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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 3
Lição 1: Complementos ortogonais- Complementos ortogonais
- dim(v) + dim(complemento ortogonal de v) = n
- Representação de vetores em rn usando membros do subespaço
- Complemento ortogonal do complemento ortogonal
- Complemento ortogonal do espaço nulo
- Resolução de espaço linha único para Ax = b
- Exemplo de resolução do espaço linha para Ax = b
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Exemplo de resolução do espaço linha para Ax = b
Visualizando a solução de espaço linha para Ax=b. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Eu tenho aqui uma matriz A 2 por 2
e aqui um vetor B que também pertence ao R2. O que nós vamos fazer neste vídeo
são vários cálculos interessantes sobre o que nós podemos descobrir
em relação a essa matriz e esse vetor. Então a primeira coisa interessante
que nós vamos estudar é o que nós já vimos no último
vídeo, que é o espaço nulo de A. Nós sabemos que uma das maneiras
de calcular o espaço nulo de A é utilizar a forma escalonada
reduzida para as linhas. Então a gente vai utilizar a forma
escalonada reduzida para as linhas. Nesse caso aqui,
da matriz A. Para fazer esse cálculo, basta
a gente repetir aqui a primeira linha, então vamos
colocar aqui 3 e -2, e a segunda linha a gente vai fazer
a segunda mais a primeira vezes -2, então 3 vezes -2 dá -6,
com 6 dá zero e aqui -2 vezes -2 dá +4,
com -4 também dá zero. Então isso aqui é a forma escalonada
reduzida por linha da matriz A. Nós ainda podemos pegar aqui
e multiplicar a primeira linha por ⅓. Então nós vamos ter aqui 1
e aqui -⅔, e aqui zero e zero. Então essa aqui é o final da forma
escalonada reduzida por linha da matriz A. Nesse caso, para descobrir
quem é o espaço nulo de A, basta multiplicar aqui
por um vetor qualquer, x1, x2, de forma que a solução disso aqui seja
o vetor nulo, ou seja, o vetor zero, zero. Então basta a gente fazer
esse tipo de conta aqui. A segunda linha não
nos dá informação nenhuma porque zero vez vezes x1 dá zero,
zero vez vezes x2 dá zero, então isso aqui
daria zero. Então a primeira linha diz pra gente
que x1 menos ⅔ de x2, isso aqui tem
que ser igual a zero. Então nós fizemos aqui 1 vez x1
menos ⅔ vezes x2 igual a zero. Então aqui a gente pode escrever
também dessa forma aqui: x1 é igual a ⅔ de x2,
é uma outra maneira de escrever. Então poderia escrever aqui
que o espaço nulo de A é... Bom, antes disso deixe-me só escrever
de uma outra maneira aqui. Eu vou escrever aqui
x2 é igual a t, onde t pertence ao conjunto
dos números reais, então t pertence
ao conjunto dos números reais, e x1, como x1 é ⅔ de x2,
x1 vai ser ⅔ de t. Agora, sim, eu vou poder escrever
quem é o meu espaço nulo de A. Então meu espaço nulo de A
vai poder ser escrito como? Então aqui eu vou
ter o meu vetor x1, x2 e o meu vetor x1, x2 pode ser
escrito da seguinte maneira: ele pode ser escrito
como t vezes o seguinte vetor t vezes, aqui em cima, ⅔,
e aqui embaixo 1. É o vetor ⅔, 1, já que x1
é ⅔ t e x2 é igual a t. Então isso aqui é
o meu espaço nulo de A. Então aqui são todos os múltiplos
desse vetor aqui, não é? Uma maneira de tornar isso aqui
um pouquinho mais simples é fazer aqui t igual a 3C.
