Composições de transformações lineares 1

o a vamos continuar falando sobre transformações lineares mostrando como os há matrizes e como trabalhar suas dimensões claro que é sempre mais fácil escrever veja só pensa na transformação linear s que opera elementos do conjunto xi 100 elementos do conjunto y já explico se melhor na gnt x é um sub-conjunto e sinal significa subir conjunto do espaço rn e y é por sua vez um subconjunto do espaço rm podem até ser iguais essas dimensões nós estamos tratando um caso genérico ok dimensões diferentes s digamos que vamos definir essa com uma função na verdade vamos dizer que o mapeamento ds em x ou seja sdx pode falar assim como se fosse uma função são sinônimos aqui o mapeamento de sx é igual a uma matriz a vezes o vetor x estou usando x minúsculo porque ele é um elemento do conjunto x que por sua vez é um subconjunto de rn portanto você pode perceber que che será um elemento de rn muito bem a dimensão da matriz há como eu havia dito é terá a o número de linhas será o número de dimensões do espaço do conjunto imagem então ele vai ter m linhas por n colunas o número de colunas será um número de dimensões do espaço do domínio ok vamos representá los aqui um diagrama de venda para facilitar o entendimento digamos que temos aqui o conjunto x como já foi dito sub-conjunto do espaço rn e teremos também após a aplicação do mapeamento é ser a transformação é se o conjunto y que é um sub-conjunto drm custa repetir em que o operador é se ele vai trabalhar aqui num elemento do conjunto x do conjunto gestão será x veja só e vai transformar num elemento do conjunto y que vamos apresentar pela letra y minúscula então y e será é pertence ao espaço rm após a aplicação operador é se o mapeamento de sx nos leva o elemento do conjunto y digamos que agora temos uma nova transformação também linear vamos chamar de transformação t no conjunto y para o novo conjunto z ao melhor entendimento vamos construir aqui o nosso conjunto c a formação te vai operar em um elemento de y levando para um elemento do conjunto z tudo bem temos um vetor de natal z esse conjunto c digamos que sejam subir conjunto do espaço r vamos a outra letra agora rl então podemos dizer que te dê y el matriz vamos pensando já pensando nas dimensões da matriz ou para materializar já usei um dos a outra letra matriz b vezes matriz b vezes o elemento y também a dimensão da matriz b veja só então temos mais uma vez dessa dimensão pode ser assim definida é o conjunto de linhas é o número de dimensões do conjunto imagem então será uma atriz l você já deve ter percebido l por m então agora temos veja que o domínio de ter domínio da transformação t é o conjunto y que é um subconjunto drm por isso ele tem m colunas a matriz b terá m colunas talvez você esteja se perguntando então se é possível uma transformação também linear direta de um elemento do conjunto x para o conjunto z e é possível sim vou lhe mostrar vamos pensar que no elemento de ir já fiz muito pequena bolinha então vou fazer aqui pense bem após aplicar a transformação é se que a gente pintou em amarelo então o vetor x nós fizemos a transformação aplicamos a transformação mapeamento é se temos aqui então é se do vetor x sdx que é igual victor y muito bem em seguida nós aplicamos ao vetor y a transformação t então temos aí qt eu poderia escrever te de y mas pense bem y é o resultado da aplicação de s o vetor x ou seja em vez de escrever e y vou escrever aqui sdx já só porque stx é o nosso vetor y então muito bem temos tds dx nós temos aqui uma composição das do mapeamento ter com o mapeamento s/no das funções então podemos escrever assim a tecnologia normal é muito comum que se inscreva te bola é se a gente pode bater bola é se eu te composta s tecnicamente é mais interessante ter composta s é direto do conjunto x para o conjunto de conjuntos x para o conjunto z muito bem essa aqui é a composição podemos chamar de composição com a oposição temos as duas funções dos mapeamentos composição de t com s então as funções ou mapeamentos de s estamos tão água compostos composição de ter com s vamos definir da seguinte forma te bola s o tecon posta s ter composta stx1a veja só ter composta stx é a mesma coisa veja sua função t t de sdx de sdx conforme mostramos acima tds do vetor x 1 são texto aqui em vermelho muito bem a pergunta é veja só você deve se lembrar que eu disse que tanto a uma pena mas enquanto essa transformação é como a transformação t são transformações lineares e será que nós temos tds dx o que é composta s também com uma transformação linear será aqui se é lei e se ele nem a transformação linear muito importante a gente determinar isso é uma transformação linear estou perguntando vamos o que ajudará a