Complementos ortogonais

RKA22JL Vamos dizer que eu tenha um subespaço, vamos chama-lo de v, que ele seja algum subespaço, então, aqui “v” é um conjunto que é algum subespaço. Vamos escrever isso. Subespaço. E talvez ele seja um subespaço de Rn. Vamos colocar aqui um subespaço de Rn. Neste vídeo, eu vou definir quem é o complemento ortogonal de v. Então é isso que eu quero, quem eu quero descobrir, quem é o complemento ortogonal de v. Então é isso que nós vamos fazer. Eu vou chamar esse complemento de v perpendicular. Vou escrever assim. Este simbolozinho aqui quer dizer perpendicular. Então, você pode chamar isso aqui de v perpendicular. Isso aqui é dado pelo seguinte conjunto. São todos os vetores x pertencentes a Rn, de modo que x vezes v vai dar zero. Isso aqui para todo v, então para todo v, pertencente a v. Então essa é a nossa definição para o conjunto v ortogonal. Então, para todo v pertencente a v. Então o que eu estou dizendo é que eu tenho aqui o meu conjunto v e, a partir desse conjunto v, eu encontro vários outros vetores, e esses vetores são ortogonais a todos os vetores que já fazem parte desse subespaço v. e a este conjunto nós chamamos de complemento ortogonal de v e nós fizemos aqui o v perpendicular, utilizando esse simbolozinho aqui. E uma pergunta que nós podemos nos fazer é a seguinte: será que esse conjunto aqui, v perpendicular, será que ele é um subespaço? Então, essa é uma pergunta, por exemplo, que nós podemos nos fazer. É bastante justa. Então vamos tentar responder isso aqui e nós temos que nos lembrar quais são as condições para que um conjunto seja um subespaço. Então, por exemplo, aqui eu preciso que “a” e “b”... se “a” e “b” são vetores que pertencem a v perpendicular, então o que acontece? Eu tenho que “a” mais “b” obrigatoriamente também precisa pertencer a v perpendicular. E aí, a pergunta é: será que pertence? e a segunda coisa é o seguinte: se eu tenho um “a” que já pertence a v perpendicular, então, eu preciso que c vezes a, c aqui é uma constante arbitrária, c vezes a também pertença ao conjunto v perpendicular. Isso para todo c pertencente a r. Será que isso aqui também acontece? E a minha última condição é a seguinte: a última condição é que eu preciso ter o vetor nulo, mas o vetor nulo é uma consequência dessa última condição aqui, porque se eu colocar aqui c igual a zero, zero vezes a dá o vetor nulo. Então se essa condição for satisfeita, a condição do vetor nulo também é satisfeita. Então, o que que significa isso aqui? Temos que a e b também pertence a V perpendicular Então, eu posso dizer o seguinte. Eu posso dizer que eu tenho um a, e que a vezes v é igual a zero, e isso aqui para todo v pertencente a v. Então é isso que está acontecendo. Neste caso aqui, esse vetor v representa todos os vetores do meu subespaço v. Da mesma forma, o b. O b pertencente a v perpendicular significa o seguinte, que b vezes v vai dar zero. E esse v aqui é o que? Para todo, também, para todo v pertencente a v. Significa a mesma coisa. Então o que acontece, por exemplo, se eu pegar a mais b, então, se eu pegar a mais b e fizer isso aqui vezes o meu vetor v. Eu vou ter o seguinte. Eu vou ter a vezes v. Então, a vezes v, mais b vezes v. Só que isso aqui vai ser igual ao seguinte: a vezes v eu sei que é zero, b vezes v também sei que é zero, então isso aqui vai dar zero, logo, eu tenho que a mais b pertence ao cumprimento ortogonal de v. Então isso aqui está ok. Deixe-me só fazer essa marca aqui com uma cor diferente. Agora, vamos analisar essa segunda condição aqui. Nós temos que Ca vezes, isso aqui vai ser a mesma coisa que c vezes a vezes v, então a vezes v, e isso vai dar o seguinte, vai dar c vezes zero, que é zero, zero vezes c dá zero. Portanto, isso aqui também está