Qual o sentido disso? No lugar de t,
a gente vai colocar 3C, então isso aqui
vai ficar igual a x1, x2 e aqui a gente vai conseguir multiplicar,
em vez de colocar 3C, eu coloco C aqui, que também é uma constante
arbitrária e é um número real, e aqui multiplico 3 vezes ⅔,
isso aqui dá 2, e aqui 3 vezes 1,
isso aqui dá 3. O motivo de eu fazer isso aqui é apenas
tornar a base para o nosso espaço nulo uma maneira mais simples, tornar uma base
mais simples para o nosso espaço nulo, sem utilizar fração
aqui nesse nosso vetor. Nós ainda poderíamos
dizer que isso aqui é o quê? Que isso aqui é o espaço gerado
para esse nosso vetor aqui, pelo vetor 2,3. Então é o espaço
gerado pelo vetor 2, 3. Todas essas afirmações aqui
são equivalentes. Outra coisa que pode ser interessante
que nós vimos no último vídeo é encontrar a solução dessa
equação aqui, Ax igual a b. Então isso aqui pode também ser
bastante interessante para a gente. Para resolver isso, basta pegarmos a forma
aumentada da nossa matriz. Então, vamos lá. A gente tem aqui
3, 6, -2, -4, aqui vamos pegar o nosso vetor 9, 18.
Então nós temos isso aqui. E agora, o que
a gente vai fazer? Nós vamos manter a primeira linha,
então aqui vai ser 3, -2, e aqui vai ser 9, e aqui a gente vai pegar a segunda linha mesmo
e diminuir 2 vezes a primeira linha, então -2 vezes 3 dá -6,
com 6 dá zero. Aqui também -2 vezes 2
dá +4, com -4 dá zero e aqui -2 vezes 9 dá -18,
com 18 dá zero. Portanto, estamos quase lá, basta pegar
a primeira linha agora e dividir por 3. Então a gente vai
ter aqui 1, -⅔, aqui eu vou ter 3, e aqui embaixo
se mantém, zero, zero, zero. Então se nós quisermos reescrever isso aqui
como uma equação, a gente vai fazer assim. A gente vai colocar
aqui 1, zero, -⅔, zero, isso aqui vezes
um vetor qualquer, x1, x2, isso aqui vai ter
que dar o quê? Isso aqui vai ter que dar
esse vetor 3, zero, então isso vai dar o vetor 3, zero,
igual coloquei aqui. Uma outra maneira de pensar nisso é pensar
que aqui nós não temos informação nenhuma, então aqui nós
vamos ter o seguinte. Nós vamos ter que 1 vezes x1,
Então nós temos x1, -⅔ de x2, isso aqui
vai ser igual a 3, não é? x1 menos ⅔ de x2 é igual a 3.
Então aqui é igual a 3. De uma outra forma,
a gente pode escrever assim: x1 é igual a 3
mais ⅔ de x2. Então essa é uma
outra forma de escrever. Então aqui a gente pode fazer o mesmo exercício
que a gente fez anteriormente, não é? A gente pode dizer
que x2 é igual a t, então o nosso x1
vai ser o quê? O nosso x1 vai ser 3 mais ⅔ de x2,
já que x2 é t, então ⅔ de t. Então nós vamos poder dizer que
o nosso conjunto solução para essa equação aqui será do tipo
x1, x2, então aqui nós teremos x1, x2,
onde isso aqui vai ser igual a... Então nós vamos ter um outro vetor aqui
que vai ser formado pelo vetor 3, zero, mais quem?
Mais t vezes, no lugar do x1
eu tenho aqui ⅔, repara que é 3 mais ⅔ de t,
3 já está aqui nesse vetor, e aqui
eu tenho 1. Então esse aqui é o conjunto solução
para essa equação aqui. Você pode até reparar que isso aqui
é uma solução mais geral, mas tem uma semelhança
com o nosso espaço nulo de A. Então deixe-me só descer isso aqui
um pouquinho para a gente escrever aqui. Vamos dizer que aqui no nosso t a gente faça
a mesma coisa, vamos substituir aqui por 3C, então isso aqui
vai ser do tipo x1, x2, de forma que isso aqui
será igual ao vetor 3, zero, e aqui mais C vezes,
aqui vai dar 2 e aqui vai dar 3. Então a gente também pode representar
a solução para essa equação dessa forma aqui. Obviamente a nossa
solução vai ser o quê? Algum membro do espaço nulo
mais o vetor 3, zero, e aí, sim, a gente tem
a solução para isso aqui. Outra coisa que pode ser interessante
é o complemento ortogonal do espaço nulo, pois isso está ligado diretamente
ao espaço linha de A. Isso foi exatamente o que a gente viu
no nosso último vídeo. Então, aqui, o espaço
coluna da matriz A transposta, isso aqui é mesma coisa
que o espaço linha de A. Isso aqui
vai ser o quê? Isso aqui vai ser o espaço
gerado por quem? Isso aqui vai ser o espaço gerado
por esses meus dois vetores aqui, o vetor
3, -2, e pelo
vetor 6, -4. Mas repare que esse segundo vetor
é o dobro do primeiro, não é? Então a gente pode ignorar isso aqui.
