Determinante e área de um paralelogramo

RKA4JL - Eu tenho aqui uma matriz A dois por dois. Vou dizer que os termos dessa matriz são [a,b,c,d] e eu posso dizer que essa matriz é composta por dois vetores coluna. Nós já fizemos isso. Aqui vai ser o vetor v1, que é essa coluna, e essa coluna vai ser o vetor v2. Portanto eu posso dizer que v1 é igual a [a,c] e posso dizer que v2, o vetor v2 vai ser igual a [b,d]. Esses dois vetores pertencem a r2, então para melhorar nossa visualização eu vou representá-los graficamente. Esses são os meus eixos. Aqui é o eixo vertical, aqui o eixo horizontal, v1 vai estar aqui, o componente horizontal dele é “a”, componente vertical do v1 é c. Eu não quero que esses vetores sejam iguais, então vou dizer que o vetor v2 está aqui e a componente horizontal, a coordenada horizontal do v2 é b e a coordenada vertical do b2 é d. Agora nós vamos nos preocupar com o paralelogramo que é gerado por esses dois vetores. v1 e v2 estão especificando os vértices, juntamente com a origem, os vértices desse paralelogramo. Onde estará o outro vértice desse paralelogramo? Olhe só, nós sabemos que os outros dois lados desse quadrilátero têm que ser paralelos a esses dois que estão aqui, então o lado paralelo a v1 é esse, e o lado paralelo a v2 é esse aqui. Portanto temos o paralelogramo gerado pelos vetores v1 e v2. Agora nós vamos nos preocupar com a área desse paralelogramo. Área do paralelogramo. O que vem a ser a área desse paralelogramo? No geral nós temos o seguinte: aqui eu tenho um paralelogramo qualquer, esse nosso paralelogramo é inclinado, mas aqui tenho um paralelogramo qualquer, vale para todos, a área desse paralelogramo vai ser igual à base, que vou chamar de B (b maiúsculo) para não confundir com esse b, vezes a altura desse paralelogramo, que estou chamando de H. Esta é a área de um paralelogramo: base vezes altura. Mas quem são base e altura nessa situação aqui? Eu sei que a área do paralelogramo é igual à base vezes a altura. A base, nesse caso, é esse vetor que estou destacando. Aqui vai ficar o módulo de v1. Mas quem é a altura? Eu posso traçar uma perpendicular aqui e chamá-la de H. Agora, como eu faço para descobrir o tamanho, a medida de H? Estou destacando um outro vetor aqui, nesse triângulo retângulo eu posso aplicar o teorema de Pitágoras da seguinte maneira: a altura ao quadrado mais o módulo desse vetor ao quadrado é igual ao módulo de v2 ao quadrado. Mas quem é esse vetor que destaquei aqui? Para entender melhor isso vou precisar imaginar uma linha L. Imagine uma linha L. Essa linha L, vou dizer que foi gerada pelo vetor v1. Então L é uma linha gerada pelo vetor v1. Então essa linha aqui é a linha L. Agora o que significa dizer que L é gerada por v1? Basicamente é o seguinte: se tomar todos os múltiplos de v1 em todas as suas posições específicas, você terá um conjunto de pontos, e esse conjunto de pontos é a linha L. Repetindo: você pega todos os múltiplos de v1 em todas as suas posições e obterá os pontos dessa linha L. É isso que a linha L representa. Se nós definimos L dessa forma, quem vai ser essa linha verde? Ela vai ser a projeção de alguma coisa em L. É como se você imaginasse o seguinte: vamos pensar que temos algumas luzes, alguns raios solares batendo aqui, incidindo perpendicularmente sobre a linha L, e você vai enxergar a sombra de v2 na linha L. O que vai ser a sombra de v2 que você vai enxergar na linha L? Será exatamente essa linha verde. Então eu posso dizer que essa linha verde que destaquei é a projeção de v2 em L, ou seja, projeção de v2 na linha L. É isso que significa essa linha verde. Portanto, se quisermos encontrar H nós vamos usar o teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo e vai ficar da