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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 3
Lição 1: Complementos ortogonais- Complementos ortogonais
- dim(v) + dim(complemento ortogonal de v) = n
- Representação de vetores em rn usando membros do subespaço
- Complemento ortogonal do complemento ortogonal
- Complemento ortogonal do espaço nulo
- Resolução de espaço linha único para Ax = b
- Exemplo de resolução do espaço linha para Ax = b
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Complementos ortogonais
Complementos ortogonais como subespaços. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL Vamos dizer que eu
tenha um subespaço, vamos chama-lo de v,
que ele seja algum subespaço, então, aqui “v” é um conjunto
que é algum subespaço. Vamos escrever isso.
Subespaço. E talvez ele seja
um subespaço de Rn. Vamos colocar aqui
um subespaço de Rn. Neste vídeo, eu vou definir quem é
o complemento ortogonal de v. Então é isso que eu quero,
quem eu quero descobrir, quem é o
complemento ortogonal de v. Então é isso
que nós vamos fazer. Eu vou chamar esse complemento
de v perpendicular. Vou escrever assim. Este simbolozinho aqui
quer dizer perpendicular. Então, você pode chamar
isso aqui de v perpendicular. Isso aqui é dado
pelo seguinte conjunto. São todos os vetores x
pertencentes a Rn, de modo que
x vezes v vai dar zero. Isso aqui para todo v, então
para todo v, pertencente a v. Então essa é a nossa definição
para o conjunto v ortogonal. Então, para todo v
pertencente a v. Então o que eu estou dizendo é
que eu tenho aqui o meu conjunto v e, a partir desse conjunto v,
eu encontro vários outros vetores, e esses vetores são ortogonais a todos os
vetores que já fazem parte desse subespaço v. e a este conjunto nós chamamos
de complemento ortogonal de v e nós fizemos aqui o v perpendicular,
utilizando esse simbolozinho aqui. E uma pergunta que nós
podemos nos fazer é a seguinte: será que esse conjunto aqui,
v perpendicular, será que ele
é um subespaço? Então, essa é uma pergunta, por exemplo,
que nós podemos nos fazer. É bastante justa. Então vamos tentar responder isso aqui
e nós temos que nos lembrar quais são as condições
para que um conjunto seja um subespaço. Então, por exemplo, aqui
eu preciso que “a” e “b”... se “a” e “b” são vetores que pertencem a
v perpendicular, então o que acontece? Eu tenho que “a” mais “b” obrigatoriamente
também precisa pertencer a v perpendicular. E aí, a pergunta é:
será que pertence? e a segunda coisa é o seguinte:
se eu tenho um “a” que já pertence a v perpendicular,
então, eu preciso que c vezes a, c aqui é uma
constante arbitrária, c vezes a também pertença
ao conjunto v perpendicular. Isso para todo
c pertencente a r. Será que isso
aqui também acontece? E a minha última
condição é a seguinte: a última condição é que eu preciso
ter o vetor nulo, mas o vetor nulo é uma consequência
dessa última condição aqui, porque se eu colocar aqui c igual a zero,
zero vezes a dá o vetor nulo. Então se essa condição for satisfeita,
a condição do vetor nulo também é satisfeita. Então, o que que
significa isso aqui? Temos que a e b também
pertence a V perpendicular Então, eu posso
dizer o seguinte. Eu posso dizer que eu tenho um a,
e que a vezes v é igual a zero, e isso aqui para todo v pertencente a v.
Então é isso que está acontecendo. Neste caso aqui, esse vetor v
representa todos os vetores do meu subespaço v.
Da mesma forma, o b. O b pertencente a v perpendicular
significa o seguinte, que b vezes v vai dar zero. E esse v aqui é o que? Para todo,
também, para todo v pertencente a v. Significa a
mesma coisa. Então o que acontece, por exemplo,
se eu pegar a mais b, então, se eu pegar a mais b
e fizer isso aqui vezes o meu vetor v. Eu vou ter o seguinte. Eu vou ter a vezes v.
