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Associatividade de produto de matriz

Mostrando que produtos da matriz são associativos. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Nós sabemos, já vimos em outros vídeos, que, se tivermos uma transformação linear "s" definida do conjunto "x" para o conjunto "y" e uma transformação igualmente linear "t", definida de "y" para o conjunto "z", podemos tranquilamente estabelecer uma composição de "s" com "t", que é definida do conjunto "x" diretamente para o conjunto "z". A notação normal que fazemos, veja só, você deve se lembrar. "s" composta "t"... Mapeamentos compostos, funções compostas, Aplicadas a um dado vetor genérico "x". Outra notação seria "s" de "t" de "x". É a mesma coisa que a notação que acabamos de mostrar. Mas vamos lembrar aqui, também, que as transformações, sendo lineares, s(x), que é uma função mapeamento aplicada ao vetor "x", pode ser expressa pela multiplicação, é mesma coisa que a multiplicação de uma dada matriz de transformação "a" vezes o vetor "x". Assim como a transformação t(x), o mapeamento do vetor "x", é equivalente também à multiplicação de uma matriz de transformação que vamos chamar de "b". Assim, a composição pode ser representada pela multiplicação da matriz "a" relativa à transformação "s" vezes "b", vezes o produto de "b" pelo vetor "x", relativos à transformação "t". Em vários vídeos, já vimos que este produto pode ser representado tranquilamente pelo produto AB, vezes o vetor "x". Como estamos só recapitulando vídeos anteriores, vamos agora mudar de cor aqui e tratar de outras três transformações. Digamos, transformação H aplicada a um vetor genérico "x", que pode ser definida por uma matriz de transformação A, o produto da matriz A vezes o vetor "x". Também a função G(x), ou o mapeamento G, a transformação, também linear, representada pela matriz de transformação Bx. Vejam que estou sendo bem criativo com as letras. H, G e F(x). Vou usar a terminologia formal da matemática. F(x) é também uma transformação linear e pode ser expressa pela multiplicação do vetor "x" pela matriz C. Nós queremos representar aqui uma composição também, agora trabalhando com estas três funções. A composição H de G. É a próxima função, H de G composta com a transformação F. Toda essa composição das três transformações, aplicada ao vetor "x", que, necessariamente... Nós não desenhamos aqui os conjuntos domínio e contradomínio, mas é necessariamente um vetor do domínio. Mas creio que seja fácil você intuir isso.. Muito bem, esta composição. Como nós vamos expressar esta composição? Vamos dar uma olhada na composição de duas funções que nós tivemos aqui Digamos que vamos considerar H composta G de "x", comparando com as composições. Lembre-se que esta notação é idêntica a esta. Vamos trabalhar isto aqui. H composta G de "x", digamos que seja a transformação S aqui representada. Vamos escrever que a transformação S e a F(x), a transformação F, que seja representada pela transformação T. Vamos escrever aqui, para organizar bem o trabalho, a transformação T. Agora, mudando de cor... Temos aqui, veja e compare: S composta T, S fica de fora. S será H composta G, então, escrevemos. Aplicada, veja como esta está aqui. Dentro do parênteses temos T, e T aqui é a transformação F. Vamos representar com organização, isso é importante. Faça devagar, mas faça de maneira organizada. A partir daqui, vamos novamente... Vou mudar as cores aqui e pensar no que a gente pode fazer para continuar a transformação. Digamos que o vetor "x", agora, seja... Que F(x) seja o vetor "x", afinal, F(x) é transformação, é um vetor. Será o vetor "x". E H composta G fica assim representada. G vai ser representado por T, pela transformação T e H, representado pela transformação S. Veja o que acontece a seguir. Temos aqui S, destaque para o H... Usar a cor correta aqui... É o H, como colocamos aqui. Então, S está aqui. Abre parênteses, G está no lugar de T, está aqui, G. G de F(x). G aplicado a F(x), que é o vetor "x". A gente coloca aqui. G de F aplicada ao vetor "x". Mas o que é que fizemos até agora? Nós usamos a definição de composição, já vista em outros vídeos, aplicada às nossas três composições. Vamos continuar um pouco o trabalho aqui. H(G(F(x)). O que temos aqui? Nós podemos reescrever isto como