seguinte forma: H² mais a projeção de v2 em L ao quadrado, ou seja, o módulo desse vetor ao quadrado, projeção de v2 em L ao quadrado, isso é igual ao módulo de v2 ao quadrado e o que nós usamos aqui, como eu já falei, foi o teorema de Pitágoras. Prosseguindo: H² será igual ao módulo de v2 ao quadrado menos o módulo da projeção ao quadrado, o módulo da projeção de v2 em L ao quadrado. Escrevendo isso aqui de maneira mais clara, nós sabemos que o módulo de um vetor ao quadrado é igual ao produto escalar desse vetor por ele mesmo. Então v2 escalar v2. Nós vimos isso vários vídeos atrás. E o que será isso aqui? A projeção de v2 em L, vou fazer aqui, vai ser igual ao produto escalar de v2 pelo vetor onde está a projeção, que é v1, sobre o produto escalar de v1 por ele mesmo, v1 escalar v1. Nós vimos isso alguns vídeos atrás quando estávamos estudando projeções. Isso aqui vai me dar um número e vou multiplicar esse número pelo vetor onde está a projeção, que é v1. Então eu tenho isso menos o módulo da projeção ao quadrado. Deixe-me transferir isso pra cá. Vai ficar assim: menos o módulo da projeção ao quadrado, então menos o escalar de v2 por v1 sobre escalar de v1 por v1, e isso aqui dá um número, vezes o vetor v1, o módulo disso ao quadrado. Nós não podemos esquecer que isso é igual à altura ao quadrado, então lembre-se de que nós usamos o teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo aqui e chegamos nessa relação. Então deixe-me simplificar um pouco mais. O módulo de v2 ao quadrado é igual ao produto escalar de v2 por v2. Eu vou usar o mesmo raciocínio aqui. Vai ficar da seguinte forma. H² é igual ao escalar de v2 por v2, menos o escalar disso por isso mesmo, então menos escalar de v2 por v1 sobre v1 escalar v1 vezes o vetor v1 e agora vou fazer o escalar disso com isso mesmo. Portanto, isso, escalar v2 escalar v1 sobre v1 escalar v1 vezes v1. Eu não posso esquecer do símbolo de vetor aqui. Agora eu vou associar isso aqui de uma outra maneira. Vai ficar mais simples. Olhe só: Isso é igual ao escalar de v2 por v1 vezes v2 escalar v1, esse é o nosso numerador, sobre v1 escalar v1 vezes v1 escalar v1 e isso tudo vai multiplicar v1 escalar v1. Eu apenas alterei a ordem do produto, alterei a ordem dos termos que estavam no produto. Não posso esquecer também de fechar. Agora veja bem: eu tenho o produto escalar de um vetor por ele mesmo e aqui também. Isso é um número e isso é igual a um número também, então posso simplificar. A altura ao quadrado vai ser igual a v2 escalar v2 menos... Eu vou ter aqui um produto v2 escalar v1 ao quadrado sobre v1 escalar v1. Agora que temos a altura ao quadrado, poderíamos tirar a raiz quadrada, mas isso ainda não vai simplificar os nossos cálculos. Então eu vou manter H² e fazer o seguinte: nós sabemos que a área do paralelogramo é igual à base vezes altura, por isso mesmo a área ao quadrado vai ser igual à base ao quadrado vezes a altura ao quadrado. Mas, então, o que é a base ao quadrado? Vamos olhar na figura. A base é o módulo do vetor v1, assim como a gente tinha aqui também. Então a base ao quadrado vai ser igual ao módulo do vetor v1 ao quadrado, e isso é igual ao escalar de v1 por ele mesmo. Aqui eu tenho base ao quadrado, agora a altura ao quadrado, que a gente tem aqui, e aqui o que seria, então, a área ao quadrado? Vou precisar de um pouco mais de espaço aqui. Então a área ao quadrado vai ser igual à base ao quadrado vezes altura ao quadrado. Base ao quadrado é escalar de v1 por v1, v1 escalar v1, vezes a altura ao quadrado, que é isso aqui, v2 escalar v2, menos v2 escalar v1 ao quadrado sobre v1 escalar v1. Não posso esquecer. Na hora em que eu fizer essa multiplicação, vai ficar assim: igual a v1 escalar v1 vezes v2 escalar v2, mas