Introdução a bases ortonormais

RKA4JL - Neste vídeo eu vou fazer aqui um conjunto de vetores diferentes. Eu vou fazer um conjunto B e vou colocar nesse conjunto B os vetores v1, v2 até chegar em vK, ou seja, pode ter quantos vetores eu quiser aqui dentro. Só que esse conjunto de vetores não é um conjunto de vetores comum, ordinário. Esses vetores têm algumas propriedades diferentes que tornam esse conjunto especial. A primeira dessas peculiaridades dos vetores daqui é que o comprimento deles, ou seja (dessa maneira aqui eu posso escrever o comprimento de vⅈ) é igual a 1 para todo ⅈ igual a 1, 2 até chegar em k, ou seja, para todos os vetores aqui dentro, todos eles vão ter comprimento 1. Isso aqui também é a mesma coisa que dizer, então, que vⅈ² é igual a 1 também, ou seja, o produto de vⅈ com ele mesmo, vⅈ ponto vⅈ, ou o produto de vⅈ com ele mesmo, como eu tinha dito antes, também tem que ser igual a 1 para todo ⅈ igual a 1, 2, até chegar em k, dessa maneira aqui. Escrevendo isso aqui de uma maneira mais fácil de entender, de uma maneira mais humana, a gente pode dizer que todos os vetores de B possuem comprimento 1, e isso aqui é a mesma coisa que dizer, dizer que todos os vetores de B possuem comprimento 1, é a mesma coisa que dizer que todos eles foram normalizados. Então todos eles foram normalizados (acho que escrevi errado, calma. Deixe-me fazer um R bonito). Normalizados. Ou seja, todos esses vetores foram apresentados de uma maneira que seu comprimento fosse 1 e que o produto dele, de qualquer um desses vetores, com ele mesmo também seja igual a 1. Agora, uma outra propriedade interessante desses vetores é que todos eles são ortogonais em relação aos outros vetores. Então se a gente pegar o nosso vetor vⅈ e multiplicar por ele mesmo, por vⅈ, nós vamos ter como resultado 1, que é o resultado desse produto entre vⅈ e vⅈ. Mas se a gente pegar um vetor vⅈ e multiplicá-lo, fizer o produto dele com um outro vetor vj, o resultado disso vai ser zero porque eles são ortogonais e isso daqui para todo para todo ⅈ diferente de j. Ou seja, ⅈ e j necessariamente têm que ser diferentes. A gente pode escrever isso aqui de novo, de uma maneira... A gente pode escrever por extenso isso daqui. É só dizer que todos os vetores são ortogonais. Ok, mas posso escrever isso dessa maneira aqui para organizar um pouco, então eu posso dizer que vⅈ vezes vj, não posso esquecer de sinal de vetor, tem que ser igual a 1 se ⅈ for igual a j, mas vⅈ vezes vj tem que ser igual a zero se ⅈ for diferente de j. Esse conjunto aqui, esse conjunto B de todos os vetores de comprimento 1, todos normalizados e todos ortogonais, recebe o nome, recebe um nome especial, que é "conjunto ortonormal". "orto" de ortogonal e "normal" de todos normalizados. Isso daqui, pelo fato de eles serem ortogonais, também quer dizer que B é linearmente independente. Mas a gente também pode provar que é linearmente independente. Como que a gente poderia fazer isso? A gente poderia provar que ele é linearmente independente assumindo que ele seja linearmente dependente e chegando em uma contradição. Então vamos supor que a gente pegue dois vetores, vⅈ e vj, pertencentes ao nosso conjunto B e vamos assumir que esses dois vetores sejam linearmente dependentes. Se eles são linearmente dependentes, a gente pode fazer o produto, por exemplo, vⅈ vezes vj e isso aqui tem que ser igual a 1. Só que isso daqui seria igual a 1 se eles fossem "LD", se eles fossem linearmente dependentes, mas a gente sabe que eles são linearmente independentes e no nosso conjunto B linearmente independente, vⅈ vezes vj, o produto de vⅈ vezes vj, tem que ser igual a zero. Está escrito aqui. Então a gente tem que achar algum resultado que seja diferente