If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:21:37

Transcrição de vídeo

eu tenho aqui uma matriz a dois por dois vou dizer que os temas dessa matriz são a b c e d e eu posso dizer que essa matriz é composta por dois vetores coluna nós já fizemos isso aqui vai ser o vetor v1 essa coluna e essa coluna vai ser o vetor e 2 portanto eu posso dizer que vê um é igual a a c e posso dizer que vê dois o vetor e 2 vai ser igual a b d esses dois vetores pertence à r 2 então para melhorar nossa visualização eu vou representá-los graficamente e esses são os meus eixos aqui é vertical aqui já horizontal ver um vai estar aqui o componente horizontal dele é que a componente vertical do v1 é ser eu não quero que esses vetores sejam iguais então vou dizer que o vetor v2 está aqui ea componente horizontal coordenado horizontal do v2 é b ea coordenada vertical do b 2 é de agora nós vamos nos preocupar com o paralelogramo que é gerado por esses dois vetores v1 em v2 estão especificando os vértices juntamente com a origem os vértices de si para o programa onde estará o outro vértice de si para o programa olha só nós sabemos que os outros dois lados nesse quadrilátero tem que ser paralelos a esses dois que estão aqui então o lado paralelo a ver um é esse é o lado paralelo a v2 é esse aqui portanto temos o para o programa gerado pelos vetores v1 e v2 agora nós vamos nos preocupar com a área de si para lograr a área do para lê-lo gramo o que vem a ser a área de si para lograr no geral nós temos o seguinte é que eu tenho para o holograma qualquer esse nosso para o programa inclinado mas é que eu tenho para lograr qualquer vale para todos a área de si para lograrmos vai ser igual a base é que eu vou chamar de b maiúsculo para não confundir com usb vezes a altura de se para o programa que estou chamando de h isso é a área de um paralelogramo base vezes altura mas quem são base e altura nessa situação aqui eu sei que a área do para lograr uma igual a base vezes a altura a base nesse caso é esse vetor que eu estou aqui destacando aqui vai ficar o módulo de v1 mas quem é altura eu posso traçar uma perpendicular aqui e vou chamar essa perpendicular dh agora como eu faço para descobrir o tamanho a medida de h estou destacando um outro vetor aqui correto e veja bem nesse triângulo retângulo eu posso aplicar o teorema de pitágoras da seguinte maneira à altura ao quadrado mais o módulo desse vetor ao quadrado é igual ao módulo de v2 ao quadrado mas quem é esse vetor que o destaque aqui para entender melhor isso vou precisar imaginar uma linha l imagine uma linha l essa linha l eu vou dizer que ela foi gerada pelo vetor ver um tão l é uma linha gerada pelo vetor então essa linha aqui é a linha l agora o que significa dizer que ela é gerada por vento basicamente é o seguinte se você tomar todos os múltiplos de verão em todas as suas posições específicas você terá um conjunto de pontos e esse conjunto de pontos é a linha l repetindo você pega todos os múltiplos de v1 em todas as suas posições e você obtém os pontos dessa linha l é isso que a linha ele representa e se nós definimos l dessa forma quem vai ser essa linha que vede ela vai ser a projeção de alguma coisa em l é como se você imaginar se o seguinte vamos pensar que tem algumas luzes alguns raios solares batendo aqui incidindo perpendicularmente sobre a linha l e você vai enxergar a a sombra de ver dois na linha ele o que vai ser a sombra de v2 que você vai enxergar na linha l mas é exatamente essa linha verde então eu posso dizer que essa linha verde que o destaque é a projeção de v2 em l ou seja há projeção de ver dois na linha l é isso que significa essa linha verde aqui portanto se quisermos encontrar h nós vamos usar o teorema de pitágoras nesse triângulo retângulo aqui e vai ficar da seguinte forma h ao quadrado mais a projeção de v2 em l ao quadrado ou seja o módulo desse vetor ao quadrado projeção de