na hora em que eu multiplicar v1 escalar v1 por esse termo aqui, vai cancelar v1 escalar v1 com o denominador. Então vai ficar menos v2 escalar v1 ao quadrado. Agora nós vamos lembrar quem eram os vetores v1 e v2. v1 é [a, c], v2 é [b, d]. v1 é igual a [a, c] e v2 é [b, d]. Então o que é v1 escalar v1? v1 escalar v1 vai ser (a vezes a), a², mais (c vezes c), c², e o que vai ser v2 escalar v2? b² mais d², menos, e o que vai ser v2 escalar v1? v2 escalar v1 é (ba mais dc), ou (ab mais cd). Então (ab mais cd) e isso está ao quadrado. A gente pode simplificar isso aqui um pouco mais ainda. Temos que a área ao quadrado é igual a a² vezes b² mais a² vezes d² mais c² vezes b², posso alterar a ordem e ficar com b² vezes c² mais c² vezes d² menos... Isso aqui é um produto notável, é o quadrado da soma de dois termos. Quando eu o desenvolvo, fica a²b² mais 2abcd mais c²d². Agora vou distribuir esse sinal negativo para todos os termos que estão dentro desse parênteses. Vai ficar assim: A² é igual a a²b² mais a²d² mais b²c² mais c²d² menos a²b² menos 2abcd menos c²d². Agora dá pra simplificar bastante porque eu tenho termos que são simétricos, são opostos. Aqui eu tenho a²b² e aqui eu tenho o oposto disso, então isso cancela. Eu tenho c²d² e aqui eu tenho -c²d², cancela também. Então simplificando ainda mais, A² é igual a a²d² -2abcd mais b²c². Isso aqui pode parecer um pouco confuso, mas veja bem: se eu fizer uma substituição, chamar ad de x e chamar bc de y, aqui eu vou ter x² menos 2xy mais y². Isso aqui é um trinômio quadrado perfeito. Quando eu escrevo isso na forma fatorada, fica x menos y². Então se eu retomar isso aqui, olhe só como vai ficar: a área ao quadrado é igual a x menos y², porém x é ad, ad menos y, e y é bc. menos bc, ao quadrado. Agora, o que é isso aqui, ad menos bc? É o determinante da nossa matriz A original. Dá uma olhada aqui em nossa matriz A [a,b,c,d]. Se eu pensar, então, no determinante dela, seria ad menos bc. Então isso aqui é o determinante de A e o determinante de A é o determinante dessa matriz aqui, [a,b,c,d]. Veja que legal, isso é fantástico: a área ao quadrado do paralelogramo vai ser igual ao determinante da matriz original a partir do qual nós pegamos os vetores coluna para construir o paralelogramo, então a área ao quadrado vai ser igual ao determinante dessa matriz A ao quadrado, ou você pode simplificar isso e escrever da seguinte maneira: a área é igual ao valor absoluto, ao módulo do determinante de A. Isso é um resultado muito bonito, muito interessante, tendo em vista toda essa álgebra que gastamos aqui ao longo do vídeo e chegamos a esse resultado, que é bem legal. Agora nós vamos voltar lá no começo, lá no desenho. Se você quiser obter a área desse paralelogramo que foi criado a partir de dois vetores coluna dessa matriz, a única coisa que você precisa para descobrir a área desse paralelogramo é calcular o determinante dessa matriz. Então a área desse paralelogramo é igual ao determinante da matriz e você vai considerar o valor absoluto. Isso é importante porque o valor do determinante pode ser negativo, esses valores podem ser negativos e você vai ter vetores em posições diferentes, e na hora que calcular o determinante, você obtém um valor negativo. Por isso é importante que a gente pegue apenas o valor absoluto do determinante da matriz. Esse resultado é realmente muito interessante porque quando a gente estuda o cálculo de determinante na escola, muitas vezes nós não vemos essa aplicação e agora nós acabamos de ver que para calcular a área de um paralelogramo que é gerado a partir de dois vetores coluna de uma matriz basta nós calcularmos o valor do determinante dessa matriz. Essa é uma aplicação muito interessante de determinante.