Então, a vezes v, mais b vezes v. Só que isso aqui vai ser igual
ao seguinte: a vezes v eu sei que é zero, b vezes v também
sei que é zero, então isso aqui vai dar zero, logo, eu tenho que
a mais b pertence ao cumprimento ortogonal de v. Então isso
aqui está ok. Deixe-me só fazer essa marca
aqui com uma cor diferente. Agora, vamos analisar
essa segunda condição aqui. Nós temos que Ca vezes,
isso aqui vai ser a mesma coisa que c vezes a vezes v,
então a vezes v, e isso vai dar o seguinte,
vai dar c vezes zero, que é zero, zero vezes c
dá zero. Portanto, isso aqui
também está correto. C vezes a também pertence
ao complemento ortogonal de v. E o caso do zero é bem simples,
eu poderia ter colocado aqui zero no lugar de c e eu teria
zero vezes a, que seria o vetor zero. Na verdade, poderíamos pensar
da seguinte maneira: Zero vezes qualquer vetor
sempre vai dar zero. Quer dizer que zero estará em todos os
conjuntos que forem complemento ortogonal de v. Portanto, agora, nós sabemos
que o v ortogonal é um subespaço. Isso aqui é muito interessante,
porque, agora, a gente pode pegar e utilizar todas as propriedades
que conhecemos de subespaço para esse conjunto
aqui, v ortogonal. E a próxima questão
é a seguinte. Eu disse no último vídeo que, vamos dizer
que eu tenha uma matriz A, m por n. No último vídeo, ainda, eu disse
que o espaço coluna de A... na verdade,
eu disse espaço nulo. Deixe só eu
apagar isso aqui. Na verdade, eu disse que o espaço nulo
de A é o complemento ortogonal. Então vamos
escrever isso aqui. Complemento ortogonal
do espaço linha de A. Lembrando que o espaço linha de A
é a mesma coisa que o espaço coluna da matriz A transposta,
então isso aqui é a mesma coisa. Então, a gente pode reescrever
essa frase aqui acima dizendo o seguinte: a gente pode colocar aqui: o espaço nulo de A é igual
ao espaço coluna da matriz A transposta. Na verdade, essa sentença
ainda está incompleta, porque eu não quero provar
a vocês que o espaço nulo de A é igual ao espaço coluna
da matriz transposta A. Não é isso que
eu quero provar. O que eu quero provar
é que o espaço nulo de A é igual ao complemento ortogonal
do espaço coluna da matriz transposta A. Então é isso que
estou querendo dizer. Deixe-me usar aqui o meu símbolo
para o complemento ortogonal. Nos últimos vídeos, eu fiz alguns exemplos
com matriz 2 por 3, mas, agora, eu vou fazer
um exemplo mais geral, então, deixe-me desenhar
minha matriz A dessa forma. Deixe-me puxar um pouquinho
para cá. Vamos lá. Então vou desenhar aqui minha matriz A,
e ela vai conter vetores linha, então, vou desenhar minha matriz A
contendo vetores linha. E essas linhas podem ser
associadas às colunas, basta eu pegar aqui
a minha matriz transposta. Eu vou colocar aqui
os meus vetores transpostos, porque o meu vetor transposto linha
é igual ao meu vetor coluna. Então, eu tenho aqui
que o meu vetor r transposto, meu vetor r1 transposto,
aqui embaixo, meu vetor r2 transposto,
e assim por diante. Até o último vetor lá embaixo,
que vai ser o vetor rm, rm transposto. Então, esses são
os meus vetores. Não deixe se confundir por essa questão
da transposição dos vetores. Pense apenas que
são vetores linha. Vamos dizer que
são vetores linha. Na verdade, são transposições de colunas
que estão representando essas linhas, então eu peço só que você imagine
da seguinte maneira, essa aqui é a primeira linha
da nossa matriz, essa é a segunda linha
da nossa matriz, e assim por diante. Agora eu pergunto, qual é
o espaço nulo da matriz A? Na verdade, o espaço nulo da matriz A
eu posso fazer da seguinte maneira. Então, na verdade, vou fazer isso
um pouquinho diferente. Posso colocar assim,
posso colocar aqui vezes o vetor x. Então isso aqui, essa matriz vezes o vetor x
e do espaço nulo da matriz A. Então, aqui, isso aqui vai ser zero,
o vetor zero. E para resolver isso aqui,
basta fazer a multiplicação dessa matriz por esse vetor e a gente tem
que ter aqui dando zero. Deixe-me só fazer uma coisa
um pouquinho diferente aqui. Deixe-me colocar
dessa forma aqui. Vou colocar um primeiro zero,
segundo zero e depois aqui, no total, são m zeros.
