Exemplo de resolução do espaço linha para Ax = b

RKA4JL - Eu tenho aqui uma matriz A 2 por 2 e aqui um vetor B que também pertence ao R2. O que nós vamos fazer neste vídeo são vários cálculos interessantes sobre o que nós podemos descobrir em relação a essa matriz e esse vetor. Então a primeira coisa interessante que nós vamos estudar é o que nós já vimos no último vídeo, que é o espaço nulo de A. Nós sabemos que uma das maneiras de calcular o espaço nulo de A é utilizar a forma escalonada reduzida para as linhas. Então a gente vai utilizar a forma escalonada reduzida para as linhas. Nesse caso aqui, da matriz A. Para fazer esse cálculo, basta a gente repetir aqui a primeira linha, então vamos colocar aqui 3 e -2, e a segunda linha a gente vai fazer a segunda mais a primeira vezes -2, então 3 vezes -2 dá -6, com 6 dá zero e aqui -2 vezes -2 dá +4, com -4 também dá zero. Então isso aqui é a forma escalonada reduzida por linha da matriz A. Nós ainda podemos pegar aqui e multiplicar a primeira linha por ⅓. Então nós vamos ter aqui 1 e aqui -⅔, e aqui zero e zero. Então essa aqui é o final da forma escalonada reduzida por linha da matriz A. Nesse caso, para descobrir quem é o espaço nulo de A, basta multiplicar aqui por um vetor qualquer, x1, x2, de forma que a solução disso aqui seja o vetor nulo, ou seja, o vetor zero, zero. Então basta a gente fazer esse tipo de conta aqui. A segunda linha não nos dá informação nenhuma porque zero vez vezes x1 dá zero, zero vez vezes x2 dá zero, então isso aqui daria zero. Então a primeira linha diz pra gente que x1 menos ⅔ de x2, isso aqui tem que ser igual a zero. Então nós fizemos aqui 1 vez x1 menos ⅔ vezes x2 igual a zero. Então aqui a gente pode escrever também dessa forma aqui: x1 é igual a ⅔ de x2, é uma outra maneira de escrever. Então poderia escrever aqui que o espaço nulo de A é... Bom, antes disso deixe-me só escrever de uma outra maneira aqui. Eu vou escrever aqui x2 é igual a t, onde t pertence ao conjunto dos números reais, então t pertence ao conjunto dos números reais, e x1, como x1 é ⅔ de x2, x1 vai ser ⅔ de t. Agora, sim, eu vou poder escrever quem é o meu espaço nulo de A. Então meu espaço nulo de A vai poder ser escrito como? Então aqui eu vou ter o meu vetor x1, x2 e o meu vetor x1, x2 pode ser escrito da seguinte maneira: ele pode ser escrito como t vezes o seguinte vetor t vezes, aqui em cima, ⅔, e aqui embaixo 1. É o vetor ⅔, 1, já que x1 é ⅔ t e x2 é igual a t. Então isso aqui é o meu espaço nulo de A. Então aqui são todos os múltiplos desse vetor aqui, não é? Uma maneira de tornar isso aqui um pouquinho mais simples é fazer aqui t igual a 3C. Qual o sentido disso? No lugar de t, a gente vai colocar 3C, então isso aqui vai ficar igual a x1, x2 e aqui a gente vai conseguir multiplicar, em vez de colocar 3C, eu coloco C aqui, que também é uma constante arbitrária e é um número real, e aqui multiplico 3 vezes ⅔, isso aqui dá 2, e aqui 3 vezes 1, isso aqui dá 3. O motivo de eu fazer isso aqui é apenas tornar a base para o nosso espaço nulo uma maneira mais simples, tornar uma base mais simples para o nosso espaço nulo, sem utilizar fração aqui nesse nosso vetor. Nós ainda poderíamos dizer que isso aqui é o quê? Que isso aqui é o espaço gerado para esse nosso vetor aqui, pelo vetor 2,3. Então é o espaço gerado pelo vetor 2, 3. Todas essas afirmações aqui são equivalentes. Outra coisa que pode ser interessante que nós vimos no último vídeo é encontrar a solução dessa equação aqui, Ax igual a b. Então isso aqui pode também ser bastante interessante para a gente. Para resolver isso, basta pegarmos a forma aumentada da nossa matriz. Então, vamos lá. A gente tem aqui 3, 6, -2, -4, aqui vamos pegar o nosso vetor 9, 18. Então nós temos isso aqui. E agora, o que a gente vai fazer? Nós vamos manter a primeira linha, então aqui vai ser 3, -2, e aqui vai ser 9, e aqui a gente vai pegar a segunda linha mesmo e diminuir 2 vezes a primeira linha, então -2 vezes 3 dá -6, com 6 dá zero. Aqui também -2 vezes 2 dá +4, com -4 dá zero e aqui -2 vezes 9 dá -18, com 