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Exemplo do processo de Gram-Schmidt

Usando o Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para um plano em R3. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

olá pessoal prontos para mais um vídeo no vídeo anterior a gente desenvolveu um processo que cria bases horto normais para espaços editoriais não foi nenhuma descoberta é volante na final é o processo de grande schmidt e neste vídeo a gente pretende ver alguns exemplos é um exemplo pra mostrar pra vocês esse processo em prática e ele não parecer tão abstrato quanto pareceu no vídeo anterior então pra começar digamos que eu tenho aqui um plano um plano que é o x1 mais x 2 mas x3 igual a zero você quer um plano r 3 a gente tem aqui um subir passo ver o nosso espaço ver é o plano é o plano definido definido o x1 mais x2 mais x3 igual a zero então é o plano definido por esse rapazinho aqui ou seja todos os vetores de r 3 que seu somar às três coordenadas deles o resultado a 0 bom então pra começar aqui pessoal a gente tem que definir alguma base qualquer o nosso ver a primeira coisa que a gente pode pensar é que se a gente pegar essa equação zinha e subtrair x 2 x 3 dos dois lados da equação eu consigo achar aqui que o nosso x1 é igual a menos x 2 - x3 né bom pessoal a fim de tirar esses x daqui né vou falar que o meu x 2 é uma constante c1 e x3 é uma constante c2 né assim fica aqui o meu x1 é igual a menos o meu seu nessa constante - c2 o meu espaço v vai ser um conjunto de vetores né motorzinhos x 1 x 2 e x 3 e eu vou tentar descrever esse cara como uma combinação de dois vetores certo como eu quero fazer uma combinação envolvendo seu 1 e c2 tem que ser o seu vezes um vetor zinho mas uns e 2 vezes um outro vetor zinho certo e com ele eu formar todo mundo desse conjunto aqui que é mesmo meu x 1 mil x1 é - e 1 - e dores então pra ficar - se um - e dois na hora que eu faço a combinação desses dois aqui aqui tem que ficar menos um e aqui - um oxi é um vezes - 1 - e um c 2 - 1 - e dois e quando eu somo esses dois vetores ficar - são menos co2 que é o meu x 2 x 2 e definir aqui que ele é seu então vai ser uma vez se um mas não vai ter c dois né já o x 3 x 3 já define como c 2 então 0 ser um não apareceu um aqui a coordenadora x 3 e 1 que multiplica c2 agora sim ó quando eu multiplico ser um aqui c2 aqui somos vetores eu tenho exatamente essas configurações aqui só lembrando só pra não passar em branco ac na agente tem que esse 1 e c2 são números reais quem bom pessoal com que a gente volte a combinação desses dois vetores vizinhos aqui formam o nosso plano que define o espaço ver então com certeza eu posso falar que esses dois vetores vizinhos são a base do meu espaço v posso dizer aqui que vê é o espaço gerado pelos vetores menos 110 e - 10 e 11 quem esses dois vetores são base do nosso espaço ver uma coisa inclusive a gente pode notar que esses dois setores são obviamente linearmente independentes não tem não tem nenhuma combinação linear que o faça com esse vetor apenas que faça parecer 11 nessa segunda posição para igual a esse vetor aqui por exemplo e da mesma forma não consigo combinar nada aqui pra aparecer um nessa última posição portanto esses vetores são linearmente independentes podem ser a base de um espaço então todos nós concordamos que isso aqui é uma base de ver mas o que eu quero achar que ó o ponto desse vídeo encontrar uma base que seja 8 normal para o meu espaço ver então vamos lá vamos começar a atentar porto normalizar isso aqui vou chamar esse vetor zinho de vetor zinho v1 e esse vetor zinho de vetor zinho de 2 a 1 dos vetores vizinhos vamos conseguir um pouquinho de espaço e pra começar vou pegar um substrato que vou chamar de ver um tapa e um vai ser o espaço