correto. C vezes a também pertence ao complemento ortogonal de v. E o caso do zero é bem simples, eu poderia ter colocado aqui zero no lugar de c e eu teria zero vezes a, que seria o vetor zero. Na verdade, poderíamos pensar da seguinte maneira: Zero vezes qualquer vetor sempre vai dar zero. Quer dizer que zero estará em todos os conjuntos que forem complemento ortogonal de v. Portanto, agora, nós sabemos que o v ortogonal é um subespaço. Isso aqui é muito interessante, porque, agora, a gente pode pegar e utilizar todas as propriedades que conhecemos de subespaço para esse conjunto aqui, v ortogonal. E a próxima questão é a seguinte. Eu disse no último vídeo que, vamos dizer que eu tenha uma matriz A, m por n. No último vídeo, ainda, eu disse que o espaço coluna de A... na verdade, eu disse espaço nulo. Deixe só eu apagar isso aqui. Na verdade, eu disse que o espaço nulo de A é o complemento ortogonal. Então vamos escrever isso aqui. Complemento ortogonal do espaço linha de A. Lembrando que o espaço linha de A é a mesma coisa que o espaço coluna da matriz A transposta, então isso aqui é a mesma coisa. Então, a gente pode reescrever essa frase aqui acima dizendo o seguinte: a gente pode colocar aqui: o espaço nulo de A é igual ao espaço coluna da matriz A transposta. Na verdade, essa sentença ainda está incompleta, porque eu não quero provar a vocês que o espaço nulo de A é igual ao espaço coluna da matriz transposta A. Não é isso que eu quero provar. O que eu quero provar é que o espaço nulo de A é igual ao complemento ortogonal do espaço coluna da matriz transposta A. Então é isso que estou querendo dizer. Deixe-me usar aqui o meu símbolo para o complemento ortogonal. Nos últimos vídeos, eu fiz alguns exemplos com matriz 2 por 3, mas, agora, eu vou fazer um exemplo mais geral, então, deixe-me desenhar minha matriz A dessa forma. Deixe-me puxar um pouquinho para cá. Vamos lá. Então vou desenhar aqui minha matriz A, e ela vai conter vetores linha, então, vou desenhar minha matriz A contendo vetores linha. E essas linhas podem ser associadas às colunas, basta eu pegar aqui a minha matriz transposta. Eu vou colocar aqui os meus vetores transpostos, porque o meu vetor transposto linha é igual ao meu vetor coluna. Então, eu tenho aqui que o meu vetor r transposto, meu vetor r1 transposto, aqui embaixo, meu vetor r2 transposto, e assim por diante. Até o último vetor lá embaixo, que vai ser o vetor rm, rm transposto. Então, esses são os meus vetores. Não deixe se confundir por essa questão da transposição dos vetores. Pense apenas que são vetores linha. Vamos dizer que são vetores linha. Na verdade, são transposições de colunas que estão representando essas linhas, então eu peço só que você imagine da seguinte maneira, essa aqui é a primeira linha da nossa matriz, essa é a segunda linha da nossa matriz, e assim por diante. Agora eu pergunto, qual é o espaço nulo da matriz A? Na verdade, o espaço nulo da matriz A eu posso fazer da seguinte maneira. Então, na verdade, vou fazer isso um pouquinho diferente. Posso colocar assim, posso colocar aqui vezes o vetor x. Então isso aqui, essa matriz vezes o vetor x e do espaço nulo da matriz A. Então, aqui, isso aqui vai ser zero, o vetor zero. E para resolver isso aqui, basta fazer a multiplicação dessa matriz por esse vetor e a gente tem que ter aqui dando zero. Deixe-me só fazer uma coisa um pouquinho diferente aqui. Deixe-me colocar dessa forma aqui. Vou colocar um primeiro zero, segundo zero e depois aqui, no total, são m zeros. Deixe-me colocar desta forma. E a maneira que a gente pode utilizar para resolver esse tipo de problema é: A gente pode pegar cada uma dessas linhas e multiplicar pelo vetor x aqui. Para a primeira linha, eu vou ter como resultado esse valor