v2 em l ao quadrado isso é igual ao módulo de v2 ao quadrado módulo de v2 ao quadrado e o que nós usamos aqui como eu já falei foi o teorema de pitágoras teorema de pitágoras prosseguindo h ao quadrado será igual ao módulo de v2 ao quadrado módulo de v2 ao quadrado - o módulo da projeção ao quadrado - o módulo da projeção de v2 em l ao quadrado bem escrevendo isso aqui de maneira mais clara nós sabemos que o módulo de um vetor ao quadrado é igual ao produto escalar desse vetor por ele mesmo então ver dois escalar v2 fazemos isso vários vídeos atrás e o que será isso aqui a projeção de v2 em l e vou fazer aqui projeção de v2 em l é igual ao produto escalar de v2 pelo vetor onde está a projeção quer ver um sobre o produto escalar de v1 por ele mesmo de um escalavam nós vemos isso alguns vídeos atrás quando estávamos estudando projeções ok isso aqui vai me dar um número e esse número eu vou multiplicar esse número pelo vetor onde está a projeção que a viu então eu tenho isso - o módulo da projeção ao quadrado vou transferir isso aqui pra cá vai ficar assim - o módulo da projeção ao quadrado - escalar de v2 v1 sobre escalar dever 11 por ver um só que dá um número vezes o vetor ver um modo disse ao quadrado nós não podemos esquecer que isso aqui é igual à altura ao quadrado então lembre-se nós usamos o teorema de pitágoras nesse triângulo retângulo aqui chegamos nessa relação então deixo simplificar um pouco mais olha só o módulo de v2 ao quadrado é igual o produto escalar de v2 por e 2 eu vou usar o mesmo raciocínio aqui então vai ficar da seguinte forma h ao quadrado é igual ao escalar de v2 o v2 - o escalar disso por isso mesmo - escalar de v2 v1 sobre ver um escalar v1 vezes o vetor v1 e agora vou fazer eu escalar disso com isso mesmo portanto isso escalar v2 escalar ver um sobre ver um escalar v1 vezes vê um eu não posso esquecer do símbolo de vetor aqui mas agora eu vou associar isso aqui de uma outra maneira vai ficar mais simples olha só isso é igual ao escalar de v2 v1 vezes v2 escalar v1 esse é o nosso numerador sobre ver um escalar v1 vezes vê um escalar 11 e isso tudo vai multiplicar ver um vê um escalar ver um ok eu apenas alterei a ordem do produto aqui alterem a ordem dos temas que estava no produto tudo bem não posso esquecer aqui também de fechar agora veja bem eu tenho produto escalar de um vetor por ele mesmo e aqui também isso é um número isso é igual número também eu posso simplificar a altura ao quadrado vai ser igual a v2 escalar e 2 - eu vou ter que um produto v2 escalar ver um ao quadrado ok sobre ver um escalar veio agora que temos a altura ao quadrado nós poderíamos tirar a raiz quadrada aqui mas isso ainda não vai simplificar os nossos cálculos então eu vou manter a gal quadrado que vou fazer o seguinte nós sabemos que a área do para o gramado é igual a base vezes altura por isso mesmo a área ao quadrado vai ser igual a base ao quadrado vezes altura ao quadrado mas então o que é a base é o quadrado vamos olhar aqui na figura a base a base é o módulo do vetor v1 assim como a gente tinha que também então a base ao quadrado a base é o quadrado vai ser igual ao módulo do vetor ver um ao quadrado e isso é igual ao escalar de v1 por ele mesmo aqui eu tenho base ao quadrado e agora a altura ao quadrado que tem aqui e aqui o que seria então a área ao quadrado eu vou precisar de um pouco mais de espaço aqui então a área ao quadrado vai ser igual a base ao quadrado vezes altura ao quadrado base ao quadrado é escalar de ver um povo vê uma escalada e 11 vezes a altura ao quadrado que é isso aqui v2 escalar e 2 - v2 escalar ver um ao quadrado sobre ver um escalar vilma não posso esquecer muito bem na hora que eu fizesse a multiplicação aqui vai ficar assim igual a ver um escalar v1 vezes v2 escalar e 2 mas na hora que multiplicar ver um escalar v1 por esse tema que vai cancelar v1 escalava e um com o denominador então vai ficar