Deixe-me colocar desta forma. E a maneira que a gente pode utilizar
para resolver esse tipo de problema é: A gente pode pegar cada uma dessas linhas
e multiplicar pelo vetor x aqui. Para a primeira linha, eu vou ter
como resultado esse valor aqui, o valor zero. Então, aqui, eu vou pegar
o meu vetor r1 transposto. Vou multiplicar por quem?
Pelo vetor x. Então, eu vou
ter isso aqui. Vou ter r1 transposto
vezes o vetor x. Esse aqui é o valor
da minha primeira linha. Da mesma forma, se eu pegar
a minha segunda linha aqui. Vou fazer com
uma cor diferente. Se eu pegar a minha segunda linha aqui,
essa segunda linha, eu vou multiplicar também pelo vetor x,
eu vou encontrar o quê? Eu vou encontrar aqui o valor
da segunda posição, que também é zero. Então, aqui, eu vou ter r2
transposto vezes x. Isso também vai
ter que dar zero. E essa aqui foi a maneira
que a gente encontrou para resolver isso, então eu posso escrever
dessa forma aqui. Vou escrever aqui r1 transposto
vezes o vetor x. Isso aqui tem que
ser igual a zero. A mesma coisa para o r2,
r2 transposto vezes o vetor x, isso também tem que ser igual a zero,
e vou seguindo isso aqui toda vida, até que eu vou ter Rm transposto
vezes o meu vetor x. E isso aqui tem
que ser igual a zero. E, por fim, eu vou poder dizer
que o espaço nulo de A, eu posso escrever
fazendo essa multiplicação aqui, mas para não ter que escrever isso tudo,
eu vou escrever da seguinte maneira. Vou dizer que
x pertence a Rn, tal que A vezes o vetor x, a matriz A
vezes o vetor x, tem que ser igual a zero. Então, eu faço compreender
todos esses casos aqui. Inclusive o caso em que
o vetor x é igual a zero. Só para deixar um pouco mais claro,
vamos dizer que nós temos aqui o vetor v1. Na verdade, deixe-me fazer
isso aqui com outra cor. Então, vamos dizer
que nós temos aqui um vetor v1 e vamos dizer que ele pertença
ao espaço nulo de A. Vamos dizer que ele
pertença ao espaço nulo de A. Então, o que eu quero dizer é o seguinte,
que se eu pegar esse vetor aqui, v1, e colocar no lugar de x, toda essa matriz aqui
vezes o vetor v1 sempre vai dar zero. Então o r1 transposto
vezes v1 vai dar zero, o r2 transposto vezes o v1
vai dar zero e assim por diante. Então, uma outra maneira,
ainda, de dizer isso aqui é fazer o seguinte, é dizer que o v1 é
ortogonal. Ortogonal a quem? v1 é ortogonal a todas essas linhas aqui.
Então, v1 é ortogonal a r1 transposto, vetor r2 transposto,
cada uma daquelas linhas ali, até Rm transporto, então é ortogonal
a todas essas linhas aqui. E algo que é importante
observar é o seguinte. Se esse vetor v1 é ortogonal
a cada uma dessas linhas, ele também é ortogonal a uma combinação
linear de todas essas linhas. Ou de algumas dessas linhas,
então eu posso dizer aqui que ele é ortogonal
a qualquer combinação linear. Então, ortogonal a qualquer
combinação linear. Então é isso
o que vai acontecer. Além de ele ser ortogonal aos vetores,
a cada uma das linhas, ele vai ser ortogonal a qualquer combinação linear
que possa provir desses linhas ali. Então só para a gente entender isso aqui
um pouquinho melhor, vamos pensar no seguinte. Vamos dizer aqui que a gente tenha
um vetor w. Vamos colocar um vetor w. E vamos dizer
que ele seja igual... a uma combinação linear dessas linhas aqui,
na verdade, vamos pensar nas colunas, porque aqui
ela está transposta. Então, vamos
colocar assim. Vamos colocar c, então c1 vezes r1,
mais c2 vezes r2, mais... e vou seguindo
aqui até Cm Rm. Então isso aqui
é o meu vetor w. É uma combinação linear
de todas as linhas que eu tenho aqui. Agora vamos pensar aqui
no que acontece se a gente pegar o nosso vetor v pertencente ao
espaço nulo de A e multiplicar pelo nosso vetor w. Então, v vezes w.
