comecei o vídeo falando. Ok, pessoal, eu espero que vocês tenham gostado do vídeo. E até o próximo vídeo!