aqui, o valor zero. Então, aqui, eu vou pegar o meu vetor r1 transposto. Vou multiplicar por quem? Pelo vetor x. Então, eu vou ter isso aqui. Vou ter r1 transposto vezes o vetor x. Esse aqui é o valor da minha primeira linha. Da mesma forma, se eu pegar a minha segunda linha aqui. Vou fazer com uma cor diferente. Se eu pegar a minha segunda linha aqui, essa segunda linha, eu vou multiplicar também pelo vetor x, eu vou encontrar o quê? Eu vou encontrar aqui o valor da segunda posição, que também é zero. Então, aqui, eu vou ter r2 transposto vezes x. Isso também vai ter que dar zero. E essa aqui foi a maneira que a gente encontrou para resolver isso, então eu posso escrever dessa forma aqui. Vou escrever aqui r1 transposto vezes o vetor x. Isso aqui tem que ser igual a zero. A mesma coisa para o r2, r2 transposto vezes o vetor x, isso também tem que ser igual a zero, e vou seguindo isso aqui toda vida, até que eu vou ter Rm transposto vezes o meu vetor x. E isso aqui tem que ser igual a zero. E, por fim, eu vou poder dizer que o espaço nulo de A, eu posso escrever fazendo essa multiplicação aqui, mas para não ter que escrever isso tudo, eu vou escrever da seguinte maneira. Vou dizer que x pertence a Rn, tal que A vezes o vetor x, a matriz A vezes o vetor x, tem que ser igual a zero. Então, eu faço compreender todos esses casos aqui. Inclusive o caso em que o vetor x é igual a zero. Só para deixar um pouco mais claro, vamos dizer que nós temos aqui o vetor v1. Na verdade, deixe-me fazer isso aqui com outra cor. Então, vamos dizer que nós temos aqui um vetor v1 e vamos dizer que ele pertença ao espaço nulo de A. Vamos dizer que ele pertença ao espaço nulo de A. Então, o que eu quero dizer é o seguinte, que se eu pegar esse vetor aqui, v1, e colocar no lugar de x, toda essa matriz aqui vezes o vetor v1 sempre vai dar zero. Então o r1 transposto vezes v1 vai dar zero, o r2 transposto vezes o v1 vai dar zero e assim por diante. Então, uma outra maneira, ainda, de dizer isso aqui é fazer o seguinte, é dizer que o v1 é ortogonal. Ortogonal a quem? v1 é ortogonal a todas essas linhas aqui. Então, v1 é ortogonal a r1 transposto, vetor r2 transposto, cada uma daquelas linhas ali, até Rm transporto, então é ortogonal a todas essas linhas aqui. E algo que é importante observar é o seguinte. Se esse vetor v1 é ortogonal a cada uma dessas linhas, ele também é ortogonal a uma combinação linear de todas essas linhas. Ou de algumas dessas linhas, então eu posso dizer aqui que ele é ortogonal a qualquer combinação linear. Então, ortogonal a qualquer combinação linear. Então é isso o que vai acontecer. Além de ele ser ortogonal aos vetores, a cada uma das linhas, ele vai ser ortogonal a qualquer combinação linear que possa provir desses linhas ali. Então só para a gente entender isso aqui um pouquinho melhor, vamos pensar no seguinte. Vamos dizer aqui que a gente tenha um vetor w. Vamos colocar um vetor w. E vamos dizer que ele seja igual... a uma combinação linear dessas linhas aqui, na verdade, vamos pensar nas colunas, porque aqui ela está transposta. Então, vamos colocar assim. Vamos colocar c, então c1 vezes r1, mais c2 vezes r2, mais... e vou seguindo aqui até Cm Rm. Então isso aqui é o meu vetor w. É uma combinação linear de todas as linhas que eu tenho aqui. Agora vamos pensar aqui no que acontece se a gente pegar o nosso vetor v pertencente ao espaço nulo de A e multiplicar pelo nosso vetor w. Então, v vezes w. O que vai acontecer? Isso aqui vai ser igual a c1, vezes... Aqui, eu vou ter v vezes r1, mais c2 vezes v vezes r2. Esse que é o meu vetor v também, meu vetor v. E aqui assim por diante. Então, aqui, mais... e vou seguindo até, eu vou ter aqui, Cm vezes o meu vetor v e aqui, vezes Rm, então essa aqui é a