responder só como nós fizemos no último vídeo nós pensamos assim te composta é se vamos pensar lá a ser composta s nós começamos no último vídeo fazendo a transformação relativa dois vetores então vamos chamar esses vetores veja só vão escolher uma coisinha vamos chamar esses vetores de x 1 e mais x2 muito bem então ter composta sdx um mais x 2 se a transformação se a composição é uma transformação também é linear então é nós devemos ter é composta sda soma desses dois vetores terá que ser a soma das transformações de cada um dos vetores separadamente podemos escrever da seguinte maneira t só te de s da soma dos vetores x 1 x 2 estão vetor x1 mais o vetor x2 muito bem tds de x 1 west os dois até agora não mudou muita coisa então vamos em frente temos lá é como s sabemos que é uma transformação linear assim ficou definido no início deste vídeo então nós sabemos que podemos fazer aqui fora t t sendo essa uma transformação linear então nós podemos sim dizer é que ele pode ser expressa a transformação aplicada a soma pode ser a soma das transformações será stx1a a transformação é se aplicado ao vetor x 1 mas a transformação é se aplicada ao vetor x2 muito bem a propriedade distributiva se aplica pois é se é uma transformação linear muito bem que temos aqui agora então já só temos a transformação te da soma das transformações sx1 e com sx2 muito bem ter também foi definido com uma transformação linear dessa forma então podemos aplicar a propriedade distributiva tendo assim te veja só dá mais trabalho mudar a cor aqui te de sx1 e ds dx11 e mais te tsd x 1 mais tv você já deve ter percebido dsd x 2 o vetor x 2 muito bem então com isso que temos aqui a soma das duas transformações veja só que nós temos finalmente vou colocar mais pra cá um pouco a cabeça direitinho tds x1 posso dizer que é ter composta é se vamos fazer na cor verde que está fazendo antes para ficar mais organizado então te de sx1 posso dizer que é ter composta é se a gente põe entre parênteses assim ter composta s nesse caso ter composta sd x 1 e mais te de sx2 fácil na verdade é de aparências mais uma vez te composta s do próprio x 2 veja o que nós podemos obter agora é eu mostrei você que a composição dts da soma de x 1 mas se os dois é igual à soma das composições de tsd x 1 com a composição tem sx2 mostrando é que essa primeira parte aqui já vimos que é típica de transformação linear falta ainda eu te mostravam lá te comporta é se ter composta s que a gente saiba ser linear decomposta sd1 escalar c qualquer vezes o vetor x pode ser qualquer valor real de ser decomposta sdc x é será que eu vou poder dizer é composta sd1 escalar vezes o vetor x é igual a multiplicação do escalar pelas pela composição é ter composta s do vetor fica mais fácil a gente fazer verdade não temos lá ter composta s de cx temos então isso te vamos mudar as cores mais uma vez te a cor vermelha vamos te composta é se quer dizer tds tds de x vermelho muito bem isso aki vai ser igual veja só te s como é uma transformação linear nós podemos facilmente é expressar o aceu escalar que fora então vai ficar te de se escalar ser vezes multiplicado pela transformação stds dx porque nós podemos fazer porque essa é uma transformação linear como definido no início nosso vídeo muito bem é também definimos que te é uma transformação linear então com isso nós podemos também expressar aqui como sendo a multiplicação de escalar ser pela transformação t t d s t diece de um vetor x qualquer vetor que a gente queira expressar muito bem então temos que a ce vezes até de stx é a mesma coisa que eu multiplicar já tô me atrapalhando nas cores aqui multiplicar se por pela nossa função composta ter composta sc vezes ter composta s podes falar te bola é só para falar te oeste mas é meio esquisito ser de ter com posta s do nosso vetor x e com isso podemos dizer que a nossa composição de te conhece composição de duas transformações lineares também é uma transformação linear ok então realmente nem precisa interrogação já sabemos que a composição é linear também então vamos terminar o vídeo que só definindo a composição t.costa s t composta sdx então com isso podemos da mesma forma como fizemos no início representar por uma matriz e letra a letra b vamos usar a matriz e é vezes o vetor x multiplicando a matriz e pelo vetor x vamos obter é transformar então no vetor z é do espaço rl muito bem essa matriz é importante lembrar suas dimensões na verdade então mateus do espaço rn para o rl então ela terá veja só l coluna série linhas perdão l linha l por nnd não se esqueça a não se esqueça desse trabalho muito bem então será uma 3l por n no próximo vídeo nós vamos definir mostrar como definir essa matriz e em função das matrizes transformação a bibi