desse aqui que a gente está procurando. Então se eles são LD, se eles são linearmente dependentes, eu posso escrever um como sendo um múltiplo escalar de outro, ou seja, eu posso escrever, por exemplo, vⅈ como sendo igual a um escalar C multiplicado pelo nosso vetor vj. Isso aqui estaria correto. Então eu posso trocar isso aqui nessa equação e vamos ver aonde que a gente chega. Então, trocando, vai ficar C vezes vj vezes vj tem que ser igual a... Ou melhor, tem que ser igual a zero. Nós estamos tentando provar que ele é linearmente dependente. A melhor maneira de provar isso é mostrando que ele não é linearmente... Desculpa. A melhor maneira de mostrar que dois vetores são linearmente independentes é provando que eles não são linearmente dependentes. Então para eles não serem linearmente dependentes, essa condição tem que ser satisfeita, e para essa condição... E, no caso, para ele ser, para a gente desfazer essa condição, a gente teria que assumir isso aqui para mostrar que eles são linearmente dependentes, a gente teria que achar uma coisa diferente disso aqui. É o que a gente está fazendo nesse exato momento. Ok, então a gente pode reescrever isso aqui... Ah, só vale lembrar que esse C tem que ser diferente de zero, porque se ele fosse zero, qualquer vetor seria linearmente dependente. Ok, então a gente pode colocar um parênteses aqui e a gente pode dizer que isso aqui é igual a C vezes o comprimento de vj e isso daqui tem que ser igual a zero. Para isso daqui ser zero, como nosso C tem que ser diferente de zero, vj teria que ser zero. Só que isso aqui é uma contradição, isso aqui... (Deixe-me marcar) Isso aqui é uma contradição, porque a gente disse lá em cima que todos os nossos vetores têm um comprimento 1, então por que a gente chegou nessa contradição, entende? Isso aqui prova que os nossos vetores de B são linearmente independentes. Mas vamos fazer um exemplo com números para isso aqui se tornar um pouco menos abstrato. Vamos supor que eu pegue os vetores (deixe-me fazer dois vetores aqui em uma cor diferente) vamos supor que eu pegue dois vetores v1, ou melhor, vⅈ, vamos supor que eu pegue... Ou melhor, deixe-me colocar v1 e v2 em termos de v1 e v2 que fica mais fácil ainda. Então vamos supor que eu pegue aqui v1 e coloque dentro dele os termos, que eu diga que ele tem... (no caso a gente está fazendo em R3) então eu vou botar ⅓, ⅔ e ⅔, dessa maneira aqui, e outro vetor v2 igual a... Vamos botar ⅔, ⅓ e -⅔, dessa maneira aqui A gente sabe que a gente tem um conjunto B formado pelos nossos dois vetores v1 e v2 . Então a gente pode calcular que o comprimento de v1 vai ser (⅓)², que é 1/9, mais (⅔)², que é 4/9, mais (⅔)², que também é 4/9, e isso vai ser igual a 9 sobre 9, que é 9/9. Vai dar 1. Agora podemos calcular o comprimento de v2 (Deixe-me fazer essa barra mais direito aqui). O comprimento de v2, isso aqui vai ter que ser igual a (⅔)², que é 4/9, mais 1/9, -(⅔)², que vai ser 4/9, e isso aqui vai dar 9 sobre 9, que é igual a 1 também, como ali em cima. Então, agora, para a gente ver se isso aqui é um conjunto ortonormal ou não, a gente vai ter que verificar se eles são linearmente independentes, e para eles serem linearmente independentes, v1 vezes v2 vai ter que ser igual a zero. Então, fazendo esse produto, ⅓ vezes ⅔ vai dar 2/9 mais ⅔ vezes ⅓ vai dar 2/9 também e isso aqui agora ficar menos, porque tem o sinal de negativo aqui, e isso vai dar −4/9. Isso aqui é igual a zero. Ou seja, isso aqui é um conjunto ortonormal. Se a gente for ver ainda o nosso espaço v gerado pelos nossos vetores v1 e v2, a gente vai descobrir que B é uma base ortonormal de v. Então, muito obrigado. Espero que você tenha entendido, eu sei que é um pouco mais difícil, e até a próxima!