18 dá zero. Portanto, estamos quase lá, basta pegar a primeira linha agora e dividir por 3. Então a gente vai ter aqui 1, -⅔, aqui eu vou ter 3, e aqui embaixo se mantém, zero, zero, zero. Então se nós quisermos reescrever isso aqui como uma equação, a gente vai fazer assim. A gente vai colocar aqui 1, zero, -⅔, zero, isso aqui vezes um vetor qualquer, x1, x2, isso aqui vai ter que dar o quê? Isso aqui vai ter que dar esse vetor 3, zero, então isso vai dar o vetor 3, zero, igual coloquei aqui. Uma outra maneira de pensar nisso é pensar que aqui nós não temos informação nenhuma, então aqui nós vamos ter o seguinte. Nós vamos ter que 1 vezes x1, Então nós temos x1, -⅔ de x2, isso aqui vai ser igual a 3, não é? x1 menos ⅔ de x2 é igual a 3. Então aqui é igual a 3. De uma outra forma, a gente pode escrever assim: x1 é igual a 3 mais ⅔ de x2. Então essa é uma outra forma de escrever. Então aqui a gente pode fazer o mesmo exercício que a gente fez anteriormente, não é? A gente pode dizer que x2 é igual a t, então o nosso x1 vai ser o quê? O nosso x1 vai ser 3 mais ⅔ de x2, já que x2 é t, então ⅔ de t. Então nós vamos poder dizer que o nosso conjunto solução para essa equação aqui será do tipo x1, x2, então aqui nós teremos x1, x2, onde isso aqui vai ser igual a... Então nós vamos ter um outro vetor aqui que vai ser formado pelo vetor 3, zero, mais quem? Mais t vezes, no lugar do x1 eu tenho aqui ⅔, repara que é 3 mais ⅔ de t, 3 já está aqui nesse vetor, e aqui eu tenho 1. Então esse aqui é o conjunto solução para essa equação aqui. Você pode até reparar que isso aqui é uma solução mais geral, mas tem uma semelhança com o nosso espaço nulo de A. Então deixe-me só descer isso aqui um pouquinho para a gente escrever aqui. Vamos dizer que aqui no nosso t a gente faça a mesma coisa, vamos substituir aqui por 3C, então isso aqui vai ser do tipo x1, x2, de forma que isso aqui será igual ao vetor 3, zero, e aqui mais C vezes, aqui vai dar 2 e aqui vai dar 3. Então a gente também pode representar a solução para essa equação dessa forma aqui. Obviamente a nossa solução vai ser o quê? Algum membro do espaço nulo mais o vetor 3, zero, e aí, sim, a gente tem a solução para isso aqui. Outra coisa que pode ser interessante é o complemento ortogonal do espaço nulo, pois isso está ligado diretamente ao espaço linha de A. Isso foi exatamente o que a gente viu no nosso último vídeo. Então, aqui, o espaço coluna da matriz A transposta, isso aqui é mesma coisa que o espaço linha de A. Isso aqui vai ser o quê? Isso aqui vai ser o espaço gerado por quem? Isso aqui vai ser o espaço gerado por esses meus dois vetores aqui, o vetor 3, -2, e pelo vetor 6, -4. Mas repare que esse segundo vetor é o dobro do primeiro, não é? Então a gente pode ignorar isso aqui. Então isso aqui, na verdade, vai ser o nosso espaço gerado pelo nosso primeiro vetor. Então vai ser o espaço gerado pelo primeiro vetor, que é o vetor 3, -2. Então isso aqui vai ser o espaço gerado pelo vetor 3, -2. Esse vai ser o nosso espaço linha da matriz A. Então vamos ver se a gente consegue representar isso aqui graficamente. Aqui eu tenho meu eixo horizontal (nós vamos tentar fazer isso de uma maneira razoável) e aqui eu terei meu eixo vertical. Aqui tem o eixo horizontal e o eixo vertical. Então, aqui, com que o espaço nulo se parece? O espaço nulo é gerado pelo vetor 2, 3. O vetor 2, 3 está aqui. Aqui é 1, aqui é 2, e aqui é 1, 2, 3. Então o espaço nulo vai ser algo parecido com isso aqui, com esse vetor aqui que vai gerar todo o nosso espaço nulo. Na verdade, a gente tem que se lembrar que é tudo o que esse vetor aqui gera, não é? Então aqui também temos os múltiplos desse vetor, não importa para que sentido isso aqui esteja apontando, desde que seja em cima dessa reta verde. Então aqui é o espaço nulo de A. E agora quem seria o nosso conjunto solução? Bom, o nosso conjunto solução seria o vetor 3, zero, o vetor 3, zero está aqui, então esse aqui é o nosso vetor 3, zero, mais o vetor 2, 3. O vetor 2, 3 é igual àquele vetor ali, então vale para toda a linha porque