Propriedade distributiva de produtos de matriz

RKA2G - Digamos que nós temos três matrizes: matriz A, matriz B e também a matriz C. Neste vídeo, queremos mostrar a a propriedade distributiva entre as matrizes, se ela é possível. Vamos mostrar isso. Para isso, antes de mais nada, temos que definir as dimensões dessas matrizes. Digamos que B e C tenham dimensões "m" por "n". Ambas as matrizes têm as mesmas dimensões. E a matriz A é um pouco diferente. A matriz A tem dimensões "k" por "m". Nós queremos trabalhar a propriedade distributiva, verificar se é possível a distributiva também em matriz. Em escalar, sabemos que é. Será que a matriz A, multiplicada pela soma das matrizes B e C, será igual à soma da multiplicação da matriz A pela B com a multiplicação de A por C, como aconteceria no escalar? É o que vamos ver aqui neste vídeo. Para isso, antes de começar, vamos definir os vetores B e C. Perdão, as matrizes B e C. Serão definidas por vetores coluna, cada um representando uma coluna da matriz B. Coluna 1, então será o vetor coluna b₁, b₂ será a coluna 2 e assim por diante. Lembre-se que eles têm "n" colunas, então, até bₙ. Da mesma forma, a matriz C será definida, como já fizemos em outros vídeos, pelo vetor c₁ (primeira coluna da matriz C), seguido de c₂ e assim por diante, até cn, a enésima coluna da matriz C. C e B, então, têm tantas linhas quanto colunas. Bom, como é que nós podemos definir essa multiplicação? A matriz A será multiplicada, veja só... Nós escrevemos a matriz A aqui e vamos efetuar aqui. Primeiro, é claro, vamos indicar a soma das matrizes B e C. Isso pode ser feito somando cada um. A primeira coluna de B com a primeira coluna de C, então, fica assim: vetor b₁ mais o vetor c₁, segunda coluna de B, representada pelo vetor b₂, mais a segunda coluna de C. E assim por diante, não precisa a gente escrever tudo, até a enésima coluna da matriz B somar com a enésima coluna da matriz C. Afinal de contas, elas têm o mesmo número de colunas. Falando nisso, é bom lembrar que, se temos aqui a multiplicação de A por essa matriz soma, falando do número de colunas, a matriz soma tem "m" linhas por "n" colunas. Para que o produto seja possível, vamos lembrar que a matriz A tem "k" linhas por "m" colunas. Para que o produto seja bem definido por essa matriz, é preciso que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas da matriz B. E nós realmente temos isso, que a soma das matrizes B e C terá exatamente as mesmas dimensões de cada um dos vetores B e C. Então, realmente podemos continuar aqui a nossa multiplicação. Essa multiplicação fica da seguinte maneira... Vou até mudar um pouco a cor aqui. Temos, então, A que multiplica a soma dos vetores coluna b₁ e c₁. Essa primeira coluna da nossa matriz, agora de multiplicação. Em seguida, A que multiplica... A coluna será A que multiplica b₂ + c₂. E você já percebeu que, assim por diante, teremos, no final, a multiplicação da matriz A pela soma dos vetores coluna bₙ e cₙ. Ok, e aqui... Vamos seguir a cor original, que abriu. Temos aqui a matriz multiplicação. Como vai ficar essa matriz? Aqui nós temos a matriz A vezes a soma de vetores e nós já definimos, em outros vídeos, a propriedade distributiva para a multiplicação de matrizes e vetores. Então, nós podemos dizer... Mudando as cores aqui, podemos dizer que esta multiplicação procede e, executando a propriedade distributiva, teremos aqui A, que multiplica o vetor b₁, mais A, que multiplica c₁, A que multiplica o vetor c₁, um vetor coluna. Então, a primeira