Então isso aqui, na verdade, vai ser o nosso espaço gerado
pelo nosso primeiro vetor. Então vai ser o espaço gerado
pelo primeiro vetor, que é o vetor 3, -2. Então isso aqui vai ser o espaço
gerado pelo vetor 3, -2. Esse vai ser o nosso espaço
linha da matriz A. Então vamos ver se a gente consegue
representar isso aqui graficamente. Aqui eu tenho
meu eixo horizontal (nós vamos tentar fazer isso
de uma maneira razoável) e aqui eu terei
meu eixo vertical. Aqui tem o eixo horizontal
e o eixo vertical. Então, aqui, com que
o espaço nulo se parece? O espaço nulo
é gerado pelo vetor 2, 3. O vetor 2, 3 está aqui.
Aqui é 1, aqui é 2, e aqui é
1, 2, 3. Então o espaço nulo vai ser
algo parecido com isso aqui, com esse vetor aqui que vai
gerar todo o nosso espaço nulo. Na verdade, a gente tem que se lembrar
que é tudo o que esse vetor aqui gera, não é? Então aqui também temos
os múltiplos desse vetor, não importa para que sentido
isso aqui esteja apontando, desde que seja
em cima dessa reta verde. Então aqui é o
espaço nulo de A. E agora quem seria
o nosso conjunto solução? Bom, o nosso conjunto solução
seria o vetor 3, zero, o vetor 3, zero
está aqui, então esse aqui é o nosso vetor 3, zero,
mais o vetor 2, 3. O vetor 2, 3 é igual àquele vetor ali,
então vale para toda a linha porque é C vezes 2, 3,
então vale para toda essa linha aqui. Então essa linha é a solução,
a gente pode escrever aqui, que isso aqui
é a solução para quem? Para nossa equação
Ax igual a b. Então isso aqui é a solução
para Ax igual a b, toda essa linha azul aqui. Por fim, quem seria
o meu espaço linha aqui? Meu espaço linha estaria
mais ou menos aqui, assim. Aqui é 1, 2, 3, então
seria o vetor 3, -2. Então aqui está
o 3, aqui 1, aqui 2, então 3, -2 seria
mais ou menos aqui. A gente teria algo assim,
mais ou menos assim. Deixe-me tentar fazer aqui,
mais ou menos reto, mas não vai ficar aqui muito perfeito,
meu cérebro não acompanha isso... Então aqui está
o nosso vetor 3, -2, o nosso vetor 3, -2 está
mais ou menos por aqui. Logo esse aqui é
o nosso espaço linha de A. Na verdade, nosso espaço linha
é toda essa linha aqui, não só esse vetor. Por exemplo, eu posso pegar
esse vetor e multiplicar por -1. Então teria o vetor -3, +2,
que estaria aqui. -1, -2, -3, e, aqui, +2 estaria
mais ou menos aqui, assim. -3, +2. Então seria
esse vetor aqui. Eu posso pegar qualquer vetor nessa linha aqui
com qualquer tamanho e qualquer sentido. Repare que esse aqui,
que é o nosso espaço linha, ele é perpendicular
ao nosso espaço nulo de A. Então nosso espaço nulo de A
é perpendicular ao nosso espaço linha, isso porque o espaço linha
é ortogonal ao espaço nulo, logo essas retas aqui são perpendiculares,
são ortogonais uma em relação à outra. Esse desenho aqui, na verdade,
é uma forma bastante interessante e visual do que nós podemos fazer com essa
matriz aqui, que é a nossa matriz A, e, com isso, nós acabamos
de conseguir um resultado interessante. Então deixe-me escrever
isso aqui embaixo. Nós temos que se nós pegarmos um b
pertencente ao espaço coluna de A, então a menor, vamos
escrever isso, a menor (deixe-me colocar
isso aqui entre aspas) a "menor" solução para a nossa
equação Ax igual a b é um
único membro, então único membro
de qual conjunto? Do espaço
linha de A. O único membro
do espaço linha de A, que a gente pode escrever
dessa forma aqui. E essa aqui foi a grande