sendo, veja só: H... Veja que nós começamos com a composição de F, com a composição de H, com G, tudo isso aplicado ao vetor "x". Então, veja o que nós temos aqui e o que teremos agora. H de (o que temos aqui dentro) G de F de "x". Pode ser escrito, como a própria definição já mostrou, G composta F aplicada ao vetor "x". Veja, é só uma maneira diferente de escrever. E ainda, segundo as definições que a gente já viu e que você já conhece também de outros vídeos, isto pode ser escrito, veja só, como a composição da transformação H composta com a composição de G com F(x). Confunde um pouco no falar, mas escrevendo fica mais fácil. G de F de "x" Com isso, cumpri o meu primeiro objetivo, que era mostrar a propriedade associativa aplicada às transformações lineares. Concluindo, quero lembrar que você pode, tanto esta notação como esta, você pode deixar os parênteses de lado e escrever da seguinte forma. A transformação H composta G composta F, tudo isso aplicado ao vetor "x", vetor do domínio do trabalho. Agora convido você para a gente trabalhar com as matrizes, para concluir esta aula. Vamos reescrever aqui a transformação. Temos: como está aqui em cima, H composta G composta F, aplicada ao vetor "x". Quando nós tratamos de matrizes, veja só: H composta G, assim como S composta T, pode ser expressa pela multiplicação de suas matrizes respectivas. A matriz de transformação S composta T é a multiplicação da matriz A pela matriz B pelo vetor "x". Desta forma, H composta G, H também é matriz A. Não são as mesmas matrizes, são matrizes genéricas. Nós podemos... Vamos escolher outra cor para as matrizes... Podemos... H composta G, H é a matriz A e G é a matriz B. Então, matriz A vezes B. E F é a matriz C, como já conversamos, já definimos mais acima. Assim, podemos dizer que a composição pode ser expressa pela multiplicação... Veja só, ainda vou usar parênteses para enxergarmos melhor o que estamos fazendo. Uma explicação da matriz A pela matriz B vezes a matriz C e vezes o vetor "x". Ok, vamos precisar de um pouco mais de espaço. Agora vou escrever de outra maneira. Veja só como chegamos a esta conclusão. Da mesma forma, sabemos como podemos expressar desta outra maneira. H, transformação H, composta com a composição de G composta F aplicado ao vetor "x". Como nós podemos trabalhar isto com matrizes? Nós substituímos. G composta F, vamos começar. G composta F, matrizes B e C. Vamos começar pela multiplicação das matrizes B e C, pelo produto entre essas matrizes. E a matriz H está definida aqui, você se lembra. É a matriz A. Desta forma H composta G composta F de "x" pode ser expressa desta maneira: A, que multiplica o produto (ou a multiplicação) das matrizes B com C. Tudo isso vezes o vetor "x". Perceba: o que eu quero que você veja, ficou bem óbvio, é que são maneiras um pouco diferentes de representar exatamente a mesma coisa. Se eu multiplicar a matriz AB e depois multiplicar por C, é a mesma coisa que multiplicar A pela multiplicação de BC. Ou seja, o que eu queria mostrar é que nós temos aqui um exemplo de aplicação da propriedade associativa. Veja só: AB vezes C é a mesma coisa que A vezes BC. Isso acontece porque a multiplicação de matrizes obedece à propriedade associativa. E você vai dizer: "ora, mas isso é óbvio." É óbvio com números. Os números também apresentam, multiplicação entre escalares também apresenta a propriedade associativa. Porém, quando se trata de matrizes, nem tudo é óbvio. Nós vimos em outro vídeo que, por exemplo, a multiplicação da matriz AB, se eu faço nesta ordem (a matriz A vezes a matriz B), nem sempre será igual à multiplicação da matriz B pela matriz A, como ocorre com escalares. Por exemplo, 2 vezes 6 é a mesma coisa que 6 vezes 2. Propriedade comutativa. No caso das matrizes, isso não se aplica. Pode até acontecer, no caso de matrizes, mas muitas vezes não acontece. Em algumas vezes, é possível multiplicar A por B e não é possível, não se aplica, não há aplicação para a multiplicação contrária, de B por A. Já no caso da propriedade associativa, eu posso muito bem afirmar que tanto AB vezes C é igual a A vezes BC e posso até abandonar os parênteses e simplesmente dizer que tudo isto é igual a ABC, A vezes B vezes C. No próximo vídeo, vou mostrar que a propriedade distributiva também se aplica às matrizes. Até lá!