O que vai acontecer? Isso aqui vai ser
igual a c1, vezes... Aqui, eu vou ter v vezes r1,
mais c2 vezes v vezes r2. Esse que é o meu vetor v também,
meu vetor v. E aqui assim por diante. Então,
aqui, mais... e vou seguindo até, eu vou ter aqui,
Cm vezes o meu vetor v e aqui, vezes Rm, então essa aqui
é a minha multiplicação. Claramente essa minha multiplicação
é distributiva e já tínhamos visto aqui que esse vetor é ortogonal
a todos os outros vetores. Então, quer dizer o quê?
Que v vezes r1 vai dar zero. Isso aqui vai
dar zero também. Aqui, também
vai dar zero. Acontece o quê?
Esse somatório todo vai dar zero. Então v vezes w vai dar zero também.
Vai dar o meu vetor nulo. O que vai acontecer aqui é o seguinte, eu vou
puxar só um pouquinho mais para baixo. Eu vou poder dizer para vocês o seguinte,
que eu peguei aqui o meu vetor v1, que pertencia ao espaço nulo de A
e eu peguei aqui o meu vetor w que pertencia ao espaço gerado
pelas linhas da minha matriz A. Então aqui eu
posso dizer o seguinte. Eu posso dizer que w pertence
ao meu espaço linha ou posso dizer que é o espaço coluna
transposto também, e eu vou colocar assim,
c vezes A transposto. E, aqui, eu posso dizer, ainda, que o meu vetor v
pertence ao espaço nulo de A. E, aí, quando eu pego v vezes w,
então, quando eu pego vezes w, o que vai acontecer?
Isso vai dar o vetor nulo. Então fica claro que cada um dos membros
do meu espaço nulo de A vai ser ortogonal a cada um
dos membros do meu espaço linha de A. Por fim, nós podemos dizer
que cada membro... do espaço nulo, vamos colocar
com um símbolo, cada membro do espaço nulo
da matriz A, é ortogonal, e ortogonal a quem? Ortogonal a cada um dos membros, a cada
membro do espaço linha de A, da matriz A. Isso aqui nos leva
até metade do caminho, mas não quer dizer que isso
é o complemento ortogonal do espaço nulo. Por exemplo, podem existir alguns membros
que podem estar no espaço linha de A, mas podem não estar
no espaço nulo de A. Então vamos, por exemplo,
utilizar um vetor u. Então vamos dizer que
eu tenha um vetor u, e esse vetor u pertence ao complemento
ortogonal do espaço linha de A. Então, a gente pode usar
essa notação aqui, embora seja uma notação
talvez um pouco complexa, mas o que eu quero é que você entenda
é que isso aqui é a transposta do espaço linha de A, então tanto faz a maneira como
a gente escreve isso aqui. Mas tudo que nós mostramos até agora
é que cada membro do espaço nulo de A é ortogonal a cada membro
do espaço linha de A. Agora, eu quero
mostrar o seguinte, que se existe um vetor que pertence
ao espaço linha de A, então ele vai ser ortogonal ao espaço nulo de A
e isso vai dar a relação que a gente quer. A relação de equivalência entre o
espaço nulo de A e o espaço linha de A. Então o que eu posso dizer é
que se eu tiver aqui u, que vai ser multiplicado por w, então,
u, que vai ser multiplicado por w, onde esse w pertence ao espaço linha de A,
ou seja, onde w pertence ao espaço linha de A, vamos utilizar essa notação,
que a gente já está usando, então o que vai acontecer aqui?
Isso aqui vai dar zero, a gente já sabe disso. Deixe-me só
colocar isso assim. Isso aqui vai dar zero, então,
isso aqui vai implicar o seguinte, que, se eu tiver um vetor u vezes
o vetor rj, isso também vai dar zero, onde esse j pode ser igual a quê?
