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Composições de transformações lineares 2

Proporcionando a motivação para definição de produtos de matriz. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

olá no último vídeo nós mostramos a transformação linha s como sendo um mapeamento do conjunto x para o conjunto y estamos também a transformação igualmente linear te do conjunto y para o conjunto z a partir dessas duas transformações lineares nós fizemos a composição tecon st composta s é um mapeamento direto do conjunto x para o conjunto z essa composição nós mostramos que ela é também sendo st com pando transformações lineares a composição de duas transformações ter com essa também é uma transformação linear ela preenche os dois requisitos para que seja uma transformação linha com isso temos uma grande vantagem podemos expressar essa combinação é transformações partir de um vetor x como sendo uma simples multiplicação de uma matriz pelo nosso vetor x desde que as dimensões da matriz de transformação são l por n pois o número de linhas dessa matriz é o número de dimensões da imagem final e o número de colunas da nossa matriz e é um número aqui de dimensões do domínio da do mapeamento é composto de chispar à z nesse vídeo vou mostrar como compor a matriz e é relativa à transformação composta de ter com s então vamos escrever aqui as transformações que trabalhamos no vídeo anterior vale lembrar que a transformação te transformação te aplicada a um dado vetor y pode ser um vetor que a gente quiser vamos dizer te de y é igual à multiplicação simples da matriz b pelo vetor y tres b vezes o vetor y lembrando que um vetor é uma matriz une dimensional não diz quais são as dimensões de b ela leva do conjunto y é subconjunto do rm para o conjunto z que é subconjunto de url sendo então as dimensões de b portanto como sendo l linhas por m colunas da mesma forma podemos vamos relembrar que a transformação é se aplicado agora um dado vetor x também como sendo a multiplicação de uma matriz por um vetor nós fizemos aquele vídeo multiplicação da matriz a pelo vetor x seja só a atriz a a vezes um vetor x de sendo que as dimensões de a ele leva do x subconjunto grn para y subconjunto gm as dimensões de a afa vai ser uma matriz gm por nenê muito bem vamos falar agora da nossa composição te composta s é um mapeamento a aplicado a um vetor x veja aqui como nós vimos no vídeo passado é como se fosse a transformação te dizer tds de x por isso é composta de ter com s tds dx muito bem na transformação sdx como mostramos pode ser expressa pela multiplicação de apelo vetor x então veja só vamos te aplicada a a vezes x a vezes x vale lembrar é também um retorno então nós podemos aplicar transformação ter a essa multiplicação td a vezes x t de aves x vamos escrever aqui pouco mais abaixo como sendo a transformação te veja que a transformação tenham dado vetor nós multiplicamos a matriz b l por m vezes o vetor então veja como sendo a matriz b vezes o vezes a transformação ashes eu vou colocar um parêntesis aqui veja só não confunda as coisas matriz a vez do vetor x e eu pedi para não confundir porque isso aqui não é como uma função aqui é uma transformação aplicada é um mapeamento aqui não eu coloquei o país é matriz b matriz a não é função só para dizer que a gente tem que multiplicar primeiro apelo vetor x e depois faremos a multiplicação de b pelo resultado muito bem essa aqui então será a transformação t e composta s aplicada então a um vetor x muito bem e quando nós fizemos e samba essa multiplicação toda a nossa ideia é obter uma matriz só a matriz e que aplicada ao vetor x vai nos dá a transformação composta diretamente muito bem como é que nós vamos fazer como é que nós vamos determinar essa matriz e escrever e enfim a nossa matriz e veja só nós vamos é como fizemos em outros vídeos aplicar essa transformação composta a matriz identidade se lembra da matriz identidade bastante simples vou escrever aqui matriz identidade mas de dimensão como é aplicada ao vetor x e o vetor x vamos lembrar ele