Exemplo de Gram-Schmidt com três vetores de base

olá pessoal prontos para mais um vídeo vamos fazer aqui mais um exemplo do processo de grande schmidt então pra começar vamos dizer que eu tenho aqui um espaço ver que é gerado no espaço gerado pelos vetores vamos lá o primeiro é o 001 um check in o próximo é o 0 1 70 certo o último aqui é o 110 0 ou seja esse aqui pessoal é um sub espécie de r 4 com três dimensões aqui um substrato tridimensional do r4 que a gente vai tentar fazer que é encontrar uma base horto normal de ver em outras palavras o que a gente vai fazer aqui é encontrar um substituto para esses três vetores que sejam ortogonais entre eles e que tenha módulo então vamos passar pela mesma ladainha que a gente já fez anteriormente é vou chamá esse vetor zinho db1 esse aqui vai ser o meu ver dois e este vai ser o meu 3 bom como é que a gente começa mesmo processo a gente começa pegando o primeiro vetor zinho podia ser qualquer um desses três a gente pega o primeiro e vai normalizar esse vetor então o primeiro encontra aqui o módulo é norma desse setor digamos a norma de ver um que é igual a raiz quadrada da soma das coordenadas ao quadrado ou seja 0 quadrado mas 0 quadrado mas um ao quadrado mas um ao quadrado ou seja isso aqui tem norma tem cumprimento raiz de 2 então nosso vetor normalizado o 1 como é que a gente acha mesmo é um sobre o comprimento do v1 vezes o vetor zinho ver um que no caso é 00 olha só achamos a primeira parte da nossa base 8 normal tão simplesmente eu posso falar que o espaço gerado por ver um v2 e v3 é a mesma coisa que o espaço gerado por 1 2 e 3 a 1 é que o meu posso falar que vê é o espaço gerado por o v2 e v3 novamente troquei o meu ver um por um por quê porque simplesmente o meu ver um é uma versão um pouquinho maior domingo 14 11 então tudo que o vê um gera pode ser gerado pelo 1 e agora vamos achar nosso segundo vetor então pra fazer isso eu vou pensar no seguinte eu já normalizou esse rapaz agora nossa idéia é encontrar dois outros que são ortogonais a ele começando como eu já disse pelo v2 eu saio de um y 2 14 y2 que é nada menos do que o v 2 - a projeção 8 banal de v2 no sub-paço que esse carinha quiser a que nos vídeos anteriores eu chamava de subir espaço v1 vamos fazer essa contínua para faltar flechinha aqui y2 é simplesmente v2 que a gente representa pelo vetor zero 10 - essa projeção ortogonal aqui vamos lembrar com que a gente faz a produção e tornaram é simplesmente o v2g 2011 10 e o produto escalar com a base do meu ver um seja o carinho é o vetor zinho que geram ver um que nosso caso é um então o produto interno com um sobre raios de 2 vezes 001 e agora a concluir a gente pega o resultado desse produto escalar e multiplica pelo próprio vetor base então isso vezes um sobre raios de 2 x 0 01 que então essa aqui é a minha projeção ortogonal esse negócio todo o show continuar essa continha aqui embaixo e sísteres quinho pra falar que estou continuando então vai ser igual a o vetor zinho 0 10 - vou fazer essa contínua primeiro eu posso fazer se um sobrinho de 21 sobre o r2 né e se cada vez cara dá um sobre dois agora vou fazer esse meu produto interno produto interno da 01 00 mas 100 mais um vez um mais r 310 ou seja isso aqui dá um produto interno produto escalar esses dois setores é igual a alguns esse resultado vezes esse vetor zinho 0 01 e 1 isso é igual a o meu 0 10 - vamos fazer agora esse cara vez o vetor meio vezes 00 meio vezes 00 meio vezes um é meio a meio vezes um é meio quem assim o meu y2 pessoal vai ser 0 - 0 0 1 - 0 11 - meio a meio e 0 - meio - akita o nosso vetor zin daqui até que meu ver agora é o espaço geral o um y 2 e v3 e porque já está ficando uma coisinha bastante legal pra gente afinal o meu o 1a ele já é um vetor normalizado eo y 2 ele é ortogonal um só falta a gente normalizar o y 2 então pra isso vamos calcular a norma de y dores que é justamente fazer a raiz quadrada de zero ao quadrado que é zero mas um ao quadrado que é um mais 6 ao quadrado que é um quarto mas menos 6 ao quadrado que também é um quarto se eu fizesse a sua linha que eu vou ter um e mail então aqui eu voltei a raiz quadrada de três meios que dá um e mail de 1,5 então o pessoal vou ganhar um pouquinho de espaço aqui e vou ver quem é o meu o dois né o meu dois vai ser a versão normalizada de y 2 que vai ser um sobre a norma de y dois né e um sobre a raiz de três meios vai ser a raiz de dois terços né é só pegar a raiz do inverso vezes o meu próprio y2 ou seja vezes 01 meio e menos meio que achei quem é o 2 e agora eu posso falar que o v é o espaço gerado pelo 1o 2o e b3 ok encontramos aqui então o segundo vetor para a nossa base horto normal já fizemos bastante progresso aqui né tem 11 e 12 que são ortogonais entre si e ambos