coluna da nossa matriz, finalmente aqui a matriz de multiplicação. Em seguida, a segunda coluna. A, que multiplica o vetor b₂, somado com A, que multiplica o vetor c₂. Ficaria muito chato fazer um por um. A gente chega, finalmente, na multiplicação de A pelo vetor bₙ, somado com a multiplicação, também de A, pelo vetor cₙ. Esta é a nossa matriz de multiplicação. Pense bem. Olhe bem esta matriz e veja. Nós temos aqui que cada uma das colunas desta matriz é uma soma de vetores. Essa soma de vetores, então, nós podemos separar. Veja que, aqui, nós fizemos B + C, somamos os vetores de B e C. Agora nós vamos fazer o contrário: temos a soma de vetores e vamos separar as matrizes. Veja só. A primeira delas, vamos mudar para uma outra cor. A primeira delas, então, será A vezes b₁. A vezes o vetor b₁. E aqui, prosseguindo, A vezes o vetor b₂. Como eu disse, nós vamos abrir essa soma na soma de matrizes. Então, A vezes o vetor b₂ e assim por diante, até A vezes o vetor bₙ. "n" colunas, veja só. E vamos abrir. Agora, temos outra matriz, que será A vezes o vetor c₁. Agora multiplicando A pelos vetores em C. A vezes o vetor c₁, a segunda coluna será A vezes o vetor c₂ e também assim por diante, até A vezes o vetor cₙ. Como eu disse, eu desmembrei. Fiz o que era uma soma de vetores em uma soma de duas matrizes. E pense bem: o que é essa matriz A vezes os vetores b₁, b₂, até bₙ? Esta matriz vai ser exatamente... Vou colocar uma corzinha aqui... Esta matriz será a matriz A. Estes vetores de b₁ até bₙ são os componentes da matriz B, como já definimos no começo do exercício. Então, temos aqui a matriz AB. E da mesma forma, você deve ter reparado que aqui temos a matriz AC. Vamos voltar ao começo. Tudo começou pela multiplicação de A pela soma das matrizes B e C. Nós desenvolvemos a soma e o produto e temos aqui, finalmente, as matrizes AB e AC. Podemos, então, concluir, desde o começo até aqui, podemos agora escrever, vamos escrever por aqui. A multiplicação da matriz A pela soma das matrizes B e C (A que multiplica B + C) é realmente igual a AB (a multiplicação da matriz A pela matriz B) mais a matriz A vezes a matriz C. Então, A que multiplica B + C é igual a AB + AC. Ou seja, nós mostramos que a propriedade distributiva funciona também para as matrizes. Para escalares você já sabia, agora você sabe que pode usar também no trabalho com matrizes. Isso é bastante importante, em várias vezes que você vai ter que operar com matrizes. Temos, claro, sempre vem uma pergunta aqui. E se nós tivermos o contrário? Se nós quiséssemos fazer a multiplicação da soma das matrizes B e C pela matriz A? Você, a princípio, pode dizer, talvez lembrando de outros vídeos, que seria como o se eu quisesse provar a propriedade comutativa. Eu troquei de lugar os fatores A e a soma B + C, coloquei a soma primeiro e, depois, a matriz A. Muito bem. A propriedade comutativa (quando a gente troca de lugar) é definida para escalares, mas para matrizes não é. Então, neste caso, nós não sabemos se isso funciona, se eu posso inverter. Com certeza, neste caso não poderia, porque veja só: aqui eu tenho o mesmo número de colunas de A, é o mesmo número de linhas da matriz soma, o mesmo número de linhas de B e de C. Neste caso, B e C têm "n" colunas e sabemos que A tem "k" linhas. Neste caso, é exatamente as mesmas matrizes, sabemos que isso não seria possível, não seria definido. Mas e se eu tiver outras matrizes, diferentes destas, com outras dimensões, que me possibilitem que haja definição dessa multiplicação? Se