é C vezes 2, 3, então vale para toda essa linha aqui. Então essa linha é a solução, a gente pode escrever aqui, que isso aqui é a solução para quem? Para nossa equação Ax igual a b. Então isso aqui é a solução para Ax igual a b, toda essa linha azul aqui. Por fim, quem seria o meu espaço linha aqui? Meu espaço linha estaria mais ou menos aqui, assim. Aqui é 1, 2, 3, então seria o vetor 3, -2. Então aqui está o 3, aqui 1, aqui 2, então 3, -2 seria mais ou menos aqui. A gente teria algo assim, mais ou menos assim. Deixe-me tentar fazer aqui, mais ou menos reto, mas não vai ficar aqui muito perfeito, meu cérebro não acompanha isso... Então aqui está o nosso vetor 3, -2, o nosso vetor 3, -2 está mais ou menos por aqui. Logo esse aqui é o nosso espaço linha de A. Na verdade, nosso espaço linha é toda essa linha aqui, não só esse vetor. Por exemplo, eu posso pegar esse vetor e multiplicar por -1. Então teria o vetor -3, +2, que estaria aqui. -1, -2, -3, e, aqui, +2 estaria mais ou menos aqui, assim. -3, +2. Então seria esse vetor aqui. Eu posso pegar qualquer vetor nessa linha aqui com qualquer tamanho e qualquer sentido. Repare que esse aqui, que é o nosso espaço linha, ele é perpendicular ao nosso espaço nulo de A. Então nosso espaço nulo de A é perpendicular ao nosso espaço linha, isso porque o espaço linha é ortogonal ao espaço nulo, logo essas retas aqui são perpendiculares, são ortogonais uma em relação à outra. Esse desenho aqui, na verdade, é uma forma bastante interessante e visual do que nós podemos fazer com essa matriz aqui, que é a nossa matriz A, e, com isso, nós acabamos de conseguir um resultado interessante. Então deixe-me escrever isso aqui embaixo. Nós temos que se nós pegarmos um b pertencente ao espaço coluna de A, então a menor, vamos escrever isso, a menor (deixe-me colocar isso aqui entre aspas) a "menor" solução para a nossa equação Ax igual a b é um único membro, então único membro de qual conjunto? Do espaço linha de A. O único membro do espaço linha de A, que a gente pode escrever dessa forma aqui. E essa aqui foi a grande sacada do vídeo anterior. Eu acredito que no vídeo anterior talvez tenha ficado um pouco mais complicado porque a gente acabou vendo tudo de uma forma bem abstrata, mas dessa vez aqui nós fizemos até os gráficos. Eu acho que talvez tenha ficado mais tranquilo para você tentar entender isso. Bom, nesse caso aqui a gente pode visualizar bem o que está acontecendo, não é? Essa linha azul aqui é a solução do nosso problema, aqui é o nosso espaço nulo, essa reta amarela, e aqui é o nosso espaço linha de A. Aqui nós temos a solução, a solução única para esse problema, que é a menor solução possível. Esse cara aqui é exatamente o nosso vetor r, uma vez que ele pertence ao espaço linha de A e é uma das soluções possíveis, na verdade, ele é a única solução possível, que ao mesmo tempo pertence ao espaço linha de A e que acaba parando aqui, que tem seu ponto final do seu trajeto aqui na solução da nossa equação. E se você for olhar de uma forma um pouco mais geométrica para isso aqui, você pode pegar pontos ao longo dessa linha e todos os vetores que ligam esses pontos aqui também são soluções para a nossa equação. Esses vetores aqui são soluções para a nossa equação. Só que o que eu estou dizendo é o seguinte: aquele nosso vetor verde ele é o menor vetor possível. Esse vetor verde é o menor vetor possível. Todos os outros vetores têm um comprimento maior do que o comprimento desse nosso vetor verde. E por quê? Bom, primeiro porque ele é perpendicular à nossa reta solução. E como é que a gente sabe que é perpendicular? Bom, porque essa reta aqui, a reta do meu espaço linha, ela é perpendicular à reta do espaço nulo de A, só que a reta do espaço nulo de A é paralela à nossa reta solução e isso faz com que a reta aqui do nosso caso, do espaço linha de A, também seja perpendicular à reta solução. Então esse valor aqui com certeza é o mínimo, uma vez que faz 90° aqui, ele é perpendicular à reta solução. Se a gente quisesse calcular qual o valor desse vetor verde aqui a