têm norma ambos têm tamanhos em um falta só a gente descobrindo é fazer alguma coisa com o nosso vetor v3 bom pessoal pra eu achar aqui né o nosso 3 eu vou fazer o mesmo processo para pegar o joão 3 que vai ser o meu ver 3 - a projeção do v3 no espaço gerado por esses dois vetores vizinhos né até escrevi aqui por uma questão de natação ou chamar o espaço gerado por rum e o2 de v2 tá então vai ser aqui a minha projeção de v3 do vetor zinho v3 no sub espaço v2 então em outras palavras não vai ser o meu ver 3 - bom expandindo aqui o cálculo da projeção a gente pode falar que vai ser o v 3 produto escalar com o 11 vezes o 1 mas o v 3 produto escalar com odores vezes dois fecha parênteses fiz essa continua aqui né porque é como a gente calcula uma projeção ortogonal uma base horto normal né é uma propriedade que a gente vê alguns vídeos atrás que é fazer a projeção ortogonal numa base do normal que é um pouquinho mais simples do que quando a gente faz em outras bases quaisquer então vamos lá vão o trabalho braçal vamos calcular esse meu y-3 o y 3 é o v 3 vamos lembrar quem é esse v3 ataque 11 00 11 00 - v3 produto escalar com o 1 então fica de três produtos calar com o que é um sobre raios de 21 sobre raiz de 2 explicado por 1 0 0 1 0 0 1 quem esse resultado vezes um sobre raios de 2001 agora como esse - distribuir aqui vai ficar aqui também - o v 3 3 que é igual ao 100 produto escalar com o 2o 2 que a gente acabou de calcular aqui ó raiz de dois terços vezes 01 meio - meio o resultado desse produto escalar a gente multiplica pelo vetor o 2 que é a raiz de dois terços vezes 01 meio - meio vão continuar com nosso trabalho braçal pessoal for pegar um pouquinho mais de espaço isso é que é igual a 110 01 14 - para pensar o seguinte se eu fizer o produto interno desse vetor zinho vai ficar 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 o produto interno aqui já está dando 0 então vai ficar a zero vezes essa parte que vai dar zero lembrando que quando o produto interno produto escalar entre 280 significa que esses vetores são ortogonais tá esse setor - 10 - se eu fizer raio de dois terços vez mais de dois terços aqui vai dar dois terços né agora vamos fazer esse produto escalar esse produto interno bruto 0 mas fez 10 vezes meio 100 vezes menos meio também é 10 vezes esse vetor zinho que 01 meio - v ótimo e o que isso vira isso vai ficar o meu 100 e menos como esse parentes aqui tá dando um né vai ficar na verdade dois terços vezes um vezes isso ou seja dois terços vezes o vetor portanto dois terços vezes 00 dois terços vezes um é dois terços dois terços vezes meio é um terço e dois terços vezes - meio é menos um terço ficou essa diferença aqui de vetores e para concluir aqui ó tenho 1 - 0 é 11 - dois terços é um terço 10 menos um terço menos um terço e 0 - menos um terço da contexto positivo é o resultado meu y-3 é esse vetor zinho aqui o que é bem bacaninha que é bonitinha porque esse meu y-3 ele é ortogonal ahú e 12 só que ainda não foi normalizado então vamos normalizar lo então bora normalizar esse vetor zinho no trecho que a gente já vai terminar gente já vai ter a base 8 normal do nosso espaço ver para normalizar esse vetor zy 3 vou te dar uma dica para facilitar as contas está em vg normalizarem são três eu vou pegar um vetor zinho e y linha 3 esse y linha 3 vai ser um vetor três vezes maior do que o mel gibson 3 porque estou fazendo isso para tirar essas frações né então vou fazer três vezes o vetor dos 13 vai ficar 3 1 - 1 e um aqui e veja que eu tenho um vetor zinho paralelo ao ípsilon 3 né então tudo bem eu trabalhar com ele vamos agora normalizar esse cara que é uma continha muito mais fácil então quem que é a norma de y linha 3 vai ser a raiz quadrada dessa coordenada ao quadrado que nove mas essa coordenada ao quadrado que é um mais ou menos 1 ao quadrado que também é um mas essa última coordenada ao quadrado que também dá um ou seja é raiz de todo 11 porém 12 é três vezes 44 sai da raiz então é ficar 2 raiz de 3 ou então posso falar aqui ó que eu tenho o meu vetor zinho o 3d vai ser um sobre a norma do meu y linha 3 ou seja 1 sobre dois países de três vezes o vetor zinho e johnny a 3 que é 3 1 - 1 e 1 e pronto a gente tem agora a base horto normal dever e essa base é formada por esse rapazinho que e esses dois rapazinhos aqui ó esses outros dois vetores que eu vou levar daqui pra baixo pra ficar mais fácil a gente vê olha só e olha só pessoal eu tenho que esses três setores vizinhos que são ortogonais entre eles né e todos os três têm tamanho um neto em normam e além do mais eles geram o v portanto essa aqui ó é uma base 8 normal daquele meu subir espaço ver que eu comecei o vídeo falando que o pessoal espero que você tenha gostado do vídeo e até o próximo vídeo