é um componente do conjunto xi subconjunto do rn portanto nossa matriz identidade terá a mesma dimensão aqui então nosso domínio que é o espaço n então será uma matriz de identidade de ordem n como sempre então uma matriz quadrada dn linhas por n colunas vão à matriz identidade você deve lembrar essa com o número 1 depois de uma seqüência de zeros até o final e seria primeira coluna da matriz identidade segunda coluna bastante simples 011 e preenchido o restante com zeros até seu final também se deve lembrar que é uma atriz identidade tenha de ser diagonal principal composta de uns e o restante de zeros muito bem então zeros em todas as posições até o final a última coluna que termina com o número 1 última coluna da matriz identidade e composta de zeros a todos eu resto matriz identidade de ordem n n linhas por n colunas muito bem e nós vamos aplicar como eu disse a transformação a matriz identidade usando aqui o nosso produto de matrizes e pitu para obter uma só matriz como é que nós vamos fazer então para gerar a matriz e vamos aplicar transformação composta cada uma das colunas da matriz de identidade e é bom lembrar que cada uma dessas colunas pode ser chamada de por exemplo e que será um vetor básico vetor unitário básico de formação do rn temos então eu um vetor unitário vetor e 2 e assim por diante será esta coluna é uma identidade até o último naturalmente o vetor pn repito porque nós temos n colunas muito bem então a nossa matriz e vamos ater a um pouquinho aqui a cor matriz e na hora que queremos compor veja só a primeira coluna da matriz e então ser a matriz e igual a multiplicação de bebê vezes a repito vamos fazer primeiro a multiplicação de ar por cada coluna da matriz identidade vamos lá ver se consigo e feioso primeira coluna da matriz identidade então o papa começa com uma verdade 100 até o final último zero muito bem é pouco vamos multiplicar pela matriz a a segunda coluna da matriz e será a multiplicação matriz b pelo produto diá pela segunda coluna da matriz identidade dá mais trabalho é escrever do que a gente entender isso aqui 000 até o final muito bem ser bastante simples fazer esse produto como você já deve estar prevendo e assim por diante primeira coluna da matriz e segunda coluna a última coluna será b que multiplica a vezes a última coluna da matriz identidade 000 cheio de zeros quase toda último elemento 11 muito bem como é que fazemos essa multiplicação então aqui está última coluna começou aqui uma atriz e termina então fechamos a matriz e e vou lembrar você como é que é nós queremos fazer a multiplicação da matriz a por cada uma dessas colunas pense então na matriz a que já definimos como sendo uma matriz m1 o nm linhas por n colunas então essa matriz a pode ser agora representada por um grupo de vetores coluna veja só victor a 1 que representa a primeira com uma matriz a vetor a 2 segunda coluna e assim por diante até naturalmente ou a eni pois ela tem como eu disse n colunas se eu quero multiplicar isso provê torches de dimensão e nico você se lembra então suas componentes serão aumente x 1 x 2 e assim por diante a gente não tem trabalho vamos direto para a última x n vetor dn dimensões essa multiplicação fica assim x 1 vezes o vetor a 1 mas x 2 vezes o vetor a 2 o vezes a segunda coluna matriz a continuar aqui embaixo mais x x 3 vezes a 13 e assim por diante até naturalmente x último x n vezes o vetor a e nenê ok isso então nos mostra como compor a matriz e veja só vamos baixar um pouquinho pra gente tem um espaço na matriz e voltar que a cor é uma matriz será composta será formada pela multiplicação da matriz de transformação b vezes o produto lembra que temos de fazer primeiro não podemos fazer bem vezes a directora depois multiplicar x 1º a vezes o vetor x que é o que nós fizemos acima então era só a 1 x 1 vezes há um mais x 2 vezes a 2 x 1 vezes a 1 x 1 em igual 1 x 2 go 0 x 3 igual a zero até o x n então só teremos x 1 vezes a ou seja 1 vezes a 1 opa nem precisava aqui já só x 1 como eu disse vezes há um que temos aqui então x 1 vezes há um