sacada do vídeo anterior. Eu acredito que no vídeo anterior talvez
tenha ficado um pouco mais complicado porque a gente acabou vendo tudo
de uma forma bem abstrata, mas dessa vez aqui
nós fizemos até os gráficos. Eu acho que talvez tenha ficado mais
tranquilo para você tentar entender isso. Bom, nesse caso aqui a gente pode visualizar
bem o que está acontecendo, não é? Essa linha azul aqui
é a solução do nosso problema, aqui é o nosso espaço nulo,
essa reta amarela, e aqui é o nosso
espaço linha de A. Aqui nós temos a solução, a solução
única para esse problema, que é a menor
solução possível. Esse cara aqui é exatamente
o nosso vetor r, uma vez que ele pertence ao espaço linha
de A e é uma das soluções possíveis, na verdade, ele é
a única solução possível, que ao mesmo tempo pertence ao espaço
linha de A e que acaba parando aqui, que tem seu ponto final do seu trajeto
aqui na solução da nossa equação. E se você for olhar de uma forma
um pouco mais geométrica para isso aqui, você pode pegar pontos
ao longo dessa linha e todos os vetores que ligam esses pontos aqui
também são soluções para a nossa equação. Esses vetores aqui são soluções
para a nossa equação. Só que o que eu estou
dizendo é o seguinte: aquele nosso vetor verde
ele é o menor vetor possível. Esse vetor verde
é o menor vetor possível. Todos os outros vetores
têm um comprimento maior do que o comprimento desse
nosso vetor verde. E por quê? Bom, primeiro porque ele
é perpendicular à nossa reta solução. E como é que a gente sabe
que é perpendicular? Bom, porque essa reta aqui,
a reta do meu espaço linha, ela é perpendicular
à reta do espaço nulo de A, só que a reta do espaço nulo de A
é paralela à nossa reta solução e isso faz com que a reta aqui
do nosso caso, do espaço linha de A, também seja
perpendicular à reta solução. Então esse valor aqui
com certeza é o mínimo, uma vez que faz 90° aqui,
ele é perpendicular à reta solução. Se a gente quisesse calcular
qual o valor desse vetor verde aqui a gente poderia fazer isso
da seguinte forma. Primeiro vamos
pegar aqui nosso vetor r, que vai ser igual a C vezes esse vetor aqui,
ele é o espaço gerado por isso. Então 3, -2. Então qualquer r vai
ser dessa forma aqui. Vamos pegar ainda qualquer outro vetor
aqui que seja a solução dessa equação. Eu tenho aqui que o vetor 3, zero
é uma solução, ele para exatamente
em cima aqui da reta azul. Então o vetor 3, zero
é uma solução. Então esse aqui é o vetor 3, zero,
ele é uma solução para essa equação. Então o que eu posso dizer a partir disso
é que eu tenho um vetor rosa aqui que vai do final do meu
vetor verde até esse vetor amarelo e esse vetor rosa também pertence
aqui ao meu espaço nulo de A, basta deslocá-lo para cá. Então ele
também pertence ao espaço nulo de A. Para descobrir o vetor rosa, eu posso pegar
esse ponto aqui e diminuir desse vetor. Então vou pegar o ponto 3, zero
e diminuir desse vetor aqui, C vezes o vetor 3, -2, que é
meu vetor verde, o vetor r. Então isso aqui, isso aqui tudo
vai ser esse vetor rosa aqui. E agora, o que
a gente vai fazer? A gente vai pegar esse vetor rosa
e vai multiplicar por quem? Eu vou multiplicar pela base
que eu tenho aqui do meu espaço gerado aqui,
no caso, do meu espaço linha. Então vou multiplicar isso aqui
pelo meu vetor 3, -2. Então é isso
que eu vou fazer. Isso vai ter que dar quanto?
