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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 3
Lição 1: Complementos ortogonais- Complementos ortogonais
- dim(v) + dim(complemento ortogonal de v) = n
- Representação de vetores em rn usando membros do subespaço
- Complemento ortogonal do complemento ortogonal
- Complemento ortogonal do espaço nulo
- Resolução de espaço linha único para Ax = b
- Exemplo de resolução do espaço linha para Ax = b
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Complemento ortogonal do espaço nulo
O complemento ortogonal do espaço nulo e do espaço nulo à esquerda. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Vamos dizer que eu tenha
aqui uma matriz "A". Nós vimos, a alguns vídeos atrás, que o espaço linha da matriz "A"
é mesma coisa que o espaço coluna da transposta da matriz "A". A gente vai poder dizer o seguinte: a gente vai poder dizer que isso aqui
é o espaço linha da matriz "A". E nós vimos também que
o complemento ortogonal disso é igual ao espaço nulo de "A", isso aqui é igual ao
espaço nulo da matriz "A". De outra forma, nós podemos dizer
que o complemento ortogonal do espaço coluna da matriz transposta,
da transposta de "A" vai ser igual ao complemento ortogonal do espaço coluna da matriz "A". E isso aqui vai ser igual ao espaço nulo
da matriz transposta de "A". Isso aqui que eu posso dizer. Aqui nós temos o espaço nulo transposto. Nós temos o espaço nulo transposto. É isso que nós temos aqui nesse caso. Agora que é o complemento ortogonal
do espaço nulo de "A"? Nos últimos vídeos, nós dissemos que o complemento ortogonal de um complemento ortogonal
de um subespaço é o próprio subespaço. Mas, repare aqui em uma coisa. Aqui nós temos que o espaço nulo de "A"
é exatamente isso aqui, o espaço nulo de "A" é isso aqui. A gente pode dizer que
o complemento ortogonal do espaço nulo de "A" é o complemento
ortogonal disso aqui, já que isso aqui é
o espaço nulo de "A". Então, isso aqui vai ser o complemento
ortogonal disso aqui. A gente vai ter aqui complemento
ortogonal daquilo ali. Vamos escrever complemento ortogonal do espaço coluna da matriz "A" transposta. É isso que a gente vai ter aqui. Utilizando essa propriedade aqui, que é exatamente o que nós temos aqui, nós vamos poder dizer que isso aqui
é o espaço linha de "A". Ou espaço coluna da matriz "A" transposta. Portanto, o complemento ortogonal do espaço linha é o espaço nulo, e o complemento ortogonal
do espaço nulo é o espaço linha. E agora, eu te pergunto, qual é o complemento ortogonal
do espaço nulo da matriz "A" transposta? O complemento ortogonal disso aqui. O espaço nulo da matriz "A" transposta
é igual a isso aqui, então, isso aqui vai ser igual
ao o ortogonal disso aqui. Complemento ortogonal do espaço coluna
da matriz "A", vai ser isso aqui. Portanto, por essa propriedade
que nós vimos no último vídeo, isso aqui é o espaço coluna da matriz "A". Aqui, nós acabamos de ver
que existe uma certa simetria, que o complemento ortogonal
do espaço linha de "A" é igual ao espaço nulo de "A". Da mesma forma, nós vimos
que o espaço linha de "A" é igual ao complemento ortogonal
do espaço nulo de "A". Aqui em cima, nós vimos, também,
algo semelhante a isso. Nós vimos que o complemento ortogonal dp espaço coluna da matriz "A" é igual ao espaço nulo
da matriz "A" transposta. Por sua vez, o espaço nulo da matriz "A" transposta, na verdade, o complemento ortogonal
do espaço nulo da matriz "A" transposta é igual ao espaço coluna de "A". O espaço coluna de "A" é igual
ao complemento ortogonal do espaço nulo da matriz "A" transposta. Só foi possível chegar a essas conclusões porque no vídeo passado,
nós conseguimos fazer isso aqui. Nós conseguimos mostrar que o complemento ortogonal do complemento
ortogonal de um subespaço é igual ao próprio subespaço. Eu espero que vocês tenham
gostado deste vídeo. E até o próximo vídeo!