Conteúdo principal
Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 3
Lição 4: Bases ortonormais e o processo de Gram-Schmidt- Introdução a bases ortonormais
- Coordenadas com relação às bases ortonormais
- Projeções em subespaços com bases ortonormais
- Exemplo de como encontrar projeção no subespaço com base ortonormal
- Exemplo do uso de matriz de mudança de base ortogonal para encontrar a matriz de transformação
- As matrizes ortogonais preservam ângulos e comprimentos
- O processo de Gram-Schmidt
- Exemplo do processo de Gram-Schmidt
- Exemplo de Gram-Schmidt com três vetores de base
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Introdução a bases ortonormais
Uma olhada nos conjuntos e nas bases ortonormais – ou nas quais todos os vetores têm comprimento 1 e são ortogonais uns aos outros. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Parece que o dublador não sabia da matéria :/
Vários erros, como não citar que o comprimento tem que tirar a raiz.(1 voto)- Você está tecnicamente correto, mas acontece que não citar a raiz ao calcular a magnitude do vetor é aceitável, nesse contexto, pois o resultado seria o mesmo (a raiz quadrada de 1 ainda é 1).(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Neste vídeo eu vou fazer aqui
um conjunto de vetores diferentes. Eu vou fazer
um conjunto B e vou colocar nesse conjunto B
os vetores v1, v2 até chegar em vK, ou seja, pode ter
quantos vetores eu quiser aqui dentro. Só que esse conjunto de vetores não é
um conjunto de vetores comum, ordinário. Esses vetores têm algumas propriedades
diferentes que tornam esse conjunto especial. A primeira dessas
peculiaridades dos vetores daqui é que o comprimento
deles, ou seja (dessa maneira aqui eu posso
escrever o comprimento de vⅈ) é igual a 1
para todo ⅈ igual a 1, 2 até
chegar em k, ou seja, para todos os vetores aqui dentro,
todos eles vão ter comprimento 1. Isso aqui também é a mesma coisa que dizer,
então, que vⅈ² é igual a 1 também, ou seja, o produto de vⅈ
com ele mesmo, vⅈ ponto vⅈ, ou o produto de vⅈ com ele mesmo,
como eu tinha dito antes, também tem
que ser igual a 1 para todo ⅈ
igual a 1, 2, até chegar em k,
dessa maneira aqui. Escrevendo isso aqui de uma maneira mais fácil
de entender, de uma maneira mais humana, a gente pode dizer
que todos os vetores de B possuem
comprimento 1, e isso aqui é a mesma coisa que dizer, dizer
que todos os vetores de B possuem comprimento 1, é a mesma coisa que dizer
que todos eles foram normalizados. Então todos eles
foram normalizados (acho que escrevi errado, calma.
Deixe-me fazer um R bonito). Normalizados. Ou seja, todos esses vetores foram apresentados
de uma maneira que seu comprimento fosse 1 e que o produto dele, de qualquer um desses
vetores, com ele mesmo também seja igual a 1. Agora, uma outra propriedade
interessante desses vetores é que todos eles são ortogonais
em relação aos outros vetores. Então se a gente pegar o nosso vetor vⅈ
e multiplicar por ele mesmo, por vⅈ, nós vamos ter como resultado 1, que é
o resultado desse produto entre vⅈ e vⅈ. Mas se a gente pegar um vetor vⅈ e multiplicá-lo,
fizer o produto dele com um outro vetor vj, o resultado disso vai ser zero
porque eles são ortogonais e isso daqui para todo
para todo ⅈ diferente de j. Ou seja, ⅈ e j necessariamente
têm que ser diferentes. A gente pode escrever isso aqui
de novo, de uma maneira... A gente pode escrever
por extenso isso daqui. É só dizer que todos
os vetores são ortogonais. Ok, mas posso escrever isso dessa
maneira aqui para organizar um pouco, então eu posso dizer que vⅈ vezes vj,
não posso esquecer de sinal de vetor, tem que ser igual a 1
se ⅈ for igual a j, mas vⅈ vezes vj tem que ser igual a zero
se ⅈ for diferente de j. Esse conjunto aqui, esse conjunto B
de todos os vetores de comprimento 1, todos normalizados
e todos ortogonais, recebe o nome,
recebe um nome especial, que é
"conjunto ortonormal". "orto" de ortogonal e "normal"
de todos normalizados. Isso daqui, pelo fato
de eles serem ortogonais, também quer dizer que B
é linearmente independente. Mas a gente também pode provar
que é linearmente independente. Como que a gente
poderia fazer isso? A gente poderia provar que
ele é linearmente independente assumindo que ele seja linearmente dependente
e chegando em uma contradição. Então vamos supor que a gente
pegue dois vetores, vⅈ e vj, pertencentes
ao nosso conjunto B e vamos assumir que esses dois vetores
sejam linearmente dependentes. Se eles são linearmente dependentes, a gente
pode fazer o produto, por exemplo, vⅈ vezes vj e isso aqui tem
que ser igual a 1. Só que isso daqui seria igual a 1 se eles fossem "LD",
se eles fossem linearmente dependentes, mas a gente sabe que
eles são linearmente independentes e no nosso conjunto B
linearmente independente, vⅈ vezes vj, o produto de vⅈ vezes vj,
tem que ser igual a zero. Está escrito aqui. Então a gente tem
que achar algum resultado que seja diferente desse aqui
que a gente está procurando. Então se eles são LD, se eles
são linearmente dependentes, eu posso escrever um como sendo
um múltiplo escalar de outro, ou seja, eu posso escrever, por exemplo,
vⅈ como sendo igual a um escalar C multiplicado pelo nosso vetor vj.