Isso vai ter que dar zero. Então organizando isso aqui embaixo,
eu vou ter o seguinte. Eu vou ter a minha matriz,
então aqui vai ser 3 vezes -3C, isso aqui vai dar
um vetor, 3, -3C, e aqui zero menos C vezes -2,
isso aqui dá +2C. Então isso aqui vai ser
multiplicado pelo vetor 3, -2, e isso tem que
continuar dando zero. Bom, e o que nós
vamos ter, então? Nós vamos ter aqui
3 menos 3C vezes 3. Isso aqui não é uma matriz,
isso aqui é um vetor. Isso é um vetor
e isso aqui é outro vetor. Então a gente vai fazer a primeira
entrada vezes a primeira entrada e a segunda entrada
vezes a segunda entrada. Então a gente vai poder escrever aqui
3 menos 3C vezes 3 mais 2C, então vamos colocar
isso aqui entre parênteses, vezes -2, e isso aqui
continua dando zero. E o que que nós
temos a partir daqui? Distribuindo aqui, nós teremos
3 vezes 3 dá 9, então 9 menos 9C, e aqui mais 2C vezes -2, -4C.
Esse aqui é igual a zero, e fazendo aqui as operações
nós temos 9 menos 13C é igual a zero, ou ainda a gente poderia
fazer dessa forma aqui, 9 é igual a 13C,
ou C é igual a 9/13. Esse aqui é o nosso valor para C.
C igual a 9/13. Então o que a gente
fez nisso tudo? Esse aqui, esse cara aqui é o vetor rosinha,
que a gente tem aqui embaixo. Esse vetor aqui.
E aí, o que a gente fez? A gente pegou aqui esse vetor,
o vetor 3, zero, que foi para aqui, e esse vetor 3, zero foi
diminuído do vetor verde, que é esse vetor aqui,
o nosso vetor r. Diminuído esse vetor, eu achei quem?
Achei o vetor rosa, que é esse vetor aqui. Bom, aí eu peguei o vetor rosa,
que está representado aqui embaixo, e aí, dado esse vetor rosa vezes qualquer
representante aqui do meu vetor verde, eu já sei que vai acontecer o quê?
Eu sei que vai dar zero, porque eles
são ortogonais. Então eu peguei primeiro
o valor aqui, 3 menos 2, que é o vetor aqui
que gera todo o espaço, e isso tem
que dar zero. Bou, então encontrei que C
tem que ser igual a 9/13 e, portanto, quem será o nosso
vetor r, então? Vamos pegar aqui. O nosso vetor r será
igual a C, que é igual a 9/13, vezes o meu vetor,
que é o vetor 3 menos 2. Então vezes o vetor
que é 3 menos 2. Isso aqui
vai dar igual... Bom, 9/13 vezes 3.
3 vezes 9, 27, então dá 27/13 e aqui 9/13 vezes -2,
9 vezes -2 vai dar -18, então aqui -18,
-18/13. Então esse aqui é o vetor que é a menor solução
possível para resolver essa equação aqui e que pertence ao nosso
espaço linha de A. Na verdade, ele é mais do que o menor.
Ele é a única solução possível que pertence aqui
ao meu espaço linha de A. E aqui você pode ver tudo
isso aqui, nós fizemos o gráfico, então você tem uma forma
visual de interpretar tudo o que nós vimos aqui
no nosso vídeo passado. Eu espero que vocês tenham
gostado e até um próximo vídeo!