o número de colunas de B + C for igual ao número de linhas de A, eu posso fazer essa multiplicação. Vamos fazer essa multiplicação um pouco mais abaixo, vamos fazer mais rapidamente agora. Vai ser bastante simples, você vai ver. Vamos fazer, vamos multiplicar a soma B + C vezes a matriz A. Matriz A, da mesma forma que já definimos as outras, vetor a₁ na primeira coluna, vetor a₂ na segunda coluna e assim por diante, até... A matriz A tinha, digamos, "m" colunas. Eu sei que os valores de linhas batem: "m" colunas, então, será aₘ. Isto ficará, você sabe, como já dissemos, já é provado, que, quando multiplicamos a matriz por vetores, existe a propriedade distributiva. Então, nós podemos é facilmente multiplicar a soma B + C vezes o vetor a₁. Só dá trabalho para escrever, mas é bastante simples. Segunda coluna da matriz multiplicação B + C, vezes o vetor a₂. Em seguida... Muito bem... Até o final: B + C que multiplica o vetor aₘ. Prosseguindo, teremos aqui, Vamos usar a propriedade distributiva mais uma vez. A matriz vai ficar: B que multiplica a₁ (matriz B vezes o vetor coluna a₁), mais a multiplicação do vetor C, também, pelo vetor a₁. A segunda coluna vai ser aqui, abrindo estes parênteses, B que multiplica a₂ mais C vezes a₂. E assim por diante, mais uma vez, até que teremos B vezes aₙ mais C vezes aₙ. Opa, espera: aₘ. Já ia errando a letrinha. "m" colunas, muito bem. Aqui é nossa matriz e o que temos aqui, mais uma vez, é uma soma de vetores. Nós podemos abrir isso em duas matrizes diferentes. É uma soma de vetores, então, vamos colocar duas matrizes soma. Vou usar uma corzinha diferente para a matriz formada pela multiplicação de B vezes os vetores da matriz A. B vezes o vetor a₁, B vezes o vetor a₂, como temos aqui, B vezes a₁, B vezes a₂ e assim por diante, até B vezes o vetor aₘ. Adivinha quem é esta matriz? Temos uma soma de matrizes. E vamos agora, C vezes o vetor a₁ vamos usar os elementos em C que aqui estão. C vezes a₁, C vezes a₂ que será nossa segunda coluna, até o final, que será C vezes aₘ, como já definido. Ok, temos aqui a nossa soma de matrizes e falta apenas a gente terminar. Aliás, lembrar o que é B vezes os vetores da matriz A. Temos aqui definida, aqui mostrada a matriz BA, da mesma forma como aqui temos a matriz CA. Bastante simples de ver. Como eu disse, a pior parte é escrever. Então, matrizes BA e CA, a soma das matrizes BA e CA, o que é? É justamente a multiplicação de B + C, tudo isso é a multiplicação de B + C, que mostramos no início, B + C, que multiplica a matriz A, aqui representada por seus vetores coluna. (B + C) vezes A é igual a BA + CA. Podemos voltar aqui. (B + C)A realmente é igual. Aqui sabemos, então, vamos apagar a interrogação. É igual a BA vezes CA. Ou melhor: BA + CA. Agora, sim. Ok, está mostrado aqui que a distributiva também se aplica ao contrário. Só que fique bem claro, por favor, que não são as mesmas matrizes. Porque, como eu disse, a multiplicação dessas matrizes que começamos, na qual A tinha "m" colunas e B e C, "m" linhas, ou seja, a soma de B com C tinha, também, "m" linhas, neste caso, ela se justifica. Ela pode ser feita. Mas no caso inverso, nestas exatas dimensões, não poderia. Mas digamos que as dimensões permitam, então, realmente podemos inverter aqui, sabemos que este resultado não será o mesmo de AB + AC. AB é diferente de BA, como já vimos em outros vídeos. Mas você pode observar aqui que a propriedade distributiva, quando as condições permitem, pode muito bem ser feita em ambos os sentidos.