menos v2 escalar ver um ao quadrado agora nós vamos lembrar quem eram os vetores v1 e v2 v1 a ser v 2b de ver um é igual a a a z e v2 igual a b d então o que é ver um escalar viu v1 escalada e um vai ser a vezes a ao quadrado mas cvc se ao quadrado e o que vai ser v2 escalar e 2b ao quadrado mais de ao quadrado - o que vai ser v2 escalava um v2 escalava um é bea mais desceu a b + cd oab mas cd e isso está o quadrado a gente pode simplificar isso aqui um pouco mais ainda e temos assim a área ao quadrado é igual a ao quadrado vezes bell quadrado mais ao quadrado vezes dell quadrado mas se ao quadrado vezes bell quadrado possa alterar a ordem fica bem ao quadrado vezes seu quadrado mas se é o quadrado vezes de um quadrado - isso aqui é um produto notável quadrado da soma de dois temos quando eu desenvolvo fica ao quadrado b ao quadrado mas dois ab e cd mais se ao quadrado dell quadrado e agora vou distribuir sinal negativo aqui pra todos os temas que estão aqui dentro desses parênteses vai ficar assim ao quadrado é igual a a2b dois mais a 2 de 2 mas b2c 2 mais cedo dois de 2 - a 2b 2 - 2 abc b - c2d 2 de agosto dá pra simplificar bastante porque eu tenho temos que são simétricos são opostos aqui eu tenho ao quadrado bell quadrado e aqui eu tenho o oposto disso cancela eu tenho se ao quadrado de um quadrado e aqui eu tenho - é um quadrado de um quadrado cancela também estão simplificando ainda mais ao quadrado é igual a ao quadrado de ao quadrado - dois a b c d mas bell quadrado se ao quadrado olha isso aqui pode parecer um pouco confuso mas veja bem se eu fizer uma substituição chamar a de the x e se eu chamar bc de y aqui eu vou ter x ao quadrado - 2 x y mas ellison ao quadrado isso aqui é um trinômio quadrado perfeito e quando eu escrevi isso na forma na tourada fica x - y ao quadrado então se eu retomar isso aqui olha só como é que vai ficar a área ao quadrado é igual à x - y ao quadrado porém x é a de adn e - y y é bc - bc ao quadrado agora o que é isso aquilo a de - bc é o determinante da nossa matriz a original olha só dá só uma olhada aqui nossa matriz a abcd se eu pensar então no determinante delas seria a de - cb - bc isso aqui é o determinante já que o determinante de a é determinante dessa matriz aqui a b c d e olha só que legal isso é fantástico a área ao quadrado do pará lo grama vai ser igual ao determinante da matriz original a partir da qual nós pegamos os vetores coluna para construir o para lograrmos então a área ao quadrado vai ser igual determinante dessa matriz a ao quadrado ou você pode simplificar isso aqui escrever da seguinte maneira a área é igual valor absoluto ao módulo determinante já que isso aqui é um resultado assim muito bonito né muito interessante tendo em vista toda essa álgebra que gastamos aqui ao longo do vídeo chegamos a esse resultado que é bem legal agora nós vamos voltar lá no começo lá no desenho se você quiser obter a área de si para lograrmos que foi criado a partir de dois vetores coluna dessa matriz a única coisa que você precisa para descobrir a área de si para o programa é calcular o determinante dessa matriz então a área de si para o grave é igual ao determinante da matriz e aí você vai considerar o valor absoluto isso é importante porque o valor determinante pode ser negativo esses valores podem ser negativos e você vai ter vetores em posições diferentes e na hora que você calcular o determinante você obter um valor negativo por isso é importante que a gente pegue apenas o valor absoluto determinante da matriz esse resultado é realmente muito interessante porque quando a gente estuda o cálculo de determinante na escola muitas vezes nós não vemos essa aplicação e agora nós acabamos de ver que para calcular a área de um paralelogramo que é gerado a partir de dois vetores coluna de uma matriz basta nós calculámos o valor do determinante dessa matriz essa aplicação muito interessante determinante