gerado pelo meu vetor zinho pezinho então esse meu subir passo de ver é o espaço gerado pelo vetor zinho v1 e como então eu normaliza esse espaço de uma dimensão basta transformar isso aqui no vetor unitário né e como que o transforma no vetor unitário eu divido pela norma do vetor então vamos calcular aqui a norma de ver calculando então aqui a norma do vetor zinho v1 e com que a gente acha a mesma norma de um vetor é a raiz quadrada da soma do quadrado das coordenadas ou seja a primeira coordenada quadrado - 1 ao quadrado 1 mas segundo a coordenadora quadrado um ao quadrado um mais terceira corrida no quadrado 0 ao quadrado zero ou seja a norma no nosso vetor zinho ver um é igual a raiz quadrada de dois aqui o pessoal aí a gente define um vetor zinho o um é igual a 1 sobre a norma do v1 vezes o nosso ver um ei é o ver um dividido pela norma dele posso falar que o espaço gerado por ver um é o mesmo espaço gerado pelo vetor o 1 pronto pessoal achamos aqui né uma base 8 normal para os hubs passo ver um agente representar que que é isso né digamos que afecta o nosso vetor zinho um é um protetor normalizado ele tem tamanho normal 11 e o espaço que o vetor zinho deste gera é essa reta né essa retinha do r31 todos os calares vezes esse vetor que conseguimos ver o que é uma ilustração decidiu subir espaço eu mas o meu objetivo é não achar a base outro normal de um mas achar base 8 normal de ver né achar uma base 8 normal de subir espaço aqui que é gerado por esses dois vetores então vamos em frente que seria o nosso de 2 o v2 seria um vetor zinho por aqui o vetor zinho linearmente independente desse porque ele realmente independente dele porque ele é linearmente independente do v1 então ele vai ser independente de qualquer coisa gerado pelo ver um colocando aqui um pouquinho nome aos bois aqui é o nosso vetor zinho v2 aqui em baixo o nosso 30º o 1 e agora vou encontrar um substrato v2 que é nada mais nada menos que um espaço gerado por v1 e v2 porém tudo que é gerado por ver um também é gerada por um então posso falar que esse mesmo subir espaço é um espaço gerado por um ipad2 bom pessoal olha só esse meu carinho que chama de v2 tem dois vetores como base ele é um plano igual o nosso ver não posso falar que se encontrará a base 8 normal de v2 eu acho a base 8 normal de ver né eu acho já esse meu carinho que estava procurando já acabou com isso assim que eu encontrar essa base é normal aqui então o pessoal se eu conseguir um vetor ortogonal a esse espaço gerado por um em que eu consiga gerar aqui o v2 ó eu posso trocar o meu ver dois por esse vetor zinho aqui olha só pessoal vejam que se eu pegar digamos que esse setor se chama se y2 veja pessoal que se eu pegar esse meu o 1 x 1 escalar isso o mar com esse y2 que é ortogonal a todo esse espaço eu tenho meu ver dois então o v2 é claramente uma combinação linear desses dois vetores aqui não posso falar que esse espacinho aqui é igualzinho ao espaço gerado por o y 2 bom e como que a gente encontra esse y2 então a gente viu no vídeo anterior de que é esse rapazinho aqui né esse nosso rapaz em que o desenho verde é a projeção do vetor v2 no sub espaço ver um né que ao subir espaço ver o mesmo é esse essa retinha é é a ré tinha que o meu um consegue gerar ok e como que a gente calcula y2 bom o nosso y2 vai ser nada mais nada menos que ver dois - essa projeção não vi 2 - a projeção do vitor v2 no sub-paço viu então agora vamos fazer as continhas né que quer ouvir dois o v2 é esse vetor zinho aqui ou seja menos 10 um vetor v2 e agora vamos calcular a projeção de v2 v1 colocando aqui o nome vizinho pra gente nos perder esse aqui é o 22 - agora vamos calcular essa projeção ok então como que o cálculo essa projeção mesmo né vai ser o v2 não vamos aqui e dois anos 10 um