Isso aqui estaria correto. Então eu posso trocar isso
aqui nessa equação e vamos ver aonde
que a gente chega. Então, trocando, vai ficar C vezes
vj vezes vj tem que ser igual a... Ou melhor, tem
que ser igual a zero. Nós estamos tentando provar
que ele é linearmente dependente. A melhor maneira de provar isso
é mostrando que ele não é linearmente... Desculpa. A melhor maneira de mostrar que dois
vetores são linearmente independentes é provando que eles não
são linearmente dependentes. Então para eles não serem
linearmente dependentes, essa condição tem que ser
satisfeita, e para essa condição... E, no caso, para ele ser,
para a gente desfazer essa condição, a gente teria que assumir isso aqui para
mostrar que eles são linearmente dependentes, a gente teria que achar
uma coisa diferente disso aqui. É o que a gente está
fazendo nesse exato momento. Ok, então a gente pode
reescrever isso aqui... Ah, só vale lembrar que esse C
tem que ser diferente de zero, porque se ele fosse zero, qualquer
vetor seria linearmente dependente. Ok, então a gente pode
colocar um parênteses aqui e a gente pode dizer que isso aqui
é igual a C vezes o comprimento de vj e isso daqui tem
que ser igual a zero. Para isso daqui ser zero, como nosso C tem que
ser diferente de zero, vj teria que ser zero. Só que isso aqui é uma contradição,
isso aqui... (Deixe-me marcar) Isso aqui é
uma contradição, porque a gente disse lá em cima que todos
os nossos vetores têm um comprimento 1, então por que a gente chegou
nessa contradição, entende? Isso aqui prova que os nossos vetores
de B são linearmente independentes. Mas vamos fazer um exemplo com números para
isso aqui se tornar um pouco menos abstrato. Vamos supor
que eu pegue os vetores (deixe-me fazer dois vetores
aqui em uma cor diferente) vamos supor que eu pegue dois vetores v1,
ou melhor, vⅈ, vamos supor que eu pegue... Ou melhor, deixe-me colocar v1 e v2
em termos de v1 e v2 que fica mais fácil ainda. Então vamos supor
que eu pegue aqui v1 e coloque dentro dele os termos, que eu diga
que ele tem... (no caso a gente está fazendo em R3) então eu vou botar ⅓, ⅔ e ⅔,
dessa maneira aqui, e outro vetor
v2 igual a... Vamos botar ⅔, ⅓
e -⅔, dessa maneira aqui A gente sabe que a gente tem um conjunto B
formado pelos nossos dois vetores v1 e v2 . Então a gente pode calcular que
o comprimento de v1 vai ser (⅓)², que é 1/9, mais (⅔)², que é 4/9,
mais (⅔)², que também é 4/9, e isso vai ser igual a 9 sobre 9,
que é 9/9. Vai dar 1. Agora podemos calcular o comprimento de v2
(Deixe-me fazer essa barra mais direito aqui). O comprimento de v2, isso aqui vai
ter que ser igual a (⅔)², que é 4/9, mais 1/9, -(⅔)²,
que vai ser 4/9, e isso aqui vai dar 9 sobre 9, que
é igual a 1 também, como ali em cima. Então, agora, para a gente ver se isso aqui
é um conjunto ortonormal ou não, a gente vai ter que verificar
se eles são linearmente independentes, e para eles serem linearmente independentes,
v1 vezes v2 vai ter que ser igual a zero. Então, fazendo esse produto,
⅓ vezes ⅔ vai dar 2/9 mais ⅔ vezes ⅓ vai
dar 2/9 também e isso aqui agora ficar menos,
porque tem o sinal de negativo aqui, e isso vai dar −4/9.
Isso aqui é igual a zero. Ou seja, isso aqui
é um conjunto ortonormal. Se a gente for ver ainda o nosso espaço v
gerado pelos nossos vetores v1 e v2, a gente vai
descobrir que B é uma base
ortonormal de v. Então, muito obrigado. Espero
que você tenha entendido, eu sei que é um pouco mais difícil,
e até a próxima!