Pode ser igual a 1, 2, até m. Então, quando você pega esse u aqui
e multiplica por um desses membros, e você nota que é zero, então,
você tem aqui todo o espaço linha, todo esse espaço linha
que vai dar zero também. Então cada uma dessas linhas aqui que
eu multiplicar por u também vai dar zero. Isso é garantido porque é uma
base para meu espaço linha de A. Por fim, isso vai
significar o que para a gente? Isso vai significar que u
vezes o r1 vai dar zero. Da mesma forma, u vezes r2,
isso vai dar zero e assim por diante, até que eu tenha u vezes
rm, que também vai dar zero. Então, todos eles vão dar zero,
então, o que que isso está implicando? Isso aqui está
implicando o seguinte. Que se isso tudo aqui é verdade,
então a vezes o vetor u também é igual a zero. Então isso aqui significa dizer que u
é ortogonal a toda a matriz A. Portanto, eu estou dizendo,
na verdade, que u pertence a quem? Ao espaço nulo
da matriz a. Então, u pertence
ao espaço nulo da matriz A. Então, eu acabei mostrando a vocês
que se um vetor faz parte do complemento ortogonal
do espaço linha de A, então, ele também é um membro
do espaço nulo de A. E eu já tinha mostrado
que se um membro pertencer ao espaço nulo de A, ele pertence
ao complemento ortogonal. Aqui em cima, eu acabei me confundindo com um
negócio, então, esse t aqui não precisa estar aqui. Na verdade,
isso aqui está errado. A gente não precisa colocar esse aqui,
porque aqui seria transposto. É que, na verdade, não é
transposto, é a linha mesmo. Acabei me confundindo com isso aqui.
Vamos voltar aqui. Vamos lá. Então eu posso dizer que
cada elemento do espaço nulo de A, ele está dentro do complemento ortogonal do
espaço linha de A, que a gente pode escrever assim. Isso aqui é o complemento ortogonal
do espaço linha de A. E aqui a gente fez
exatamente o contrário. Aqui, a gente
disse o seguinte. O que conseguimos aqui foi mostrar que o
complemento ortogonal do espaço linha de A, qualquer um desses elementos que estiver
aqui dentro, ele também estará onde? Ele também estará
no espaço nulo de A. Então é isso que a gente
conseguiu mostrar aqui. Mas nós temos que
prestar atenção nisso. Se essas duas coisas
estão acontecendo, então nós temos que esses conjuntos
são exatamente iguais. A gente pode dizer que o
espaço nulo de A vai ser igual a quê? Ao complemento ortogonal
do espaço linha de A. Então, eu posso dizer que ele vai ser igual ao
complemento ortogonal do espaço linha de A, que a gente pode escrever
dessa maneira aqui. Agora que eu acabei de mostrar
isso aqui dessa maneira, eu ainda poderia fazer
uma substituição, então, vamos dar uma olhadinha
nessa substituição aqui embaixo. Então, vamos
prestar atenção aqui. Vamos dizer que eu queira
escrever aqui que A é igual a B transposta. Então a matriz A é igual
a uma matriz B transposta. Por que eu
estou usando isso? Porque, aqui, eu
tenho uma A transposta. Então, eu vou poder fazer aqui
uma relação entre “A” e “B” transpostas. Então a gente quer ver
o que vai acontecer aqui. Isso aqui vai ficar
da seguinte maneira. Isso vai ficar N, espaço nulo,
no lugar de A, vou colocar B, B transposta. Aqui vai ficar igual ao
complemento ortogonal de quem? Ao complemento ortogonal de A, no caso,
do espaço coluna da matriz A transposta. Agora, vai ser o espaço coluna da matriz B transposta,
só que ela vai estar transposta. E isso aqui...
Complemento ortogonal. Vou colocar aqui mais um parêntese,
para não ficar errado. Então isso aqui vai
ser igual a quê? Aqui nós temos o seguinte,
que a transposta da B transposta é só a “B”. Então, aqui a gente pode escrever que a gente
tem o espaço nulo da matriz B transposta e que isso aqui vai ser igual ao complemento
ortogonal do espaço coluna da matriz B, então é isso
o que posso dizer aqui. E essas matrizes aqui, “A” e “B”
são extremamente genéricas. Eu estou utilizando
aqui qualquer matriz. E aqui em cima, eu
pude notar o seguinte, que o espaço nulo, vou utilizar palavras para escrever
isso, é o complemento ortogonal de quem? Do espaço linha de A, então,
complemento ortogonal do espaço linha de A. E aqui eu posso dizer que
o espaço nulo da transposição... da matriz transposta, no caso,
é igual ao complemento ortogonal, deixe-me abreviar isso aqui,
é o complemento ortogonal do espaço coluna. Então é isso que eu estou
dizendo aqui nesse caso. Alguns vídeos atrás, vimos isso para alguns
exemplos particulares de matrizes. Agora, você viu que isso está aprovado
para todos os tipos de matrizes. Espero que tenham gostado deste vídeo
e nos vemos nos próximos vídeos!