gente poderia fazer isso da seguinte forma. Primeiro vamos pegar aqui nosso vetor r, que vai ser igual a C vezes esse vetor aqui, ele é o espaço gerado por isso. Então 3, -2. Então qualquer r vai ser dessa forma aqui. Vamos pegar ainda qualquer outro vetor aqui que seja a solução dessa equação. Eu tenho aqui que o vetor 3, zero é uma solução, ele para exatamente em cima aqui da reta azul. Então o vetor 3, zero é uma solução. Então esse aqui é o vetor 3, zero, ele é uma solução para essa equação. Então o que eu posso dizer a partir disso é que eu tenho um vetor rosa aqui que vai do final do meu vetor verde até esse vetor amarelo e esse vetor rosa também pertence aqui ao meu espaço nulo de A, basta deslocá-lo para cá. Então ele também pertence ao espaço nulo de A. Para descobrir o vetor rosa, eu posso pegar esse ponto aqui e diminuir desse vetor. Então vou pegar o ponto 3, zero e diminuir desse vetor aqui, C vezes o vetor 3, -2, que é meu vetor verde, o vetor r. Então isso aqui, isso aqui tudo vai ser esse vetor rosa aqui. E agora, o que a gente vai fazer? A gente vai pegar esse vetor rosa e vai multiplicar por quem? Eu vou multiplicar pela base que eu tenho aqui do meu espaço gerado aqui, no caso, do meu espaço linha. Então vou multiplicar isso aqui pelo meu vetor 3, -2. Então é isso que eu vou fazer. Isso vai ter que dar quanto? Isso vai ter que dar zero. Então organizando isso aqui embaixo, eu vou ter o seguinte. Eu vou ter a minha matriz, então aqui vai ser 3 vezes -3C, isso aqui vai dar um vetor, 3, -3C, e aqui zero menos C vezes -2, isso aqui dá +2C. Então isso aqui vai ser multiplicado pelo vetor 3, -2, e isso tem que continuar dando zero. Bom, e o que nós vamos ter, então? Nós vamos ter aqui 3 menos 3C vezes 3. Isso aqui não é uma matriz, isso aqui é um vetor. Isso é um vetor e isso aqui é outro vetor. Então a gente vai fazer a primeira entrada vezes a primeira entrada e a segunda entrada vezes a segunda entrada. Então a gente vai poder escrever aqui 3 menos 3C vezes 3 mais 2C, então vamos colocar isso aqui entre parênteses, vezes -2, e isso aqui continua dando zero. E o que que nós temos a partir daqui? Distribuindo aqui, nós teremos 3 vezes 3 dá 9, então 9 menos 9C, e aqui mais 2C vezes -2, -4C. Esse aqui é igual a zero, e fazendo aqui as operações nós temos 9 menos 13C é igual a zero, ou ainda a gente poderia fazer dessa forma aqui, 9 é igual a 13C, ou C é igual a 9/13. Esse aqui é o nosso valor para C. C igual a 9/13. Então o que a gente fez nisso tudo? Esse aqui, esse cara aqui é o vetor rosinha, que a gente tem aqui embaixo. Esse vetor aqui. E aí, o que a gente fez? A gente pegou aqui esse vetor, o vetor 3, zero, que foi para aqui, e esse vetor 3, zero foi diminuído do vetor verde, que é esse vetor aqui, o nosso vetor r. Diminuído esse vetor, eu achei quem? Achei o vetor rosa, que é esse vetor aqui. Bom, aí eu peguei o vetor rosa, que está representado aqui embaixo, e aí, dado esse vetor rosa vezes qualquer representante aqui do meu vetor verde, eu já sei que vai acontecer o quê? Eu sei que vai dar zero, porque eles são ortogonais. Então eu peguei primeiro o valor aqui, 3 menos 2, que é o vetor aqui que gera todo o espaço, e isso tem que dar zero. Bou, então encontrei que C tem que ser igual a 9/13 e, portanto, quem será o nosso vetor r, então? Vamos pegar aqui. O nosso vetor r será igual a C, que é igual a 9/13, vezes o meu vetor, que é o vetor 3 menos 2. Então vezes o vetor que é 3 menos 2. Isso aqui vai dar igual... Bom, 9/13 vezes 3. 3 vezes 9, 27, então dá 27/13 e aqui 9/13 vezes -2, 9 vezes -2 vai dar -18, então aqui -18, -18/13. Então esse aqui é o vetor que é a menor solução possível para resolver essa equação aqui e que pertence ao nosso espaço linha de A. Na verdade, ele é mais do que o menor. Ele é a única solução possível que pertence aqui ao meu espaço linha de A. E aqui você pode ver tudo isso aqui, nós fizemos o gráfico, então você tem uma forma visual de interpretar tudo o que nós vimos aqui no nosso vídeo passado. Eu espero que vocês tenham gostado e até um próximo vídeo!