que é igual a um que é pura e simplesmente a primeira coluna da matriz há muito bem a segunda coluna d'água 3 será b que multiplica a também seguindo a fórmula 1 x 1 versão x 1 a 0 vezes a 1 também vai dar 0 x 2 em joão v vezes a 2 então b que multiplica a 2 x 3 também 0 x 4 até xn teremos apenas a dois que esse modelo que fica bastante simplificado seguindo a mesma lógica você já deve ter percebido que nossa última coluna ser a explicação de bebê pelo produto de a ene vezes xn pois todos os outros x 1 x 2 x 3 são todos iguais a zero então x e é igual a 1 vezes a n 11 vezes a eni então pôs pura e simplesmente o vetor a emi só esquecidas flechinhas aqui ok mas sabemos que são vetores coluna a cada um deles um vetor da matriz de transformação há muito bem temos então a matriz e assim formada vamos agora resumir tudo que a gente fez até agora lembro que nós começamos definir uma transformação linear s do conjunto x ao conjunto y sendo x um subconjunto do rn em ny subconjunto de rm a transformação s a formação é ser aplicada um dado vetor x sendo sling ela pode ser escrita como a multiplicação simples de uma matriz matriz a vez do vetor x também definimos uma outra transformação linear transformação te agora do conjunto y ao conjunto z sendo z um subconjunto agora do rl essa transformação ter é digamos ter aplicado a um vetor protético y também sendo ter linear também pode ser descrita como a multiplicação de uma matriz digamos aqui a matriz b3 b6 vezes o vetor y multiplicação simples ela simplifica bastante nosso trabalho assim até escorregou desculpem lá tão assim podemos também definir a composição das transformações dos mapeamentos ter com s é aplicar ao vetor x como sendo veja só a multiplicação de aplicando primeiro transformação s/a vezes x e agora transformação ter como vimos multiplicação de b pelo produto de a vezes isso assim formamos a matriz e que x x nos dá a composição nos da transformação direta essa matriz e também vimos ela é formada veja só aproveitando que a gente conseguiu prender até agora a multiplicação da matriz b começando a primeira coluna b vezes a 1 é a primeira coluna da matriz a b vezes o vetor a 1 que representar a primeira coluna de ser a segunda coluna de ser bastante simples bebê vezes a 2 nosso trabalho fica simplificado assim revezadores e como está mostrado aqui e assim por diante até b multiplicação de bebê vezes a n a eni completando então a nossa matriz de transformação c tudo isso o tipificado pelo vetor pelo vetor x bom gente quero finalizar esse vídeo mostrando você enfatizando a importância a gente poder criar uma matriz de transformação direta é que expressa uma composição de transformações transformações lineares de como é simples apesar do vídeo esse abstrato é mas é bastante simples agente compor essa matriz transformação pela multiplicação das matrizes envolvidas e pra quem não lembra bem de multiplicação de matriz deixou aqui e lembrar você vou até mudar de curso que vamos pra gente enfatiza melhor a matriz b lembre se que é uma matriz l por m suas dimensões ou seja é linhas poeme colunas de matrizaria bom lembrar é uma matriz dimensão m por nenê emilinha por n colunas não pra quem não lembra bem para que a gente possa multiplicar uma matriz pela outra é nós sempre temos que ter o número de colunas da primeira matriz igual número de linhas da segunda matriz e lembrando que o produto de matrizes não é cumulativo inúmeros tudo bem em escalar is a gente pode fazer sete vezes 3 gow3 17 no caso de matrizes b vezes há nem sempre será igual à vezes b é podendo então é sendo que a gente pode multiplicar as duas então é muito importante que fique este vídeo é você lembrar que podemos compor a matriz de transformação direta pura e simplesmente pela multiplicação da matriz b pela matriz às matrizes envolvidas na composição de transformações lineares em outros vídeos é nós vamos a trabalhar como esse vídeo é bastante abstrato é pode ficar tranquilo que você vai ver em outros vídeos exemplos que mostram que só que na verdade é bastante simples até lá