minha multiplicação. Claramente essa minha multiplicação é distributiva e já tínhamos visto aqui que esse vetor é ortogonal a todos os outros vetores. Então, quer dizer o quê? Que v vezes r1 vai dar zero. Isso aqui vai dar zero também. Aqui, também vai dar zero. Acontece o quê? Esse somatório todo vai dar zero. Então v vezes w vai dar zero também. Vai dar o meu vetor nulo. O que vai acontecer aqui é o seguinte, eu vou puxar só um pouquinho mais para baixo. Eu vou poder dizer para vocês o seguinte, que eu peguei aqui o meu vetor v1, que pertencia ao espaço nulo de A e eu peguei aqui o meu vetor w que pertencia ao espaço gerado pelas linhas da minha matriz A. Então aqui eu posso dizer o seguinte. Eu posso dizer que w pertence ao meu espaço linha ou posso dizer que é o espaço coluna transposto também, e eu vou colocar assim, c vezes A transposto. E, aqui, eu posso dizer, ainda, que o meu vetor v pertence ao espaço nulo de A. E, aí, quando eu pego v vezes w, então, quando eu pego vezes w, o que vai acontecer? Isso vai dar o vetor nulo. Então fica claro que cada um dos membros do meu espaço nulo de A vai ser ortogonal a cada um dos membros do meu espaço linha de A. Por fim, nós podemos dizer que cada membro... do espaço nulo, vamos colocar com um símbolo, cada membro do espaço nulo da matriz A, é ortogonal, e ortogonal a quem? Ortogonal a cada um dos membros, a cada membro do espaço linha de A, da matriz A. Isso aqui nos leva até metade do caminho, mas não quer dizer que isso é o complemento ortogonal do espaço nulo. Por exemplo, podem existir alguns membros que podem estar no espaço linha de A, mas podem não estar no espaço nulo de A. Então vamos, por exemplo, utilizar um vetor u. Então vamos dizer que eu tenha um vetor u, e esse vetor u pertence ao complemento ortogonal do espaço linha de A. Então, a gente pode usar essa notação aqui, embora seja uma notação talvez um pouco complexa, mas o que eu quero é que você entenda é que isso aqui é a transposta do espaço linha de A, então tanto faz a maneira como a gente escreve isso aqui. Mas tudo que nós mostramos até agora é que cada membro do espaço nulo de A é ortogonal a cada membro do espaço linha de A. Agora, eu quero mostrar o seguinte, que se existe um vetor que pertence ao espaço linha de A, então ele vai ser ortogonal ao espaço nulo de A e isso vai dar a relação que a gente quer. A relação de equivalência entre o espaço nulo de A e o espaço linha de A. Então o que eu posso dizer é que se eu tiver aqui u, que vai ser multiplicado por w, então, u, que vai ser multiplicado por w, onde esse w pertence ao espaço linha de A, ou seja, onde w pertence ao espaço linha de A, vamos utilizar essa notação, que a gente já está usando, então o que vai acontecer aqui? Isso aqui vai dar zero, a gente já sabe disso. Deixe-me só colocar isso assim. Isso aqui vai dar zero, então, isso aqui vai implicar o seguinte, que, se eu tiver um vetor u vezes o vetor rj, isso também vai dar zero, onde esse j pode ser igual a quê? Pode ser igual a 1, 2, até m. Então, quando você pega esse u aqui e multiplica por um desses membros, e você nota que é zero, então, você tem aqui todo o espaço linha, todo esse espaço linha que vai dar zero também. Então cada uma dessas linhas aqui que eu multiplicar por u também vai dar zero. Isso é garantido porque é uma base para meu espaço linha de A. Por fim, isso vai significar o que para a gente? Isso vai significar que u vezes o r1 vai dar zero. Da mesma forma, u vezes r2, isso vai dar zero e assim por diante, até que eu tenha u vezes rm, que também vai dar zero. Então, todos eles vão dar zero, então, o que que isso está implicando? Isso aqui está implicando o seguinte. Que se isso tudo aqui é verdade, então a vezes o vetor u também é igual a zero. Então