v2 produto escalar com a base do v1 então vai ser um produto escalar o ganho esse valor zinho aqui é um produto escalar com um sobre raios de 2 - 1 110 dividido pela norma de 11 é uma base normalizada portanto a nova de um vale uma unidade ou seja vai ser esse produto escala é dividido por um tal não preciso nem escrever aqui e o resultado disso afinal isso aqui é um produto escalar então o número real eu multiplicou pelo meu vetor base de ver 11 sobre r 2 - 1 0 não só pra mim isaac pessoal para calcular essa projeção que eu fiz eu peguei o meu ver dois é o vetor em v2 produto escalar com o um dividido pela norma de um que vale um e o resultado disso eu multipliquei por um pelo vetor zinho 1 parece meio rebuscado demais né mas é bom vamos fazer aqui a operação e vocês vão ver que é bem fácil lá então no final das contas eu tenho esse vetor menos uns 10 11 - agora vamos calcular que a lembrando que esse negócio aqui ó é a projeção do v2 v1 a esse grande mas a gente vai ver que vai ficar pequenininho só para já facilitar para a gente quando eu multiplico né um sobre ray de 2 vezes um sobre r 2 eu tenho aqui um sobre dois já que eu fiz a operação já conheciam sobre raios dois aqui vamos fazer o produto interno desses vetores que vai ser um produto interno mas será a primeira coordenada de civis a primeira coordenada de si tão menos 1 vezes menos um mas a segunda coordenada vez a segunda coordenada de 10 mais a terceira coordenada vezes a terceira coordenada então deu zero aqui também tem pessoal lembra esse é o resultado de um produto escalar é um número real é aqui que está faltando aqui vamos ver já fiz esse vezes esse aqui fiz o produto escalar aqui a ata faltando esse vetor zinho então vezes menos 11 10 então vamos continuar nosso contínuo né esse número é o número um é multiplicar pelo número muito fácil já facilitou bastante as continhas pra gente eu tenho aqui no final das contas então o menos 101 - meio vezes setor meio vezes menos um é menos meio meio vezes um é meio e 600 ok agora subtrai nesses vetores - 1 - 1 - meio na verdade fica menos um mais meio e menos um mais meio é menos 60 - meio também - meio e 1 - 0 a 1 roque então como resultado tivemos esse vetor zinho aqui portanto pessoal esse vetor zinho aqui é o nosso vetor y2 e se eu combinar o vetor 1 com o nosso y2 aqui eu consigo gerar o espaço ver então o pessoal aqui a gente tem uma base que é ortogonal porém esse vetor zinho aqui ele ainda não tem módulo então vamos normalizar esse vetor vou pegar um vetores em que o chamar the o2 que vai ser igual a um dividido pelo módulo de y 2 vezes y2 mas o que é o módulo de y dois né o módulo de y 2 é a raiz quadrada de - meio quadrado um quarto mas menos 6 quadrado um quarto mas um quadrado 1 portanto quando eu sou essas frações já tem um quarto mais um quarto mais quatro quartos então eu tenho raiz quadrada de seis quartos e é claro que eu posso simplificar isso aqui que fica a raiz quadrada de três meios portanto aqui o meu o 2014 no 2 a 1 sobre esse módulo ou seja da raiz quadrada de dois terços né um sobre raio de três meios da raiz de dois terços vezes esse meu retorno aqui - meio - meio e 1 e aqui em cima pessoal eu já tenho meu o 11 é votar é copiar ele aqui ó vamos lá que eu tenho meu o um olha só pessoal então aqui pra finalizar eu tenho que o co2 são dois caras que são ortogonais entre eles e tem cumprimento módulo além disso eles geram ver como eles geram vê e como eu já disse ele são ortogonais entre si e de tamanho eles são uma base curto normal de ver pronto pessoal fizemos o processo de grande schmidt encontramos esses dois vetores como base 8 normal do espaço vetorial que a gente propôs no começo do exercício espero que você tenha gostado e até o próximo vídeo tchau tchau pessoal