isso aqui significa dizer que u é ortogonal a toda a matriz A. Portanto, eu estou dizendo, na verdade, que u pertence a quem? Ao espaço nulo da matriz a. Então, u pertence ao espaço nulo da matriz A. Então, eu acabei mostrando a vocês que se um vetor faz parte do complemento ortogonal do espaço linha de A, então, ele também é um membro do espaço nulo de A. E eu já tinha mostrado que se um membro pertencer ao espaço nulo de A, ele pertence ao complemento ortogonal. Aqui em cima, eu acabei me confundindo com um negócio, então, esse t aqui não precisa estar aqui. Na verdade, isso aqui está errado. A gente não precisa colocar esse aqui, porque aqui seria transposto. É que, na verdade, não é transposto, é a linha mesmo. Acabei me confundindo com isso aqui. Vamos voltar aqui. Vamos lá. Então eu posso dizer que cada elemento do espaço nulo de A, ele está dentro do complemento ortogonal do espaço linha de A, que a gente pode escrever assim. Isso aqui é o complemento ortogonal do espaço linha de A. E aqui a gente fez exatamente o contrário. Aqui, a gente disse o seguinte. O que conseguimos aqui foi mostrar que o complemento ortogonal do espaço linha de A, qualquer um desses elementos que estiver aqui dentro, ele também estará onde? Ele também estará no espaço nulo de A. Então é isso que a gente conseguiu mostrar aqui. Mas nós temos que prestar atenção nisso. Se essas duas coisas estão acontecendo, então nós temos que esses conjuntos são exatamente iguais. A gente pode dizer que o espaço nulo de A vai ser igual a quê? Ao complemento ortogonal do espaço linha de A. Então, eu posso dizer que ele vai ser igual ao complemento ortogonal do espaço linha de A, que a gente pode escrever dessa maneira aqui. Agora que eu acabei de mostrar isso aqui dessa maneira, eu ainda poderia fazer uma substituição, então, vamos dar uma olhadinha nessa substituição aqui embaixo. Então, vamos prestar atenção aqui. Vamos dizer que eu queira escrever aqui que A é igual a B transposta. Então a matriz A é igual a uma matriz B transposta. Por que eu estou usando isso? Porque, aqui, eu tenho uma A transposta. Então, eu vou poder fazer aqui uma relação entre “A” e “B” transpostas. Então a gente quer ver o que vai acontecer aqui. Isso aqui vai ficar da seguinte maneira. Isso vai ficar N, espaço nulo, no lugar de A, vou colocar B, B transposta. Aqui vai ficar igual ao complemento ortogonal de quem? Ao complemento ortogonal de A, no caso, do espaço coluna da matriz A transposta. Agora, vai ser o espaço coluna da matriz B transposta, só que ela vai estar transposta. E isso aqui... Complemento ortogonal. Vou colocar aqui mais um parêntese, para não ficar errado. Então isso aqui vai ser igual a quê? Aqui nós temos o seguinte, que a transposta da B transposta é só a “B”. Então, aqui a gente pode escrever que a gente tem o espaço nulo da matriz B transposta e que isso aqui vai ser igual ao complemento ortogonal do espaço coluna da matriz B, então é isso o que posso dizer aqui. E essas matrizes aqui, “A” e “B” são extremamente genéricas. Eu estou utilizando aqui qualquer matriz. E aqui em cima, eu pude notar o seguinte, que o espaço nulo, vou utilizar palavras para escrever isso, é o complemento ortogonal de quem? Do espaço linha de A, então, complemento ortogonal do espaço linha de A. E aqui eu posso dizer que o espaço nulo da transposição... da matriz transposta, no caso, é igual ao complemento ortogonal, deixe-me abreviar isso aqui, é o complemento ortogonal do espaço coluna. Então é isso que eu estou dizendo aqui nesse caso. Alguns vídeos atrás, vimos isso para alguns exemplos particulares de matrizes. Agora, você viu que isso está aprovado para todos os tipos de matrizes. Espero que tenham gostado deste vídeo e nos vemos nos próximos vídeos!